第四章二次曲面和二次曲线.ppt
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1,对常见的二次曲线(面)通过其特殊的二次方程,我们已经熟知各种性质,现在的问题是,除此之外还有多少种二次曲线(面)?
对个一般的二次方程(二元或三元),它所表示的曲线(面)是怎样的。
本章拟这类问题展开讨论。
为了简洁,特别是为了让读者更注重本章的思想方法,本章利用了一些代数知识,请先参考本书末的附录。
第四章二次曲面和二次曲线,2,第四章二次曲面和二次曲线,1坐标变换2二次曲面和二次曲线方程的化简3不变量4中心,渐近方向5二次曲面的直径面、对称面,二次曲线的直径、对称轴6切线,切平面,3,1坐标变换,1.平面的坐标变换2.空间的坐标变换,4,1.平面的坐标变换,平面上给了两个仿射坐标系我们研究同一个点(向量)在和下的坐标之间的关系.设在下的坐标为在下的坐标分别是点M在和下的坐标分别为和.如图4.1,因为,图4.1,5,6,所以将(1.1)写成矩阵形式或(1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式。
7,设向量在下的坐标为(u,v),在下的坐标为,则因此将它写成矩阵形式(1.3)或称为平面向量的仿射坐标变换公式。
8,和的坐标向量之间的关系为形式上可写成矩阵称为从坐标系到坐标系的过渡矩阵.,9,注:
和为同定向的直角坐标系的充要条件是A为正交矩阵且|A|=1,此时;与为反定向的直角坐标系的充要条件是A为正交矩阵且|A|=1,此时A=其中,02。
10,设和均为右手直角坐标系,到的转角(逆时针方向)为,则若=0,则(1.4)就是移轴公式。
11,若与重合,则(1.5)就是转角为的转轴公式。
平面上的任一右手直角坐标变换都可以经过移轴和转轴得到。
12,2.空间的坐标变换,设是空间的两个仿射坐标系,在下,的坐标为(i=1,2,3),那么形式上有其中矩阵A=()称为从到的过渡矩阵,且是可逆的。
设点M在和下的坐标分别为,O在下的坐标为,向量在和下的坐标分别为那么使用平面的坐标变换公式的推导方法可以得到,13,公式(1.6)称为从和的空间点的仿射坐标变换公式,公式(1.7)称为从到的空间向量的仿射坐标变换公式。
如果,都是直角坐标系,则可以证明A是正交矩阵。
进一步,如果,是同定向的,那么|A|=1;如果与是反定向的,那么|A|=1。
14,例1在平面上,设轴,轴在原坐标系中的方程分别为3x-4y+1=0,4x+3y-7=0,且新、旧坐标系都是右手直角坐标系。
求到的点的坐标变换公式;直线:
2x-y+3=0在新坐标系中的方程;直线:
在原坐标系中的方程。
解设原坐标系为新坐标系为解方程得x=1,y=1.因此在中的坐标为(1,1)。
因为轴的标准方程为:
15,所以轴的方向数为43,于是的坐标为:
或(注:
轴所在的方向向量平行于,下面取的坐标;同样可得的坐标为;因此从到的点的坐标变换公式为,16,在新坐标系中的方程为即从到的点的坐标变换公式为在原坐标系中的方程为即2x-11y+14=0.,17,例2在右手直角坐标系中,判断曲面S:
是什么曲面.解考虑三个平面2x+y+z=0,x-y-z=0,y-z=0,它们的法向量分别是:
易知它们两两垂直,因而可以作为新的坐标系的三个坐标轴的方向向量。
因为,18,所以依次构成右手系.因此取分别是新右手直角坐标系的坐标向量,即三个平面的交点(0,0,0)作为新右手直角坐标系的原点,因而从旧系到新系的点的坐标变换为:
由此可得:
19,曲面S在新的右手直角坐标系下的方程为:
即故S是双曲抛物面。
20,例3在平面右手直角坐标系中,方程表示椭圆,作变换得方程已不能反应原方程表示曲线的某些几何性质。
21,2二次曲面和二次曲线方程的化简,上节的例2已经提醒我们,对于一个较复杂的二次方程,有望通过坐标变换将其化简,从而可剖析其所对应的曲面。
从本节开始我们着重在右手直角坐标系下讨论一般的二次曲面方程。
22,2二次曲面和二次曲线方程的化简,1.定义和记号2.代数理论3.二次曲面分类,23,1.定义和记号,记空间中二次曲面的一般方程为(2.1)其中不全为0.记F(x,y,z)的二次部分为(2.2),24,利用矩阵的乘法可以把F(x,y,z),(x,y,z)写成下列形式:
记,.,25,分别称为二次曲面F(x,y,z)=0和(x,y,z)的矩阵,它们是实对称的。
记则A可以分块写成:
二次曲面的方程(2.1)可表示成:
(x,y,z)可以表示为:
26,记:
则有:
27,2.代数理论,由代数知识知道(参见附录),实对称矩阵可用正交矩阵对角化。
即对实对称矩阵,存在正交矩阵T,使为对角矩阵,且对角线上的元素为的特征值即方程:
的根,它们全为实数.因此:
28,对二次曲面的方程(2.3),我们作如下的右手直角坐标变换,保持原点不动,从旧坐标系到新坐标系的过渡矩阵为T,即:
将(2.5)代入二次曲面的方程(2.3)中得:
29,记.因此经过直角坐标变换(2.4),曲面方程变为:
(2.6)由以上知道,我们总能找到适当的右手直角坐标系使二次曲面的方程具有(2.6)的形式。
因而不妨设二次曲面的方程就是(2.6)的形式,并将方程中的符号“”去掉。
30,3.二次曲面分类,在(2.6)的基础之上,通过配方,再作移轴,就可将方程(2.6)进一步化简,并了解其所对应的曲面。
情形1都不为0.作移轴:
31,则有:
令常数项为,得:
(2.7)
(1)1同号,则同于形式虚椭球面,32,2异号,则同于形式:
单叶双曲面
(2)3同号,则同于形式:
椭球面4异号,则同于形式:
双叶双曲面(3)5同号,则同于形式:
一个二重点,33,6异号,则同于形式:
二次锥面情形2中只有一个为0.不妨设,作移轴:
则有(2.8),34,
(1),再作移轴:
那么(2.8)化简为:
(2.9)7则同于形式:
椭圆抛物面8则同于形式:
双曲抛物面,35,
(2)则(2.8)变为:
(2.10)9同号但与异号,则同于形式:
椭圆柱面10同号,则同于形式:
虚椭圆柱面11则同于形式:
双曲柱面,36,(3)12则同于形式:
一对相交于一条实直线的虚平面13则同于形式:
一对相交平面情形3中有两个为0.不妨设作移轴:
37,则有(2.11)
(1)中至少有一个不为0,作变换:
通过此变换,(2.11)可化简成形式:
14抛物柱面,38,
(2)15与异号,则同于形式:
一对平行平面16与同号,则同于形式:
一对虚的平行平面17,则同于形式:
一对重合平面综合以上结论,我们有定理2.1选取适当的坐标系,二次曲面方程总可以化简为以下五个简化方程中的一个
(1)
(2),39,(3)(4)(5)二次曲面总共有17种曲面.类似于空间二次曲面的讨论,读者自行研究平面上的二次曲线方程有如下结论。
记平面上的二次曲线方程为:
40,记经过类似于二次曲面方程的化简过程可以得到:
定理平面上的二次曲线方程可化简为以下三个简化方程之一:
(1)
(2)(3)二次曲线共分为9种,它们的方程形式如下:
(1)椭圆:
41,
(2)虚椭圆:
(3)交于一实点的二虚直线:
(4)双曲线:
(5)两条相交直线:
(6)抛物线:
(7)一对平行直线:
(8)一对虚平行直线:
(9)一对重合直线:
42,3不变量,在前面两节的讨论中,我们已经无意识地默认了这样的结论:
“即在直角坐标系下二次曲面(线)经过直角坐标变换后并没有改变其几何性质。
”从代数的角度看,经过直角坐标变换后,其方程的形式已可能变得面目全非,但决定曲面(线)几何特征的内蕴性一定不会改变,这就是曲面(曲线)的不变量。
43,3不变量,1.不变量2.利用不变量化简二次曲面与二次曲线方程,44,1.不变量,定义3.1由曲面(曲线)方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲面(曲线)的一个正交不变量,简称不变量。
设二次曲面的方程为(2.1)或(2.3),记,45,定理3.1是二次曲面的不变量.证明:
作任意一个直角坐标变换:
(3.1)其中,T是正交矩阵.将(3.1)代入二次曲面方程(2.3)得到:
46,(3.2)(3.2)就是在新坐标系下的二次曲面的方程,即:
因为T为正交矩阵,即,所以对任意实数,有:
另外:
47,因此得:
将上式两边展开得:
由的任意性得:
于是是二次曲面的不变量.,48,我们称方程(3.3)为二次曲面的特征方程,它的根称为二次曲面的特征根.由定理2.1知道特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都是不变的。
设三个特征根为则由根与方程的系数关系有:
除了以上不变量外,我们还有以下半不变量的概念,我们记:
49,定理3.2在保持原点不动的直角坐标变换(即坐标旋转变换)下,是不变量,称为半不变量。
证明:
设直角坐标变换为,其中,T是正交矩阵。
我们考虑如下二次曲面(3.4)式:
50,其中是任意实数。
经过坐标变换后,(3.4)将变为(3.5)式:
其中,是二次曲面的矩阵经过坐标变换后的二次曲面方程的矩阵.由定理3.1知是不变量,因此:
(3.6),51,而因此比较(3.6)式两边的和的系数知道:
于是在保持原点不动的直角坐标变换下是不变的。
对于二次曲线方程(2.12),记:
我们同样可以得到:
52,定理是二次曲线的不变量.定理当时,是二次曲线的不变量.,53,2.利用不变量化简二次曲面与二次曲线方程,由定理2.1我们从五个简化方程出发,用不变量来描述它们。
有下面的定理:
定理3.3二次曲面用不变量表示它的简化方程如下:
(1)当时,
(2)当时,(3)当时,54,(4)当时,(5)当时,其中分别为二次曲面的非零特征根。
我们只给出
(1)的证明。
设是曲面的特征根。
对应于此时由特征方程的根与系数的关系立即知道:
55,于是简化方程可写成:
同样,对二次曲线也有定理二次曲线用不变量表示它的简化方程如下:
(1)当时,
(2)当时,(3)当时,其中,分别是二次曲线的非零特征根。
例1化简方程,56,并指出它是什么曲面。
解:
先写出它的系数矩阵:
计算它的不变量:
57,其特征方程:
解得:
于是,简化方程为该二次曲面为椭球面.例2:
化简方程:
并指出它是什么曲面.解:
二次曲面的系数矩阵:
计算不变量,58,特征方程为:
特征根为:
于是,简化方程为:
该曲面是双曲柱面.,59,4中心,渐近方向,通过化简后的二次方程,我们已经较清楚地弄清二次方程所表示的是何种曲面(线),但我们还不能确定其在空间中所处的位置,如对称中心,对称轴,对称面(如果有的话)等等,另外诸如渐近线(面),切线(面)等也是我们关注的对象。
60,4中心,渐近方向,1.二次曲面与直线的相关位置2.曲面的中心,61,1.二次曲面与直线的相关位置,设二次曲面的方程为:
(4.1)其中,是对称矩阵,记:
62,称为函数F(x,y,z)的梯度向量.设直线过点,方向向量为,则直线的参数方程为:
(4.2)将(4.2)代入(4.1),我们得:
63,即(4.3)我们来讨论方程(4.3):
(1).当时(4.3)的判别式:
1当0时,与S有两个不同的实交点;2当=0时,与S有两个相同的实交点;3当0时,与S没有实交点,有一对共轭的虚交点。
(2).当时:
1当时,与S有唯一的实交点;2当时,与S没有交点;,64,3当时,在S上。
定义4.1满足的方向X:
Y:
Z叫做S的渐近方向.否则称为S的非渐近方向.由以上讨论知具有渐近方向的直线或与S没有交点,或有唯一交点或整条直线在S上。
由曲面渐近方向的定义可得到经过一固定点,以二次曲面的渐近方向为方向的所有直线构成的曲面方程是:
它是二次齐次方程,因而是以为顶点的锥面,锥面上每一条母线的方向都是二次曲面的渐近方向。
此锥面称为二次曲面的渐近方向锥面。
65,2.曲面的中心,定义4.2点C称为二次曲面S的中心,如果S上任意一点关于C的对称点仍在S上。
定理4.1是S的中心的充要条件是:
即证明:
必要性设是S的中心,任取S的非渐近方向,过C点且以为方向的直线与S必有两个(实、重合、虚的)交点(i=1,2).由于C为S的中心,所以C为线段的中点。
.的方程为:
66,设对应的参数为(I=1,2),则于是由方程4.3及韦达定理给出:
即(4.5)(4.5)对一切的非渐近方向都成立,故。
充分性.若满足(4.4),作移轴使C为新坐标系的原点,得到S的新方程:
(4.6)(4.6)中用分别代替方程不变,所以C是S的中心.由定理4.1看出二次曲面的中心坐标是方程组,67,的解.它的系数矩阵与增广矩阵分别为:
由线性方程组有解判别定理知道:
(1).当即方程组有唯一解,因而S有唯一中心,这种二次曲面称为中心曲面.
(2).当方程组的解构成一条直线,即这条直线上的点都是S的中心,这样的二次曲面称为线心曲面。
(3).当方程组的解构成一个平面,即此平面上的点均为S的中心,称此曲面为面心曲面.(4).当,方程组无解,即曲面S没有中心,称此曲面为无心曲面.线心曲面、面心曲面及无心曲面统称为非中心曲面。
68,命题4.1二次曲面为中心曲面的充要条件是;二次曲面为非中心曲面的充要条件是。
例1椭球面与单叶、双叶双曲面是中心曲面,中心均为原点O(0,0,0)。
解椭球面的不变量单叶、双叶双曲面的不变量因而它们都是中心曲面。
中心都满足方程故中心均为原点O(0,0,0)。
69,例2抛物面是无心曲面.解:
易知,因而抛物面是非中心曲面。
因为所以抛物面没有中心。
例3曲面是线心曲面.解:
此方程组的解为y=0,z=0。
因此中心构成直线,即x轴,故曲面为线心曲面。
70,对二次曲线而言,渐近方向和中心的概念可以类似地定义,有关的结论也是相仿的。
中心满足方程组(4.7)(4.7)的系数矩阵和增广矩阵分别为:
(1).当即(4.7)有唯一解,即有唯一中心,称为中心曲线。
例如椭圆、双曲线。
(2).当(4.7)的解组成一直线,称为线心曲线。
例如两平行直线。
(3).当,(4.7)没有解,即没有中心,称为无心曲线,例如抛物线。
71,定义4.3对中心曲面(中心曲线)而言,通过中心并具有渐近方向的直线称为渐近线。
以二次曲面的中心为顶点的渐近方向锥面称为二次曲面的渐近锥面。
72,5二次曲面的直径面、主径面,二次曲线的直径、主轴,1.二次曲面的直径面2.二次曲面的主径面,二次曲线的直径、主轴,73,1.二次曲面的直径面,定义5.1二次曲面上两个点的连线段称为二次曲面的一条弦.定理5.1二次曲面的沿非渐近方向的所有平行弦的中点轨迹在一个平面上,平面方程为,即(5.1)或,74,证明:
任取沿非渐近方向XYZ的一条弦,由(4.5)知的中点坐标满足即:
将上式展开整理,得:
由于所以不全为0,于是(5.1)表示一个平面.定义5.2二次曲面沿非渐近方向XYZ的平行弦中点所在的平面称为二次曲面共轭于方向XYZ的直径面。
75,推论5.1假如二次曲面S的中心存在,那么S的任何直径面一定通过S的中心。
进一步,线心曲面的任何直径面通过它的中心直线,面心曲面的直径面就是它的中心平面。
如果方向XYZ是二次曲面的渐近方向,那么平行于它的弦不存在。
但是如果不全为零,那么方程仍表示一平面,为了方便,把此平面叫做共轭于渐近方向XYZ的直径面。
如果(5.2)那么不再表示任何平面.定义5.3满足(5.2)的渐近方向XYZ称为二次曲面的奇异方向,简称奇向。
76,定理5.2二次曲面有奇向当且仅当。
由(5.2)及齐次线性方程组有非零解的条件立即得到。
定理5.3二次曲面S的奇向平行于S的任何直径面。
证明:
设是S的奇向任取S的一直径面:
因为,77,又为S的奇向,所以代入上式有:
故奇向平行于S的任何直径面。
例1求单叶双曲面的直径面.解:
因为所以它没有奇向。
任取一一方向XYZ,那么故共轭于XYZ的直径面方程是,78,例2求椭圆抛物面的直径面.解:
因为所以有奇向。
因为所以奇向为001。
任取非奇方向XYZ,那么又由故共轭于XYZ的直径面方程为:
显然它平行于奇向001。
79,定义5.3如果两方向,满足(5.3)或那么这两个方向称为一对共轭方向。
由此定义我们立即得到命题5.1
(1)奇向与任何方向都共轭;
(2)方向与非奇向XYZ共轭当且仅当与共轭于XYZ的直径面平行。
定义5.4二次曲面S的两直径面的交线称为S的一条直径,两条沿共轭方向的直径称为S的一对共轭直径。
80,对中心曲面而言,过中心的任何平面都是直径面(留作习题),因而过中心的每一条直线都是S的直径。
81,2.二次曲面的主径面,二次曲线的直径、主轴,定义5.5平面称为二次曲面S的对称面,如果对于任意点S,它关于的对称点S。
定义5.6与共轭方向垂直的直径面称为主径面。
82,由此定义知,若是S的主径面,则S的某一组平行弦的中点经过此平面,且这组平行弦与垂直。
设与主径面共轭的方向为XYZ,于是的方程为或,83,因为XYZ与垂直,所以XYZ与共线,即令比值为,故(5.4)写成矩阵形式:
84,或因为X,Y,Z不全为0,所以由齐次线性方程组有非零解的条件得:
(5.5)定义5.6二次曲面S的奇向及S的主径面的法向称为S的主方向。
由(5.4)和(5.5)知道,二次曲面S的主方向为矩阵的特征方向。
由此给出了求S的主方向的方法:
(1)先求出的特征根,
(2)再将特征根代入(5.4)求出主方向。
85,由(5.4)知,=0对应的主方向是S的奇向,非零特征根对应的主方向为S的非渐近方向,因为求出主方向XYZ后,代入得到与其共轭的主径面(与特征根对应的主径面):
(5.6)由代数知识知道:
命题5.2二次曲面的不同特征根对应的主方向互相垂直。
对于二次曲线而言,同样有弦的概念,直径、对称轴、主轴的定义对应于二次曲面的直径面、对称面、主径面,奇向、共轭方向、共轭直径与主方向可类似地定义(请读者写出)。
86,相应的结论有:
定理二次曲线的沿非渐近方向XY的所有平行弦的中点轨迹在一条直线上,直线方程为或定理二次曲线有奇向当且仅当。
定理二次曲线的奇向平行于的任何直径。
它们的证明留作习题。
命题
(1)奇向与任何方向共轭;
(2)方向与非奇向XY共轭当且仅当与共轭于XY的直径平行。
87,命题二次曲线的不同特征根对应的主方向互相垂直。
求二次曲线的主方向和主轴的步骤是类似的。
例3求二次曲面的主方向和主径面。
解:
二次曲面的矩阵特征方程为,88,特征根为4,3,0。
(1)将=4代入得:
解得主方向XYZ=10(-1),计算,因而主径面为4(x-z)+0=0,即:
(2)将=3代入得:
解得主方向XYZ=1(-1)1,计算,89,主径面为3(x-y+z)-3=0,即x-y+z-1=0.(3)将=0代入得:
解得主方向XYZ=121,它是奇向,与之共轭的直径面不存在。
例4求二次曲面2xy+2xz+2yz+9=0的主方向和主径面。
解:
二次曲面的矩阵,90,特征方程特征根为-1,-1,2。
(1)将=-1代入,得:
91,即X+Y+Z=0,因而平行于平面x+y+z=0的方向均为主方向。
于是过曲面中心(0,0,0),且垂直于x+y+z=0的一切平面均为主径面。
2)将=2代入得:
解得主方向XYZ=111,,主径面2(x+y+z)+0=0,即x+y+z=0.下面我们来找出方程化简中的直角坐标变换。
92,由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向。
因此二次曲面至少有三个主方向。
我们选取其中三个两两垂直的主方向并且将它们单位化,设为这样它们就可作为三个坐标向量。
因为,其中是特征根,是对应于的单位主方向,的坐标写成列向量的形式,所以有:
作矩阵即以单位主方向的坐标排成T的列,则T为正交矩阵且,93,故作直角坐标变换后,二次曲面的方程就化简为再经过一个适当的移轴(即选取适当的点为新的坐标原点),就可得到用不变量表示的简化方程。
对于中心曲面,选取中心作为新的坐标原点,对于线心和面心曲面任取一中心作为新的坐标原点,对无心曲面选取曲面的顶点(对称轴与曲面的交点)为新的坐标原点。
比如例4中,它是中心曲面,其中心为(0,0,0),=1对应的主方向平行于平面x+y+z=0,选两个互相垂直的主方向1
(1)0,11
(2),=2对应的主方向为111。
因为:
94,所以向量(1,1,0),(1,1,2),(1,1,1)两两垂直且构成右手系,将它们单位化得因此作右手直角坐标变换,95,则方程化简为即它是单叶双曲面。
寻找直角坐标变换的另一方法,是找三个两两垂直的主径面作为新的坐标面。
96,在例4中,对应的主方向为轴方向,则对应的主径面为面,即=0,其方程为:
x+y+z=0。
在对应的主方向中任取两个互相垂直的,比如1
(1)0,11
(2),它们分别作为轴和轴的方向,则对应的主径面为yOz(x=0),zOx(y=0)。
它们的方程为:
x-y=0,x+y-2z=0.然后将它们的法向量单位化,就有右手直角坐标变换:
97,或在此坐标变换下,简化方程就是用不变量来表示的方程。
98,例3中的简化方程为三个主方向分别为10
(1),1
(1)1,121。
因为所以,(1,0,1),(1,1,1),(1,2,1)构成左手系,那么(1,0,1),(1,1,1),(1,2,1)构成右手系。
取它们的单位向量分别为轴,轴,轴的方向。
因而对应的主径面,99,x-z=0,-x+y-z+1=0分别为面,面。
轴的方程为:
轴与曲面的交点为(1,1,1),以此点为新坐标系的原点,因而作右手直角坐标变换将它代入曲面方程中化简,由(3.2)有,100,现在,101,所以在以上坐标变换下,简化方程为,102,6切线、切平面,定义6.1如果直线与二次曲面S有两个重合的交点或在S上,则称为S的切线,交点称为切点。
设直线过点S,方向为XYZ,则由(4.3)得与S有两个重合的交点当且仅当在S上当且仅当故经过S的直线是S的切线当且仅当(6.1),103,
(1)不全为零由直线的方程(4.2)有XYZ=将此代入(6.1)得(6.2)(6.2)表示一个平面,即过点S的所有切线上的点构成一个平面。
定义6.2二次曲面S上一点处的所有切线上的点构成的平面称为S的切平面,此点称为切点。
(2)此时(6.1)成为恒等式,它对任何方向都满足,故过点的任何一条直线都是S的切线。
104,定义6.3若过点S的每一条直线都是S的切线,则称点是S的奇异点。
S的非奇异点,称为S的正常点。
由以上的讨论知道命题6.1
(1)正常点处有唯一的切平面,方程为(6.2)。
(2)为奇异点当且仅当如果,则过的切线不可能在S上,故过的直线为S的切线当且仅当,105,对切线上的任意点(x,y,z)都有将之代入(6.3)中得它是关于的二次齐次方程,即表示以为顶点的二次锥面,称为S的切锥。
定义6.4若过S的直线与处的切平面垂直,则称直线为S在处的法线。
由此定义得法线方程(6.4),106,对二次曲线而言,切线、法线、正常点、奇异点同样地定义。
过正常点,方向为XY的直线为的切线当且仅当由此得切线方程为法线方程为过曲线外的一点的直线为的切线当且仅当,107,因而切线上的点(x,y,z)满足(6.6)(6.6)的左端是的二次齐次多项式或零多项式。
若为前者,当它可以分解为两个实系数一次因式的乘积时,便得到过的两条直线,如果这两条直线的方向为非渐近方向,则它们是过的的切线;如果这两条直线的方向是渐近方向,则过的的切线不存在。
当它在实数范围内不能分解时,则过没有的实切线;若为后者,则过的任意直线均为的切线。
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- 第四 二次曲面 二次曲线
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