121几个常见函数的导数 2.docx
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121几个常见函数的导数2
§1.2导数的计算
第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
学习目标1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1x,y=的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
知识点一几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)=c
f′(x)=0
f(x)=x
f′(x)=1
f(x)=x2
f′(x)=2x
f(x)=1x
f′(x)=-1x2
f(x)=
f′(x)=1x
知识点二基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f(x)=cosx
f′(x)=-sinx
f(x)=ax
f′(x)=axlna(a>0)
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
f′(x)=1xlna(a>0且a≠1)
f(x)=lnx
f′(x)=1x
1.若y=,则y′=12×2=1.(×)
2.若f′(x)=sinx,则f(x)=cosx.(×)
3.f(x)=1x3,则f′(x)=-3x4.(√)
类型一利用导数公式求函数的导数
例1求下列函数的导数.
(1)y=sinπ6;
(2)y=12x;(3)y=lgx;(4)y=x2x;(5)y=2cos2x2-1.
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
解
(1)y′=0.
(2)y′=12xln12=-12xln2.
(3)y′=1xln10.
(4)∵y=x2x=
,
∴y′=(
)′=32
=32.
(5)∵y=2cos2x2-1=cosx,
∴y′=(cosx)′=-sinx.
反思与感悟
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.
如y=1x4可以写成y=x-4,y=5x3可以写成y=
等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.
跟踪训练1
(1)已知函数f(x)=1x3,则f′(-3)等于()
A.81B.243
C.-243D.-127
(2)已知f(x)=lnx且f′(x0)=20,则x0=.
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案
(1)D
(2)1
解析
(1)因为f(x)=x-3,
所以f′(x)=-3x-4=-3x4,
所以f′(-3)=-3(-3=-127.
(2)因为f(x)=lnx(x>0),
所以f′(x)=1x,
所以f′(x0)=1x0=20,所以x0=1.
类型二利用导数公式研究切线问题
例2已知曲线y=f(x)=,y=g(x)=1x,过两条曲线交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴所围成的三角形面积.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
解由1,得x=1,y=1,得两曲线的交点坐标为(1,1).
两条曲线切线的斜率分别为f′
(1)=12,g′
(1)=-1.
易得两切线方程分别为y-1=12(x-1),
y-1=-(x-1),
即y=12x+12与y=-x+2.
其与x轴的交点坐标分别为(-1,0),(2,0),
所以两切线与x轴所围成的三角形面积为12×1×|2-(-1)|=32.
反思与感悟解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2已知y=kx是曲线y=lnx的一条切线,则k=.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案1e
解析设切点坐标为(x0,y0),
由题意得
=1x0=k,①
又y0=kx0,②
而且y0=lnx0,③
由①②③可得x0=e,y0=1,则k=1e.
例3求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
解设切点坐标为(x0,x20),依题意知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线的切点到直线x-y-2=0的距离最短.
∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=12,
∴切点坐标为14,
∴所求的最短距离d=-2=28.
反思与感悟利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0,y0)处的切线方程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练3已知直线l:
2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧
上求一点P,使△ABP的面积最大.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
解由于直线l:
2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,
∴|AB|为定值,要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,
设P(x0,y0)为切点,过点P与AB平行的直线斜率k=y′=2x0,∴k=2x0=2,∴x0=1,y0=1.
故可得P(1,1),∴切线方程为2x-y-1=0.
故P(1,1)点即为所求弧
上的点,使△ABP的面积最大.
1.下列函数求导运算正确的个数为()
①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=1xln2;③1(lnx=x;④若y=1x2,则
=-227.
A.1B.2C.3D.4
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案C
解析①中(3x)′=3xln3,②③④均正确.
2.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有()
A.1条B.2条
C.3条D.不确定
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点常数、幂函数的导数
答案B
解析设切点坐标为(x0,y0),∵f′(x0)=3x20=1,
∴x0=±33.故斜率等于1的切线有2条.
3.已知f(x)=x2,g(x)=lnx,若f′(x)-g′(x)=1,则x=.
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点指数函数、对数函数的导数
答案1
解析f′(x)=2x,g′(x)=1x,
f′(x)-g′(x)=1,即2x-1x=1,
解得x=1或-12.因为x>0,所以x=1.
4.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案(1,e)e
解析设切点坐标为(x0,y0),
切线的斜率为
=
,
则
=y0-0x0-0,①
又y0=
,②
由①②可得x0=1,
∴切点坐标为(1,e),切线的斜率为e.
5.求过曲线y=sinx上一点P12且与在该点处的切线垂直的直线方程.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
解曲线y=sinx在点P12处切线的斜率
k=
=cosπ6=32,
则与切线垂直的直线的斜率为-33,
∴所求直线方程为y-12=-33π6,
即12x+18y-2π-9=0.
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.
如求y=1-2sin2x2的导数.因为y=1-2sin2x2=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化.
一、选择题
1.下列各式中正确的个数是()
①(x7)′=7x6;②(x-1)′=x-2;③1x′=-12x-32;④(5x2)′=25x-35;⑤(cosx)′=-sinx;⑥(cos2)′=-sin2.
A.3B.4C.5D.6
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
答案B
解析∵②(x-1)′=-x-2;
⑥(cos2)′=0.
∴②⑥不正确,故选B.
2.已知函数f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于()
A.4B.-4
C.5D.-5
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点常数、幂函数的导数
答案A
解析∵f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,
∴a=4.
3.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=5t,则质点在t=4时的速度为()
A.523B.523
C.25523D.110523
考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点常数、幂函数的导数
答案B
解析∵s′=15t-45.∴当t=4时,
s′=15·544=523.
4.正弦曲线y=sinx上切线的斜率等于12的点为()
A.3
B.3或3
C.3(k∈Z)
D.3或3(k∈Z)
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案D
解析设斜率等于12的切线与曲线的切点为P(x0,y0),∵
=cosx0=12,∴x0=2kπ+π3或2kπ-π3,
∴y0=32或-32.
5.直线y=12x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为()
A.2B.ln2+1
C.ln2-1D.ln2
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案C
解析∵y=lnx的导数y′=1x,
∴令1x=12,得x=2,∴切点坐标为(2,ln2).
代入直线y=12x+b,得b=ln2-1.
6.下列曲线的所有切线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是()
A.f(x)=exB.f(x)=x3
C.f(x)=lnxD.f(x)=sinx
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案D
解析若直线垂直且斜率存在,则其斜率之积为-1.
因为A项中,(ex)′=ex>0,B项中,(x3)′=3x2≥0,C项中,x>0,即(lnx)′=1x>0,所以不会使切线斜率之积为-1,故选D.
7.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为()
A.1nB.1n+1
C.nn+1D.1
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案B
解析对y=xn+1(n∈N*)求导得y′=(n+1)·xn.
令x=1,得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,
∴在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(xn-1).
令y=0,得xn=nn+1,
∴x1·x2·…·xn=12×23×34×…×n-1n×nn+1=1n+1,故选B.
二、填空题
8.若曲线y=
在点(a,
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=.
考点几个常用函数的导数
题点几个常用函数导数的应用
答案64
解析∵y=
,∴y′=-12
,
∴曲线在点(a,
)处的切线斜率k=-12
,
∴切线方程为y-
=-12
(x-a).
令x=0,得y=32
;令y=0,得x=3a,
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=12·3a·32
=94
=18,
∴a=64.
9.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案(1,1)
解析y=ex的导数为y′=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1=e0=1.
设P(m,n),y=1x(x>0)的导数为y′=-1x2(x>0),
曲线y=1x(x>0)在点P处的切线的斜率为k2=-1m2(m>0).因为两切线垂直,所以k1k2=-1,
所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).
10.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案4
解析∵y′=1x,∴切线方程为y-=1a(x-a),
令x=0,得y=a2,令y=0,得x=-a,
由题意知12·a2·a=2,∴a=4.
11.设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2017(x)=.
考点正弦、余弦函数的导数
题点正弦、余弦函数的运算法则
答案cosx
解析由已知f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,…依次类推可得,f2017(x)=f1(x)=cosx.
12.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值范围是.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案π4∪3π,π
解析∵(sinx)′=cosx,∴kl=cosx,
∴-1≤kl≤1,∴α∈π4∪3π,π.
三、解答题
13.点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
解如图,当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最近.
则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1,又y′=(ex)′=ex,
所以
=1,得x0=0,
代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为22.
四、探究与拓展
14.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
答案21
解析∵y′=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2k)处的切线方程为y-a2k=2ak(x-ak).
又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0),
∴ak+1=12ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=12的等比数列,
∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.
15.求证:
双曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数.
考点导数公式的综合应用
题点导数公式的综合应用
证明设P(x0,y0)为双曲线xy=a2上任一点.
∵y′=a2x′=-a2x2.
∴过点P的切线方程为y-y0=-20(x-x0).
令x=0,得y=2a2x0;令y=0,得x=2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=12·2a2x0·|2x0|=2a2.
即双曲线xy=a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
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