五年级奥数培训教材十五讲.docx
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五年级奥数培训教材十五讲
五年级奥数培训教材十五讲
第1讲小数的巧算与速算
第2讲用等量代换求面积
第3讲数学游戏-----智取火柴
第4讲和差问题
第5讲和倍问题
第6讲差倍问题
第7讲年龄问题
第8讲:
分解质因数
第9讲:
最小公倍数
第10讲还原问题
第11讲周期问题
第12讲鸡兔同笼问题与假设法
第13讲盈亏问题与比较法
(一)
第14讲盈亏问题与比较法
(二)
第15讲逻辑问题
第一讲小数的巧算与速算
【例1】.简算:
(1)
思路导航:
题中,9.9接近10,且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。
解法一:
解法二:
=99×0.68+1×0.68=9.9×6.8+0.1×6.8
=(99+1)×0.68=(9.9+0.1)×6.8
=100×0.68=10×6.8
=68=68
想想还有别的解法吗?
同步导练一:
(1)272.4×6.2+2724×0.38
(2)1.25×6.3+37×0.125
(3)7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×724
(4)6.49×0.22+258×0.0649+5.3×6.49+64.9×0.19
【例2】:
(2+0.48+0.82)×(0.48+0.82+0.56)-(2+0.48+0.56)×(0.48+0.82)
思路导航:
整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A×(B+0.56)-(A+0.56)×B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.
解:
设A=2+0.48+0.82B=0.48+0.82,
原式=A×(B+0.56)-(A+0.56)×B
=A×B+A×0.56-(A×B+0.56×B)
=A×B+A×0.56-A×B-0.56×B
=0.56×(A-B)
=0.56×2
=1.12
同步导练二:
(1)(3.7+4.8+5.9)×(4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7)×(4.8+5.9)
(2)(4.6+4.8+7.1)×(4.8+7.1+6)-(4.6+4.8+7.1+6)×(4.8+7.1)
【例三】:
计算76.8÷56×14
思路导航:
这道题是乘除同级运算,解答时,利用添括号法则,在“÷”后面添括号,括号里面要变号,“×”变“÷”,“÷”变“×”。
不过,同学们请注意,这种方法只适用于乘、除同级运算。
解:
76.8÷56×14
=76.8÷(56÷14)
=76.8÷4
=19.2
同步导练三:
(1)144÷15.6×13
(2)
(3)
【例四】:
0.999×0.7+0.111×3.7
思路导航:
本类题可以将原式进行合理的等值变形后,再运用适当的方法进行简便运算
=0.111×9×0.7+0.111×3.7
=0.111×6.3+0.111×3.7
=0.111×(6.3+3.7)
=0.111×10
=1.11
同步导练四:
(1)0.999×0.6+0.111×3.6
(2)0.222×0.778+0.444×0.111
(3)0.888×0.9+0.222×6.4(4)0.111×5.5+0.555×0.9
5.下面有两个小数:
a=0.00…0125b=0.00…08
1996个02000个0
试求a+b,a-b,a
b,a
b.
第2讲用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米2)。
所以,阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。
分析与解:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50(厘米2)。
例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解:
求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=(8+4)×6÷2=36(厘米2),
三角形ECB面积=36-18=18(厘米2),
EC=18÷6×2=6(厘米),
ED=6-4=2(厘米)。
例4下页上图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析:
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。
如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。
解法一:
连结B,E(见左下图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法二:
连结C,F(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法三:
延长BC交GF于H(见下页左上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。
解法四:
延长AB,FE交于H(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4×(10-7)-(10-7)×(4+2)÷2=3。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积
分析与解:
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8(厘米2)。
练习:
1.右上图(单位:
厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。
2.下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
6.右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。
影部分的面积和。
第3讲数学游戏------智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏,它有很多种玩法,由于游戏的规则不同,取胜的方法也就不同。
但不论哪种玩法,要想取胜,一定离不开用数学思想去推算。
例1桌子上放着60根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~3根。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方都采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜?
例2在例1中将“每次取走1~3根”改为“每次取走1~6根”,其余不变,情形会怎样?
例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”,其余不变,情形又将如何?
有许多游戏虽然不是取火柴的形式,但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。
例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数,每人每次只能报1~5个数,谁先报到50谁胜。
你选择先报数还是后报数?
怎样才能获胜?
例5、1111个空格排成一行,最左端空格中放有一枚棋子,甲先乙后轮流向右移动棋子,每次移动1~7格。
规定将棋子移到最后一格者输。
甲为了获胜,第一步必须向右移多少格?
例6今有两堆火柴,一堆35根,另一堆24根。
两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取。
规定取得最后一根者为赢。
问:
先取者有何策略能获胜?
请同学们想一想,如果在上面玩法中,两堆火柴数目一开始就相同,例如两堆都是35根火柴,那么先取者还能获胜吗?
例7有3堆火柴,分别有1根、2根与3根火柴。
甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴,取的根数不限,规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。
如果采用最佳方法,那么谁将获胜?
练习
1.桌上有30根火柴,两人轮流从中拿取,规定每人每次可取1~3根,且取最后一根者为赢。
问:
先取者如何拿才能保证获胜?
2.有1999个球,甲、乙两人轮流取球,每人每次至少取一个,最多取5个,取到最后一个球的人为输。
如果甲先取,那么谁将获胜?
3.甲、乙二人轮流报数,甲先乙后,每次每人报1~4个数,谁报到第888个数谁胜。
谁将获胜?
怎样获胜?
4.有两堆枚数相等的棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,取的枚数不限,但不能不取,谁取到最后一枚棋子谁获胜。
如果甲后取,那么他一定能获胜吗?
5.黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,…,51。
甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。
规定在谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜。
问:
甲有必胜的策略吗?
6.有三行棋子,分别有1,2,4枚棋子,两人轮流取,每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子,谁取走最后一枚棋子谁胜。
问:
要想获胜是先取还是后取?
第4讲和差问题
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差,求大小两个数各是多少的应用题。
解答这类应用题通常用假设法,同时结合线段图进行分析。
解题时,我们可以假设小数增加到与大数同样多,先求大数再求小数;也可以假设大数减少到与小数同样多,先求小数再求大数。
我们可以用下面的数量关系式表示:
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
1.学校合唱团共有72名成员,其中男合唱队员比女合唱队员少6名,合唱团中男、女队员各有多少名?
2.甲乙两校共有学生2346人,如果甲校增加146人,乙校减少88人,两校的学生人数就相等,你知道两校实际各有多少人吗?
3.两个工程队共有工人230人,后来由于工作需要,从第一队调走了30人,从第二队调走了10人,这时第一队比第二队还多10人,原来两队各有多少工人?
4.在一个减法算式里,被减数、减数与差这三个数之和是388,减数比差大16。
减数是多少?
第5讲和倍问题
已知大小两个数的和及它们的倍数关系,求大小两个数的问题叫和倍问题。
解这类应用题关键是要找准标准数(即1倍数),一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数。
求出倍数和之后,再求出标准数的数量是多少。
根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。
数量关系可表示为:
两数和÷(倍数+1)=小数(1倍数)
小数(1倍数)×倍数=大数(几倍数)
或两数和—小数(1倍数)=大数(几倍数)
解决和倍问题,为了理解题意,可以画出线段图,使数量关系一目了然。
1、三、四年级的同学们一共制作了318件航模,四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍,三、四年级的同学各制作了多少件航模?
2、哥哥和弟弟共有图书120本,哥哥的图书是弟弟的3倍,哥哥有图书多少本?
3、小强和小明共有28本练习本,小强的练习本比小明的2倍少2本,小强和小明各有几本练习本?
4、甲乙丙三个数的和是360,已知甲是乙的3倍,乙是丙的2倍,求甲乙丙三个数各是多少?
5、两个数的和是682,其中一个加数的个位是0,若是把0去掉,则与加一个加数相同,这两个数各是多少?
6、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克,橘子的重量是苹果的3倍少3千克,香蕉的重量是苹果的2倍多2千克,橘子重多少千克?
7、一个除法算式,商是5,余数是1,被除数、除数、商和余数的和是109,除数是多少?
第6讲差倍问题
差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系,求这两个数。
解答差倍问题的关键是找出两个数的差,以及与差相对应的倍数差,从而示出一倍数,再求出其它的数。
解题时,我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系。
这类问题的数量关系式是:
两数差÷(倍数-1)=小数(1倍数)
小数(一倍数)×倍数=大数(几倍数)
或小数(一倍数)+两数差=大数(几倍数)
1、三年级图书比四年级图书多50本,并且三年级图书数是四年级的3倍,三年级和四年级各有图书多少本?
2、果园里栽的梨树比苹果树多240棵,梨树的棵数比苹果树的5倍多20棵。
果园里有苹果树和梨树各多少棵?
3、舅舅比张强大19岁,正好是张强年龄的3倍多1岁,舅舅和张强各多少岁?
4、两筐千克数相同的苹果,甲筐卖出7千克,乙筐卖出19千克后,甲筐余下的千克数是乙筐的3倍,两筐苹果各有多少千克?
5、育红小学原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人,现在把室内活动的50人改为室外活动,这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍,参加室内、室外活动的一共有多少人?
6、小红在计算两个数的和时,把其中一个加数个位上的0漏掉了,结果算出的和是37。
已知正确答案为91,求这两个数的差(大减小)是多少?
第7讲年龄问题
从不变中找规律
每个人的年龄年年都在增加,但人与人之间的年龄差永远不会改变,解答年龄问题一定要抓住年龄差这一不变量,从中寻找规律,解决问题。
综合起来看问题
年龄问题经常与和差、和倍、差倍问题等综合出现,解答时,一定要从多种角度分析,可以巧妙地将年龄问题转化成我们已学过的知识进行解答。
可以利用直观图法帮助分析数量关系
1、今年姐姐14岁,妹妹9岁,当姐妹二人年龄和是39岁时,妹妹多少岁?
2、2007年张叔叔45岁,小明9岁。
张叔叔的年龄是小明年龄的4倍时应该是那一年?
3、爷爷和孙子今年的年龄和为66岁,如果再过3年后,爷爷的年龄恰好是孙子年龄的7倍,爷爷和孙子今年各多少岁?
4、奶奶比孙子大60岁,奶奶与孙子的年龄和为72岁,那么再过多少年后,奶奶的年龄是孙子的7倍。
5、今年爸爸和女儿的年龄之和是38岁,如果给女儿加上4岁,爸爸的年龄正好为女儿的5倍,爸爸和女儿各多少岁?
6、李楠家共三口人:
爸爸、妈妈和李楠,爸爸比妈妈大1岁,妈妈比李楠大25岁,又过了四年后,全家三口人的年龄和为84岁,今年李楠家的人各是多少岁?
7、甲对乙说:
“我今年年龄是你今年年龄的2倍。
”乙对甲说:
“我6年后的年龄和你10年前的年龄一样。
”问甲、乙今年各是多少岁?
8、今年父亲的年龄为儿子年龄的4倍,20年后父亲的年龄为儿子年龄的2倍,问今年儿子多少岁?
9、爷爷和爸爸的年龄差是小明年龄的3倍,爷爷比爸爸与小明的年龄和大18岁。
小明今年多少岁?
10、爷爷比爸爸大26岁,妈妈比小明也大26岁。
已知他们四人今年的年龄和是126岁,而5年前的年龄和为107岁。
问爷爷与小明的年龄之差是多少岁?
11、小军的年龄和小红现在的年龄一样时的那一年,小红8岁;小红的年龄和小军现在的年龄一样时的那一年,小军20岁。
小红现在多少岁?
12、1994年父与子的年龄和是36岁,2000年父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
问父亲年龄是儿子年龄两倍时是哪一年?
第8讲:
分解质因数
专题分析:
一个自然数的因数中,为质数的因数叫做质因数。
可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。
【例1】把18个苹果平均分成若干份,每份大于1,小于18。
一共有多少种不同分法?
练习:
1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多余15人,有哪几种分法?
2、195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,一共有几种分发?
3、甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数各是多少?
【例2】、写出若干个连续的自然数,使它的积是15120。
练习:
1、有一个长方体,它的长宽高是一个连续的自然数,且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积。
2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024。
问这4个孩子各是多少岁?
3、四个连续的奇数的积是19305。
这四个数各是多少?
【例3】、将下列八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
练习:
把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组,使两组四个数的乘积相等。
【例4】、王老师带领同学去植树,如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生?
每人植树多少棵?
练习:
1、植树节,老师带领同学去植树,已知老师和学生每人植树的棵数相等,一共植了111棵。
求有多少个同学?
2、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,小青买的电影票是几排几号?
3、把一篮苹果分给4人,使4人的苹果数一个比一个多2,且他们的苹果个数的乘积是1920。
这篮苹果有多少个?
第9讲:
最小公倍数
专题分析:
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数。
记住以下公式:
最大公因数×最小公倍数=这两个数的积。
【例1】、两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少?
练习:
1、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少?
2、两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60。
求这两个数的和是多少?
3、两个数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。
求这两个数分别是多少?
【例2】:
甲乙丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次,甲3天去1次,乙4天去1次,丙5天去1次。
有一天三人恰好在图书馆相会。
问至少再过多少天他们又在图书馆相会?
1、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三路车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车?
2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问:
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。
二班的同学每隔6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷?
第10讲还原问题
例1.甲、乙、丙三个组共有图书90本,如果乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组所有图书的本数刚好相等。
甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本?
分析:
例2.甲、乙两个车站共停了195辆汽车,如果从甲站开到乙站36辆,又从乙站开出45辆汽车,这时乙站停了汽车辆数是甲站的2倍。
原来甲、乙两站各停放多少辆汽车?
分析:
例3、一筐鱼连筐重122千克,卖出一半鱼后,再卖出剩下的鱼的地半,这时连筐还重35千克。
原来筐和鱼各重多少千克?
练习与思考
1.小亮在计算一道除法题的时候,把除数36写成62,结果重到的商是30余12。
正确的商应该是多少?
2.小明在做一道减法题的时候,把被减数个位上的4错写成7,把十位的1错写成5,把百位上的3错写成2,这样,他算得的差是143。
正确的差应该是多少?
3.小兰问一位老师今年多大年纪,老师说:
“把我的年龄除以6后加上14,再乘以3,最后减去27,是33岁。
”这位老师多少岁?
4.操场上放了一些花盆,第一次搬走了全部的一半多8盆,第二次搬走了余下的一半少4盆,将剩下了摆成6排,每排恰好放2盆。
原来有多少个花盆?
5.甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张,如果甲给乙13张,乙给丙23张后,他们每人的张数相等。
原来三人各有年历片几张?
6.甲、乙、丙共有72元钱,甲拿出与乙同样多的钱给乙,乙再拿出与丙同样多的钱给丙,这时三人的钱数同样多。
甲、乙、丙三人原来各有多少钱?
7.甲、乙两个车站共停了90辆汽车,如果从乙站开到甲站12辆汽车,又从甲站开出30辆汽车,这时甲站停的汽车辆数是乙站的3倍。
原来甲、乙两站各停了多少辆汽车?
8.甲、乙两个车站共停了90辆汽车,如果从甲站开到乙站38辆汽车后,乙站开到甲站14辆,这时两站停的汽车辆数相等。
两站原来各停了多少辆汽车?
9.某车间分成甲、乙两个组,因生产需要,把甲组工人的一半调到乙组去了,后来改变工作程序,又把乙组工人中的25人调到了甲组,这时甲组有45人,乙组有22人。
甲、乙两个组原来各有多少人?
10.一个水桶里面装有水,连桶称是5千克,把水加到原来的4倍,连桶称是11千克。
桶里原来有多少千克水?
桶有多重?
第11讲周期问题
【例】1.10个2连乘的积的个位数是几?
分析:
【例】2.1998年元旦是星期四,1999年元旦是星期几?
【例3】.黑珠、白珠共185个串成一串,排列如图:
○●○○○●○○○●○○○……最后一个是什么颜色的?
这一串共有多少个白珠,多少个黑珠?
【例4】.把自然数按下图的规律排列后,分成A、B、C、D、E五类,例如,4在D类,10在B类。
那么,1998在哪一类?
【例5】有一个1111位的数,各位数字都是1,这个数除以6余数是几?
商的末位数字是几?
【例6】2001年10月1日是星期一,那么,2002年1月1日是星期几?
练习与思考
1.42个8连乘以积的个位数是几?
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