第一章 113 第2课时集合的全集补集.docx
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第一章113第2课时集合的全集补集
第2课时 集合的全集、补集
学习目标
1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集,并能解决一些集合的综合运算问题.
知识点一 全 集
定义:
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
记法:
全集通常记作U.
思考1 为了研究集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这个集合应该是________.
答案 A
思考2 全集一定包含任何一个元素吗?
若全集是数集,则一定是实数集R吗?
答案 不一定;不一定.
知识点二 补 集
自然语言
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA
集合语言
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
图形语言
性质
①A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅;
②∁UU=∅,∁U∅=U
1.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集.( √ )
2.存在x0∈U,x0∉A,且x0∉∁UA.( × )
3.设全集U=R,A=
,则∁UA=
.( × )
4.设全集U=
,A=
,则∁UA=
.
( × )
题型一 补集的运算
例1
(1)已知全集U={a,b,c},集合A={a},则∁UA等于( )
A.{a,b}B.{a,c}C.{b,c}D.{a,b,c}
考点 补集的概念及运算
题点 有限集合的补集
答案 C
解析 ∁UA=
=
.
(2)若全集U={x∈R|-2≤x≤2},A={x∈R|-2≤x≤0},则∁UA等于( )
A.{x|0 C.{x|0 考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C 解析 ∵U={x∈R|-2≤x≤2}, A={x∈R|-2≤x≤0}, ∴∁UA={x|0 反思感悟 求集合的补集,需关注两处: 一是确认全集的范围;二是善于利用数形结合求其补集,如借助Venn图、数轴、坐标系来求解. 跟踪训练1 (1)设集合U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁UA=________. 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 {3,4,5} (2)已知全集U={a,b,c,d,e},集合A={b,c,d},B={c,e},则(∁UA)∪B等于( ) A.{b,c,e}B.{c,d,e} C.{a,c,e}D.{a,c,d,e} 答案 C 解析 ∁UA={a,e},(∁UA)∪B={a,c,e}. (3)若全集U=R,集合A={x|1 A.{x|x<1或x≥3}B.{x|x≤1或x>3} C.{x|x<1或x>3}D.{x|x≤1或x≥3} 答案 B 解析 U=R,∁UA={x|x≤1或x>3}. 题型二 补集的应用 例2 (1)设全集U={1,3,5,7},集合M={1,|a-5|},∁UM={5,7},则a的值为________. 答案 2或8 解析 由U={1,3,5,7},M={1,|a-5|},∁UM={5,7}知M={1,3}. ∴|a-5|=3,∴a=8或2. (2)已知A={0,2,4,6},∁UA={-1,-3,1,3},∁UB={-1,0,2},用列举法写出集合B. 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 解 ∵A={0,2,4,6},∁UA={-1,-3,1,3}, ∴U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}. 而∁UB={-1,0,2}, ∴B=∁U(∁UB)={-3,1,3,4,6}. 反思感悟 从Venn图的角度讲,A与∁UA就是圈内和圈外的问题,由于(∁UA)∩A=∅,(∁UA)∪A=U,所以可以借助圈内推知圈外,也可以反推. 跟踪训练2 (1)已知集合A={x|x≥1},B={x|x>2a+1},若A∩(∁RB)=∅,则实数a的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 {a|a<0} 解析 ∁RB={x|x≤2a+1}. 由A∩(∁RB)=∅, ∴2a+1<1,∴a<0. (2)设全集U={0,1,2,3},集合A={x|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________. 答案 -3 解析 ∵U={0,1,2,3},∁UA={1,2}, ∴A={0,3}. ∴0,3是x2+mx=0的两个根,∴m=-3. 题型三 集合的综合运算 例3 (1)已知全集U= ,集合P= ,Q= ,则(∁UP)∪Q等于( ) A. B. C. D. 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 C 解析 ∵∁UP= , ∴(∁UP)∪Q= . (2)已知集合A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是________. 考点 交并补集的综合问题 题点 与交并补集运算有关的参数问题 答案 {a|a≥2} 解析 ∵∁RB={x|x<1或x>2}且A∪(∁RB)=R, ∴{x|1≤x≤2}⊆A,∴a≥2. 反思感悟 解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分,再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn图,与不等式有关的可借助数轴. 跟踪训练3 (1)已知M,N为集合I的非空真子集,且M≠N,若N∩(∁IM)=∅,则M∪N等于( ) A.MB.NC.ID.∅ 答案 A 解析 如图所示,因为N∩(∁IM)=∅,所以N⊆M,所以M∪N=M. (2)设集合A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}. ①求a的值及A,B; ②设全集U=A∪B,求(∁UA)∪(∁UB); ③设全集U=A∪B,写出(∁UA)∪(∁UB)的所有子集. 解 ①因为A∩B={2},所以2∈A,且2∈B,代入可求得a=-5,所以A={x|2x2-5x+2=0}= ,B={x|x2+3x-10=0}={-5,2}. ②由①可知U= ,所以∁UA={-5},∁UB= , 所以(∁UA)∪(∁UB)= . ③由②可知(∁UA)∪(∁UB)的所有子集为∅,{-5}, , . 根据补集的运算求参数 典例 (1)设全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6},∁UA={5},求实数m. 解 ∵∁UA={5}, ∴5∈U且5∉A, ∴ 由m2-m-1=5,得m2-m-6=0, ∴m=-2或m=3. ①当m=-2时,|3-2m|=7≠5, 此时U={3,5,6},A={6,7}, 不符合要求,舍去; ②当m=3时,|3-2m|=3, 此时,U={3,5,6},A={3,6}满足∁UA={5}. 综上所述m=3. (2)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A⊆(∁UB),求实数a的取值范围. 解 若B=∅,则a+1>2a-1,即a<2,此时∁UB=R,所以A⊆(∁UB). 若B≠∅,则a+1≤2a-1,即a≥2,此时∁UB={x|x2a-1}, 又A⊆(∁UB),所以a+1>5或2a-1<-2,所以a>4或a<- (舍去). 所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}. [素养评析] (1)由集合的补集求解参数的方法 ①有限集: 由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解. ②无限集: 与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解. (2)理解运算对象,掌握运算法则,选择运算方法,求得运算结果,充分体现了数学运算的数学核心素养. 1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM等于( ) A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6} 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C 2.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)等于( ) A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4} 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 D 3.设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T等于( ) A.{x|-2 C.{x|x≤1}D.{x|x≥1} 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案 C 4.设集合U={0,1,2,3,4},M={1,2,4},N={2,3},则(∁UM)∪N=________. 答案 {0,2,3} 5.设全集U=Z,A={x∈Z|x<4},B={x∈Z|x≤2},则∁UA与∁UB的关系是________. 答案 ∁UA∁UB 解析 ∁UA={4,5,6,…},∁UB={3,4,5,6,…}, ∴∁UA∁UB. 1.全集与补集的互相依存关系 (1)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念. (2)∁UA的数学意义包括两个方面: 首先必须具备A⊆U;其次是定义∁UA={x|x∈U,且x∉A},补集是集合间的运算关系. 2.补集思想 做题时“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A,求A. 一、选择题 1.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为( ) A.{1,2,4}B.{2,3,4} C.{0,2,4}D.{0,2,3,4} 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 C 解析 ∁UA={0,4},所以(∁UA)∪B={0,2,4},故选C. 2.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},B={2,5},则A∪(∁UB)等于( ) A.{2}B.{1,3}C.{3}D.{1,3,4,5} 答案 D 3.已知U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA等于( ) A.{x|-2 C.{x|-2≤x≤2}D.{x|x≤-2或x≥2} 考点 补集的的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C 解析 ∁UA为数轴上去掉集合A的剩余部分. 4.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{4}B.{2,4} C.{4,5}D.{1,3,4} 答案 A 解析 (∁UB)∩A={4,5}∩{2,4}={4}. 5.设全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)等于( ) A.{x|0≤x<1}B.{x|0 C.{x|x<0}D.{x|x>1} 答案 B 解析 ∵∁UB={x|x≤1}, ∴A∩(∁UB)={x|0 6.若全集U={0,1,2,3,4,5},且∁UA={x∈N*|1≤x≤3},则集合A的真子集共有( ) A.3个B.4个C.7个D.8个 答案 C 解析 ∁UA={x∈N*|1≤x≤3}={1,2,3}, ∴A={0,4,5},∴集合A的真子集共有23-1=7(个). 7.已知全集U={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁UA={3},则实数a等于( ) A.0或2B.0C.1或2D.2 考点 补集的概念及运算 题点 由补集运算结果求参数的值 答案 D 解析 由题意,知 则a=2. 8.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},A∩(∁UB)={9},则A等于( ) A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9} 答案 D 解析 画Venn图,由图可知A={3,9}. 二、填空题 9.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={3,4,5},则∁U(A∩B)=________. 答案 {1,2,4,5} 10.已知全集U={x|-3≤x<2},集合M={x|-1 答案 {x|-3≤x<1} 解析 ∵U={x|-3≤x<2},∁UN={x|0 ∴N=∁U(∁UN)={x|-3≤x≤0}. ∴M∪N={x|-3≤x<1}. 11.若集合A={x|0≤x≤2},B={x|x<0或x>1},则图中阴影部分所表示的集合为________________. 考点 Venn图表达的集合关系及运用 题点 Venn图表达的集合关系 答案 {x|x≤1或x>2} 解析 如图,设U=A∪B=R, A∩B={x|1 ∴阴影部分为∁U(A∩B)={x|x≤1或x>2}. 三、解答题 12.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁UA)=R,B∩(∁UA)={x|0 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 解 ∵A={x|1≤x≤2}, ∴∁UA={x|x<1或x>2}. 又B∪(∁UA)=R,A∪(∁UA)=R, 可得A⊆B. 而B∩(∁UA)={x|0 ∴{x|0 借助于数轴 可得B=A∪{x|0 13.已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当m=1时,求A∪B; (2)若B⊆∁RA,求实数m的取值范围. 考点 交并补集的综合问题 题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 (1)m=1,B={x|1≤x<4}, A∪B={x|-1<x<4}. (2)∁RA={x|x≤-1或x>3}. 当B=∅时,即m≥1+3m 得m≤- ,满足B⊆∁RA, 当B≠∅时,要使B⊆∁RA成立, 则 或 解得m>3. 综上可知,实数m的取值范围是 . 14.如图,已知I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.(∁IA∩B)∩C B.(∁IB∪A)∩C C.(A∩B)∩(∁IC) D.(A∩∁IB)∩C 考点 Venn图表达的集合关系及运用 题点 Venn图表达的集合关系 答案 D 解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C,则阴影部分表示的集合是(A∩∁IB)∩C. 15.已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0}满足(∁RA)∩B={2},A∩(∁RB)={4},求实数a,b的值. 解 由(∁RA)∩B={2}和A∩(∁RB)={4}, 知2∈B,但2∉A;4∈A,但4∉B. 将x=2和x=4分别代入集合B,A中的方程,得 即 解得a= ,b=- . 经检验,a= ,b=- 符合题意.
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