三角形全等之倍长中线和截长补短讲义.docx
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三角形全等之倍长中线和截长补短讲义
三角形全等之倍长中线(讲义)
一、知识点睛
1.辅助线的定义:
为了解决几何问题,在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线.辅助线通常画成虚线.
2.辅助线的原则:
添加辅助线,构造新图形,形成新关系,建立已知和未知之间的桥梁,把问题转化成自己已经会解的情况.
3.辅助线的作用:
①把分散的条件转为集中;②把复杂的图形转为基本图形.
4.添加辅助线的注意事项:
明确目的,多次尝试.
5.“三角形全等”辅助线:
见中线要___________,_________之后________________.
6.倍长中线的作法:
延长FE交BC的延长线于点G
延长AD到E,使DE=AD,延长MD到E,使DE=MD,
连接BE连接CE
二、精讲精练
1.
如图,AD为△ABC的中线.
求证:
AB+AC>2AD.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
求证:
AB=AC.
3.如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AC=AB.
求证:
①CE=2CD;②CB平分∠DCE.
4.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.
求证:
∠AEF=∠EAF.
5.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.
求证:
AD为△ABC的角平分线.
6.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,GE⊥EF.
求证:
GF=AG+BF.
7.如图,在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E,△FEB为等腰直角三角形,∠FEB=90°,连接FD,取FD的中点G,连接EG,CG.
求证:
EG=CG且EG⊥CG.
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
【知识点睛】
见中线要倍长,倍长之后证全等.
【精讲精练】
1.证明略(提示:
延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD)
2.证明略(提示:
延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD)
3.证明略(提示:
延长CD到点F,使DF=CD,连接BF,证明△BDF≌△ADC,△CBE≌△CBF)
4.证明略(提示:
延长AD到点M,使DM=AD,连接BM,证明△ADC≌△MDB)
5.证明略(提示:
延长EF到点M,使EM=EF,连接BM,证明△CFE≌△BME)
6.证明略(提示:
延长GE交CB延长线于点M,证明
△AEG≌△BEM)
7.证明略(提示:
延长EG交CD延长线于点M,证明
△FGE≌△DGM,再证明三角形EGC是等腰直角三角形)
三角形全等之倍长中线每日一题
1.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点.
求证:
AE⊥BE.
2.已知:
如图,在△ABC中,D为BC边中点,∠BDA=∠BAD,E为BD中点,连接AE.
求证:
∠C=∠BAE.
3.已知:
如图,△ABC与△BDE均为等腰直角三角形,BA⊥AC,ED⊥BD,垂足分别为点A,点D,连接EC,F为EC中点,连接AF,DF,猜测AF,DF的数量关系和位置关系,并说明理由.
4.已知:
如图,D为线段AB的中点,在AB上任取一点C(不与点A,B,D重合),分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF,∠AEC=∠CFB=90°,连接DE,DF,EF.
求证:
△DEF为等腰直角三角形.
5.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的数量关系,并说明理由.
【参考答案】
1.证明:
延长AE交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC
∴∠D=∠DCF,∠DAE=∠F
∵E是CD的中点
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中
∴△ADE≌△FCE(AAS)
∴AD=FC,AE=FE
∵AB=AD+BC
∴AB=CF+BC=BF
在△ABE和△FBE中
∴△ABE≌△FBE(SSS)
∴∠ABE=∠FBE=90°
即AE⊥BE
2.证明:
延长AE到F,使得EF=AE,连接DF.
∵E为BD中点
∴BE=ED
在△ABE和△FDE中
∴△ABE≌△FDE(SAS)
∴AB=FD,∠BAF=∠F,∠B=∠FDE
∵∠BDA=∠BAD
∴BD=AB
∵D为BC边中点
∴CD=BD=AB=FD
∵∠BDA=∠BAD
∴∠ADF=∠BDA+∠FDE,∠ADC=∠B+∠BAD
即∠ADF=∠ADC
在△FAD和△CAD中
∴△FAD≌△CAD(SAS)
∴∠F=∠C
∴∠C=∠BAE
3.解:
AF⊥DF,AF=DF,理由如下:
延长DF交AC于点P.
∵BA⊥AC,ED⊥BD
∴∠BAC=∠EDA=90°
∴DE∥AC
∴∠DEC=∠ECA
∵F为EC中点
∴EF=FC
在△EDF和△CPF中
∴△EDF≌△CPF(AAS)
∴DE=CP,DF=PF
∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形
∴AB=AC,DE=BD
∴AB-BD=AB-DE=AC-CP
即AD=AP
在△DAF和△PAF中
∴△DAF≌△PAF(SSS)
∴∠DFA=∠PFA=90°,∠DAF=∠PAF=45°
∴AF⊥DF,AF=DF
4.证明:
延长ED到点G,使得DG=DE,连接BG,FG
∵D为线段AB的中点
∴AD=BD
在△EDA和△GDB中
∴△EDA≌△GDB(SAS)
∴EA=GB,∠A=∠GBD
∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形
∴AE=CE=BG,CF=FB,∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°
∴∠ECF=90°,∠FBG=∠FBD+∠GBD=90°
在△ECF和△GBF中
∴△ECF≌△GBF(SAS)
∴EF=GF,∠EFC=∠GFB
∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°
∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°
在△EFD和△GFD中,
∴△EFD≌△GFD(SSS)
∴∠EDF=∠GDF=90°,∠EFD=∠GFD=45°
∴ED=DF
∴△DEF为等腰直角三角形
5.解:
AB=AF+CF,理由如下:
延长AE交DF的延长线于点G.
∵E为BC边的中点
∴BE=CE
∵AB∥DC
∴∠B=∠BCG,∠BAG=∠G
在△ABE和△GCE中
∴△ABE≌△GCE(AAS)
∴AB=GC
∵∠BAE=∠EAF
∴∠G=∠EAF
∴AF=GF
∵GC=GF+FC
∴AB=AF+CF
三角形全等之倍长中线(随堂测试)
1.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是____________________.
2.已知:
如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分∠BAC.
【参考答案】
1.3 2.证明略(提示: 延长AE到点M,使EM=AE,连接DM, 证明△DME≌△CAE) 三角形全等之倍长中线(作业) 3.已知: 如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是________________. 4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=2.7,BE=AE=5,求CE的长. 5.已知: 如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形.求证: EF=2AD. 6.如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证: BF=CG. 7.如图,在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG,CG. 求证: EG=CG且EG⊥CG. 8.已知: 如图,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB上一点,连接CD,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F. 求证: △BCF≌△CAE. 9.多项式9x2+1加上一个单项式后,能使它成为一个整式的完全平方式,则可以加上的单项式共有________个,分别是______________________________. 【参考答案】 1.1<AD<4 2.2.3(提示: 延长AF交BC于点G,导角证明AE=EG) 3.证明略(提示: 延长AD到点P,使得AD=PD,连接CP,证明△ABD≌△PCD,△EAF≌△PCA) 4.证明略(提示: 延长FE到点H,使得FE=EH,连接CH,证明△BFE≌△CHE,导角) 5.证明略(提示: 延长EG交AD于点P,连接CE,CP) 6.证明略 7.5;-1,-9x2,-6x,6x, x4 三角形全等之截长补短(讲义) 一、知识点睛 截长补短: 题目中出现__________________________时,考虑截长补短;截长补短的作用是__________________________________ __________________________________________________. 二、精讲精练 1.已知: 如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C. 求证: AC=AB+BD. 2.已知: 如图,在正方形ABCD中,AD=AB, ∠D=∠ABC=∠BAD=90°,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=45°,连接EF.求证: EF=BF+DE. 3.已知: 如图,在△ABC中,∠ABC=60º,△ABC的角平分线AD,CE交于点O.求证: AC=AE+CD. 4.已知: 如图,在△ABC中,∠A=90º,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证: CE= BD. 5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE⊥AB于E,△BDC为等腰直角三角形,∠BDC=90°,BD=CD,CE与BD交于F,连接AF.求证: CF=AB+AF. 三、回顾与思考 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【参考答案】 【知识点睛】 线段间的和差倍分; 把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系. 【精讲精练】 1.证明略 提示: 方法一: 在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,然后再证明CE=BD; 方法二: 延长AB到E,使BE=BD,证明△ADE≌△ADC 2.证明略 提示: 延长FB到G,使BG=DE,连接AG,证明 △ABG≌△ADE,再证明△AFG≌△AFE) 3.证明略 提示: 在AC上截取AF=AE,连接OF,证明△AEO≌△AFO,∠AOC=120°,再证明△COF≌△COD) 4.证明略 提示: 延长CE交BA的延长线于点F,证明△BEF≌△BEC,得EC=EF,再证明△ACF≌△ABD,得CF=BD) 5.证明略 提示: 方法一: 延长BA交CD的延长线交于点H,证明 △BDH≌△CDF,得DH=DF,BH=CF,再证明 △ADH≌△ADF,得AH=AF; 方法二: 在CF上截取CH=AB,连接DH,证明 △DHC≌△DAB,得DH=DA,CH=BA,∠HDF=∠ADF=45°,再证明△ADF≌△HDF,得AF=HF) 三角形全等之截长补短(每日一题)姓名_________ 1.在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.求证: CD=AB+BD. 2.如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点.求证: AB-AC>PB-PC. 3.已知: 如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,∠A+∠C=180°. 求证: BD=AB+CD. 4.在正方形ABCD中,点E在CB延长线上,点F在DC延长线上, EAF=45°. 求证: DF=EF+BE. 5.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分∠DAE.求证: AE=BE+DF. 【参考答案】 1.证明: 如图,在线段DC上截取DE,使DE=BD,连接AE. ∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADE=90° 在△ABD和△AED中 ∴△ABD≌△AED(SAS) ∴∠B=∠1,AB=AE ∵∠B=2∠C ∴∠1=2∠C ∵∠1是△AEC的一个外角 ∴∠1=∠C+∠2 ∴∠C=∠2 ∴AE=CE ∵CD=CE+ED ∴CD=AE+BD ∴CD=AB+BD (如果延长DB到点F,使BF=AB,连接AF也可进行证明) 2. 证明: 如图,在线段AB上截取AE=AC,连接PE. 则AB-AC=AB-AE=EB 在△AEP和△ACP中 ∴△AEP≌△ACP(SAS) ∴PE=PC 在△PEB中,PB-PE ∴PB-PC 即AB-AC>PB-PC (延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,也可证明结论) 3.证明: 如图,在BC上截取BE=BA,连接PE. 在△ABP和△EBP中 ∴△ABP≌△EBP(SAS) ∴∠A=∠3 ∵∠A+∠C=180°,∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD⊥BC ∴∠PDE=∠PDC=90° 在△PDE和△PDC中 ∴△PDE≌△PDC(AAS) ∴DE=DC ∴BD=BE+ED ∴BD=AB+CD(过点P作PF⊥BA于F,也可进行证明) 4.证明: 如图,在DF上截取DG=BE,连接AG. ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠D=∠BAD=∠ABC=90°,AB=AD ∴∠ABE=∠D=90° 在△ABE和△ADG中 ∴△ABE≌△ADG(SAS) ∴AG=AE,∠1=∠2 ∵ EAF=45°, ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° ∴∠GAF=45°=∠EAF 在△EAF和△GAF中 ∴△EAF≌△GAF(SAS) ∴EF=GF ∵DF=GF+DG ∴DF=EF+BE 5.证明: 如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG. ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠BAD=90° ∴∠ABG=∠D=90° 在△ABG和△ADF中 ∴△ABG≌△ADF(SAS) ∴∠1=∠2,∠5=∠G ∵AF平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90° ∴∠3+∠G=90° ∵∠1+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠4=∠G ∴AE=EG=BE+BG ∴AE=BE+DF 三角形全等之截长补短随堂测试题姓名________ 6. 已知: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC. 求证: AB=AD+BC. 【参考答案】 证明略 提示 方法一: 在AB上截取AF=AD,连接EF,证明△ADE≌△AFE,再证明△BFE≌△BCE; 方法二: 延长AE交BC的延长线于点F,证明△ABE≌△FBE,再证明△ADE≌△FCE) 三角形全等之截长补短(作业) 1. 如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=80°,AD是∠BAC的平分线.求证: AC=AB+BD. 2.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°. 求证: AE=AD+BE. 3.如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD.求证: BC=AB+CE. 4.如图,在等边三角形ABC中,点E,F分别在AB,AC上, EDF=60°,DB=DC, BDC=120°.求证: EF=BE+CF. 5. 多项式16x2+4加上一个单项式后,能使它成为一个整式的完全平方式,则可以加上的单项式共有________个,分别是______________________________. 6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE=ED=DC,∠1=∠2,则: ①AD是△ABC的边_________上的高,也是________的边BD上的高,还是△ABE的边___________上的高; ②AD既是_________的边_______上的中线,又是_______边上的高,还是_________的角平分线. 7.已知: 如图,AD∥EF,BF∥DG,∠A=∠B=∠G=35°. 求∠EFG的度数. 8.计算下列各式: (1)-(3a3b-2ab3)÷(-ab)-(-a-2b)(-a+2b)-(-2a)2; (2) . 【参考答案】 1.证明略 提示: 方法一: 在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,再证明CE=BD; 方法二: 延长AB到E,使BE=BD,证明△ADE≌△ADC 2.证明略 提示: 在AE上截取AF=AD,证明△CDA≌△CFA,再证明BE=FE 3.证明略 提示: 在BC上截取BF=BA,连接DF,证明△ABD≌△FBD,再证明△DFC≌△DEC 4.证明略 提示: 延长FC到G,使CG=BE,证明△BED≌△CGD,得ED=GD,∠BDE=∠CDG,再证明△EFD≌△GFD,得EF=GF 5.5;16x4,±16x,-4,-16x2; 6.①BC,△ABD,BE;②△AEC,EC,EC,∠EAC 7.略; 8. (1)-2a2+2b2; (2)
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