八年级数学下册知识点复习.docx
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八年级数学下册知识点复习
八年级复习
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,________相等;3.____________对应相等的两个三角形全等;(SAS)4.____________对应相等的两个三角形全等;(ASA)5._____对应相等的两个三角形全等;(SSS)你能证明下面的推论吗?
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(AAS)
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(AAS)定理:
等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角
推论:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(三线合一)
等腰三角形两底角的平分线相等;两腰上的高、中线也分别相等.等腰三角形的判定定理:
定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边.)命题的证明思路和证明方法
综合法:
从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理;
反证法:
在证法中,先假设命题的结论不成立,然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾,从而证明命题的结论一定成立.我们把它叫做反证法.
等边三角形的判定定理:
定理:
有一个角是60°.的等腰三角形是等边三角形.三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形性质:
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论⒉有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.1、等腰三角形成为等边三角形的条件,并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法.+底和腰相等
等腰三角形等边三角形+有一个角是60°
三个角相等
三角形等边三角形
推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系.
勾股定理在直角三角形中,两直角边的平方等于斜边的平方.
证明方法:
数方格和割补图形的方法
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那这个三角形是直角三角形.
在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这个
命称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原题.
原命题是真命题,而逆命题不一定是真命题!
原命题是真命题,而且逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成
为原
命题(即原定理)的逆定理.
直角三角形全等的判定定理
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简单地用“斜
边直角边”或“HL”表示.线段垂直平分线的性质:
定理:
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线的判定:
定理:
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.三角形三边的垂直平分线的性质定理
定理:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.已知:
线段a、h求作:
△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h作法:
1.作BC=a;2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点;3.以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点;4.连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形
求作等腰直角三角形,使它的斜边等于已知线段.
已知:
线段a.求作:
等腰直角三角形ABC使BC=a.
作法:
1.作线段BC=a 2.作线段BC的垂直平分线L,交BC于点D. 3.在L上作线段DA,使DA=DB. 4.连接AB,AC. ∴△ABC为所求的等腰直角三角形
角平分线上的点性质
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线上.这个命题是
假命题.角平分线是角内部的一条射线,而角的外部也存在到角两边距离相等点
角平分线性质定理的逆命题:
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.
角平分线的判定定理
在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的角平分线上
用尺规作角平分线
三角形角平分线的性质定理
定理:
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线三条角平分线
三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点
钝角三角形交于三角形外一点
直角三角形交于斜边的中点
交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
表示相等关系的式子叫等式。
比如:
x2/16≤1,x2/4π>1.5,x2/4π>x2/16,3x+5>240,它们的共同特点:
都是用不等号连接的式子。
一般地,用符号“<”(或“≤”)、“>”(或“≥”)、“≠”连接的式子叫做不等式。
等式的基本性质1:
等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。
不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
等式的基本性质2:
等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。
不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向____。
不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向____。
不等式基本性质2用式子表述为:
如果a>b,且c>0,那么ac>bc,a/c>b/c;如果a0,那么ac 如果a>b,且c<0,那么ac 使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解。 换句话说,方程的解是就是使方程成立的未知数的值。 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解一般有无数个,但有时只有有限个,有时无解一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集 求不等式解集的过程叫做解不等式。 将不等式的解集表示在数轴上时,要注意: 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈. 左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式,叫做一元一次不等式(linearinequality 解一元一次不等式大致要分五个步骤进行: (1)去分母; (2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化1。 注意: 在 (1)和(5)中,如果乘数或除数是负数,要把不等号的方向改变。 1.解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母; (2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化成1.像这样,关于同一未知数的几个一元一次 不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集. 求不等式组解集的过程,叫做解不等式组 2.解一元一次不等式应用题的步骤: (1)审题,找不等关系; (2)设未知数;(3)列不等式;(4)解不等式;(5)根据实际情况,写出全部答 第三章图形的平移与旋转 1.平移: 在平面内,把一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 2.平移的基本性质: 经过平移 •对应点所连的线段平行且相等; •对应线段平行且相等; •对应角相等。 知识点归纳-----------------“三、四、三” 1.平移的定义: “三要素” 一个图形、一个方向、一个距离. 2.平移的性质: “四特点” •对应点所连的线段平行且相等; •对应线段平行且相等; •对应角相等; •图形的形状和大小不改变。 3.平移图形的形成描述: “三说明” 基本图形、方向、距离. “这个图案可以看成是,沿着方向移动,所形成的图形。 ” 1、原图形被向左(向右)平移ImI个单位: (x,y)---------(x+m,y) m>0时,向右平移ImI个单位m<0时,向左平移ImI个单位 2、原图形被向上(向下)平移InI个单位: (x,y)--------------------------------(x,y+n) n>0时,向上平移InI个单位n<0时,向下平移InI个单位 1、一个图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度: 向右平移a个单位--------------------------(x+a,y) (x,y) 向左平移a个单位--------------------------------(x-a,y) 2、一个图形沿y轴方向平移a(a>0)个单位长度: 向上平移a个单位-------------------------------------(x,y+a) (x,y) 向下平移a个单位--------------------------------------(x,y-a) 平移小结 1.纵坐标不变,横坐标分别增加(减少)a个单位时,图形平移a个单位; 2.横坐标不变,纵坐标分别增加(减少)a个单位时,图形平移a个单位; 在坐标系中,将坐标作如下变化时,图形将怎样变化? (x,y)——(x-1,y+4) 在坐标系中,将坐标作如下变化时,图形将怎样变化? 1.(x,y)(x,y+4) 2.(x,y)(x,y-2) 3.(x,y)(x-1,y) 4.(x,y)(3+x,y) 5.(x,y)(x-1,y+4) 平移小结 1.纵坐标不变,横坐标分别增加(减少)a个单位时,图形向右(向左)平移a个单位; 2.横坐标不变,纵坐标分别增加(减少)a个单位时,图形向上(向下)平移a个单位; 3.横坐标分别增加(减少)a个单位、纵坐标分别增加(减少)b个单位时,图形是怎样平移的? 请你与同学交流,并总结有哪几种平移方 3.2图形的旋转 1.旋转的定义: 在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。 这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。 旋转不改变图形的形状和大小。 旋转的性质: 1.经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。 2.旋转图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。 3.旋转图形的任意一对对应点到旋转中心的距离相等。 4.旋转后的图形与原图形全等。 (旋转不改变图形的形状和大小) 知识点归纳---------------------------------“四、三、五” 1.旋转的定义: “四要素” 一个图形、一个定点、一个方向、一个角度. 2.旋转的性质: “三特点” 对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角; 对应点到旋转中心的距离相等; 旋转不改变图形的形状和大小。 3.旋转图形的形成描述: “五说明” 基本图形、旋转中心、方向、次数、旋转角. “这个图案可以看成是绕点按时针方向旋转次,分别旋转前后的所有图形共同组成的。 ” 平移: 平移的方向? 平移的距离? 旋转: 旋转中心? 旋转角? 旋转方向? 平移、旋转相结合: 轴对称: 对称轴? 3.3中心对称 中心对称与轴对称的联系与区别 轴对称中心对称 有一条对称轴----------直线有一个对称中心-------------点 图形沿轴对折(翻转180°)图形绕中心旋转(180°) 翻转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合 中心对称的性质: (1)关于中心对称的两个图形是全等形; (2)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平分 中心对称与中心对称图形的联系与区别 区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称. 联系: 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形. 如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称. 常见的轴对称图形与中心对称图形 对 图称 形性 轴对称图形 中心对称图形 图形 对称轴条数 图形 对称中心 线段 2 中点 角 1 无 等腰三角形 1 无 等边三角形 3 无 平行四边形 无 对角线交点 矩形 2 对角线交点 菱形 2 对角线交点 正方形 --------------------- 等腰梯形 --------------------- 4 ----------------- 1 ------------------- 对角线交点 --------------------- 无 3.4简单的图案设计 用最基本的几何元素——点、线设计与制作图案 用最简单的几何图形——三角形、矩形设计、制作图案; 割补、无缝隙拼接; 分析图案的形成过程 1.生活中很多美丽的图案和几何图形都有密切联系,复杂美丽的图案都是由简单图形按一定规律排列组合而成;即使最简单的几何图案经过你的精心设计也会给人以赏心悦目的感觉。 2.圆周的分法。 第四章因式分解 1因式分解 因式分解定义 把一个多项式化成__几个整式的积_的形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式,也叫因式分解。 多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式. 分解因式与整式乘法是互为逆运算关系. 注意: 1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系; (2)分解因式的结果要以积的形式表示; (3)每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数; (4)必须分解到每个多项式不能再分解为止 规律总结 •对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形. •整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式,特征是向着积化和差的形式发展; •多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式,特征是向着和差化积的形式发展. •分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 2提公因式法 因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。 结论: (1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数; (2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分; (3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 分两步 第一步,找出公因式; 第二步,提取公因式, (即将多项式化为两个因式的乘积) 当多项式第一项系数是负数,通常先提出“-”号,使括号内第一项系数变为正数,注意括号内各项都要变号。 当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后剩余的项是1。 提公因式法分解因式 正确的找出多项式各项的公因式。 注意: 1多项式是几项,提公因式后也剩几项。 2当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数,通常先提出“-”号,使括号内第一项系数变为正数,注意括号内各项都要变号。 提公因式法与单项式乘多项是互为逆运算关系 小结与反思 1、什么叫因式分解? 2、确定公因式的方法: 1)定系数2)定字母3)定指 3、提公因式法分解因式: 第一步,找出公因式; 第二步,提公因式(把多项式化为两个因式的乘积) 4、用提公因式法分解因式应注意的问题: 1、多项式是几项,提公因式后也剩几项。 2、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数,通常先提出“-”号,使括号内第一项系数变为正数,注意括号内各项都要变号。 提公因式法 1、多项式的第一项系数为负数时,先提取“-”号,注意多项式的各项变号2、公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数 3、字母取多项式各项中都含有的相同的字母 4、相同字母的指数取各项中最小的一个,即最低次幂 由此可知规律: (1)a-b与-a+b互为相反数. (a-b)n=(b-a)n(n是偶数) (a-b)n=-(b-a)n(n是奇数) a+b与-a-b互为相反数. (-a-b)n=(a+b)n(n是偶数) (-a-b)n=-(a+b)n(n是奇数) (2)a+b与b+a互为相同数, (a+b)n=(b+a)n(n是整数) 小结 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法: (1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等. 如: a-b和-b+a即a-b=-b+a (2)当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数. 如: a-b和b-a即a-b=-(a-b) 1.提公因式法是最基本的分解因式的方法之一,其一般步骤是什么? 2.提公因式法的关键是什么? 3.检验分解因式正误的方法有那些? 3公式法 整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法 结论: 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解。 方法: 先考虑能否用提取公因式法,再考虑能否用平方差公式分解因式。 结论: 分解因式的一般步骤: 一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。 掌握方法 (1)有公因式(包括负号)则先提取公因式; (2)整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系; (3)平方差公式中的a与b既可以是单项式,又可以是多项式; 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法: 适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法: 适用于完全平方式 完全平方式的特点: 由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. (1)形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。 2)因式分解通常先考虑提取公因式法方法。 再考虑运用公式法 方法 (3)因式分解要彻底 第五章分式与分式方程 1认识分式 分式定义: 整式A除以整式B,可以表示成的形式,如果除式B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母。 ①分子分母都是整式 分式的概念②分母中含有字母 ③分母不能为零 分式无意义的条件分母等于零 分式有意义的条件分母不等于零 三个条件分式的值为零的条件分子等于零且分母不等于零 •分式的基本性质: •分式的分子与分母都乘以或除以同一个 不为零的整式,分式的值不变. •类比理由: 因为字母可以表示任何数. •强调: 性质中是同时乘以或除以同一个不为零的整式;同乘以时要交代条件;同除以的时候有时原题已经隐含了不等于零的条件,可以不用重复交代。 仔细阅读下面的例题,细心体会! 约分的基本步骤: (1)若分子﹑分母都是单项式,则约简系数,并约去相同字母的最低次幂; (2)若分子﹑分母含有多项式,则先将多项式分解因式,然后约去分子﹑分母所有的公因式. 注意: 约分过程中,有时还需运用分式的符号法则使最后结果形式简捷;约分的依据是分式的基本性质. 分式的约分: 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分 最简分式: 分子和分母没有公因式的分式叫最简分式。 (化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式) 2分式的乘除法 分式的乘除法的法则: 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母; 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 注意: 按照法则进行分式乘除运算,如果运算结果不是最简分式,一定要进行约分,使运算结果化成最简分式。 小结 1、分式的乘除法运算归根到底是分式的乘法运算,分式的乘除法运算的实质是分式的约分。 2、熟练地进行分式乘除法运算的前提是正确运用分式的约分,多项式的因式分解,分式的变号法则及分式乘除法混合运算顺序。 3、分式运算的结果通常要化成最简分式或整式. 3分式的加减法 运算法则: 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. 用式子表示为: 1、同分母分式加减法则是: 同分母的分式相加 减。 分母不变,把分子相加减。 2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式 加减运算转化成同分母分式的加减法。 3、分子是多项式时,一定记得添括号后再进行 加减运算。 4、类比方法很多时候是对的哦,学会用这种方 法去分析和解决问题。 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 一,异分母分式相加减的法则: 1、通分的关键就是找最简公分母,对于分母是多项式且能够进行分解因式的要先分 解后类比最小公倍数找最简公分母。 2、通分前是单项式的分子通分后就可能是多式了,运算时记得添括号。 3、运算结果要约分,有一些运算律仍然适用。 小结: 1异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。 2、分式的化简求值及变形。 3、实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题。 4分式方程 ♦分母中都含有未知数. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 (fractionalequation 解分式方程的关键: 把分式方程化为整式方程。 使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根 产生增根的原因是,我们在方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式。 注意: 因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验。 验根的二种方法: (1)把解直接代入原方程进行检验; (2)把解代入分式的最简公分母,看最简公分母的值是否等于零,若等于零,即为增根。 (最简方法) 解分式方程的步骤 1、化: 即在方程两边都乘以最简公分母。 约去分母,化成整式方程 注意: 不要漏乘不含分母项。 2、解: 解这个整式方程。 3、检验: 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否是零,使最简公分母为零的根,是原方程的增根,必须舍去。 4、写: 写出结论 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步? 审题-----------找等量关系------------设未知数------------列方程---------解方程-------检验----------答题 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审: 分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设: 选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列: 根据数量和
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