大一高数试题和答案与解析.docx
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大一高数试题和答案与解析
大一高数试题及答案
一、填空题(每小题1分,共10分)
________
1
1.函数y=arcsin√1-x
2
+──────的定义域为
_________
√1-x2
_______________。
2.函数y=x+e
x
上点(0,1
)处的切线方程是______________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)
3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim
───────────────
h→o
h
=_____________。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程
是
____________。
x
5.∫─────dx=_____________。
1-x4
1
6.lim
Xsin───=___________。
x→∞
X
7.设f(x,y)=sin(xy),则f
x(x,y)=____________。
_______
R
√R2-x2
8.累次积分∫
dx
∫
f(X2+Y2
)dy化为极坐标下的累次积分为
____________。
0
0
d3y
3
d2y
9.微分方程───+
──(───)2
的阶数为____________。
dx3
x
dx2
∞
∞
10.设级数
∑an发散,则级数∑an_______________。
n=1
n=1000
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的(),
...
1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)
(一)每小题1分,共10分
1
1.设函数f(x)=──,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()
x
111
①1-──②1+──③────④x
xx1-x
1
2.x→0时,xsin──+1是()
x
①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量
3.下列说法正确的是()
①若f(X)在X=Xo连续,则f(X)在X=Xo可导②若f(X)在X=Xo不可导,则f(X)在X=Xo不连续③若f(X)在X=Xo不可微,则f(X)在X=Xo极限不存在④若f(X)在X=Xo不连续,则f(X)在X=Xo不可导
4.若在区间(a,b)恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)
曲线弧y=f(x)为()
①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧
5.设F'(x)=G'(x),则()
①F(X)+G(X)为常数
②F(X)-G(X)为常数
③F(X)-G(X)=0
dd
④──∫F(x)dx=──∫G(x)dx
dxdx
1
6.∫│x│dx=()
-1
①0②1③2④3
...
7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()
①平行于xoy面的平面
②平行于oz轴的平面
③过oz轴的平面
④直线
x
8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg──,则f(tx,ty)=()
y
①tf(x,y)②t2f(x,y)
1
③t3f(x,y)④──f(x,y)
t2
an+1∞
9.设an≥0,且lim─────=p,则级数∑an()
n→∞an=1
①在p〉1时收敛,p〈1时发散
②在p≥1时收敛,p〈1时发散
③在p≤1时收敛,p〉1时发散
④在p〈1时收敛,p〉1时发散
10.方程y'+3xy=6x2y是()
①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
(二)每小题2分,共20分
11.下列函数中为偶函数的是()
①y=ex②y=x3+1
③y=x3cosx④y=ln│x│
12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)
使()
①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)
...
②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)
③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)
④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)
13.设f(X)在X=Xo的左右导数存在且相等是f(X)在X=Xo可导的()
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
d
14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,
则f(x)=()
dx
①cosx②2-cosx③1+sinx④1-
sinx
15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()
①x4②x4+c③x4+1④x4-
1
1x
16.lim───∫3tgt2dt=
x→0x30
①0②1
xy
17.limxysin─────=
x→0x2+y2
y→0
()
1
③──④∞
3
()
①0②1③∞④s
in1
18.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()
①设y'=p,则y"=p'
dp
...
②设y'=p,则y"=───
dy
dp
③设y'=p,则y"=p───
dy
1dp
④设y'=p,则y"=─────
pdy
∞∞
19.设幂级数∑anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑anxn在│x│〈│xo│
()
n=on=o
①绝对收敛
②条件收敛
③发散④收敛性与an有关
sinx
20.设D域由y=x,y=x
2所围成,则∫∫─────dσ=
(
)
D
x
1
1
sinx
①∫dx
∫─────dy
0
x
x
__
1
√y
sinx
②∫dy∫
─────dx
0
y
x
__
1
√x
sinx
③∫dx∫
─────dy
0
x
x
__
1
√x
sinx
④∫dy∫
─────dx
0
x
x
三、计算题(每小题5分,共45分)
___________
/x-1
1.设y=/──────求y'。
√x(x+3)
sin(9x2-16)
...
2.求lim───────────。
x→4/33x-4
dx
3.计算∫───────。
(1+ex)2
t1
dy
4.设x=∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求───。
0t
dx
5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。
___
6.设u=ex+√y+sinz,求du。
xasinθ
7.计算∫∫rsinθdrdθ。
00
y+1
8.求微分方程dy=(────)2dx通解。
x+1
3
9.将f(x)=─────────展成的幂级数。
(1-x)(2+x)
四、应用和证明题(共15分)
1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度
(比例常数为k〉0)求速度与时间的关系。
___1
2.(7分)借助于函数的单调性证明:
当x〉1时,2√x〉3-──。
x
附:
高数
(一)参考答案和评分标准
一、填空题(每小题1分,共10分)
1.(-1,1)
...
2.2x-y+1=0
3.5A
4.y=x2+1
1
5.──arctgx2+c
2
6.1
7.ycos(xy)
π/2π
8.∫dθ∫f(r2)rdr
00
9.三阶
10.发散
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的
(),1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)
(一)每小题1分,共10分
1.③
2.③
3.④
4.④
5.②
6.②
7.②
8.⑤
9.④
10.③
(二)每小题2分,共20分
11.④
12.④
13.⑤
14.③
15.③
16.②
17.①
18.③
19.①
20.②
三、计算题(每小题5分,共45分)
1
1.解:
lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)](2分)
2
11111
...
──y'=──(────-──-────)
(2分)
y
2
x-1
x
x+3
__________
1
/
x-1
1
1
1
y'=──
/──────(────-──-────)
(1分)
2√x(x+3)
x-1
x
x+3
18xcos(9x
2-16)
2.解:
原式=lim
────────────────
(3分)
x→4/3
3
18(4/3)cos[9(4/3)
2-16]
=──────────────────────
=8
(2分)
3
1+ex-ex
3.解:
原式=∫───────dx
(2分)
(1+ex)2
dx
d(1+ex)
=∫─────-∫───────
(1分)
1+ex
(1+ex)2
1+ex-ex
1
=∫───────dx
+─────
(1分)
1+ex
1+ex
1
=x-ln(1+e
x)+─────+c
(1分)
1+ex
4.解:
因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arc
tgtdt
(3分)
dy
-(sint)arctgtdt
所以───=────────────────
=-tgt
(2分)
dx(cost)arctgtdt
5.解:
所求直线的方向数为{1,0,-3}(3分)
x-1
y-1
z-2
所求直线方程为
────=────=────
(2分)
1
0
-3
__
__
6.解:
du=ex+√y+sinz
d(x+√y
+sinx)
(3分)
__
一、
D
C
A
C
A
B
C
C
B
A
...
DABAD
ADBDA
二课程代码:
00020
一、单项选择题(本大题共20
小题,每小题
2分,共40分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的
括号。
错选、多选或未选均无分。
1.设函数f(
1
x
(
)
)
x
,则f(2x)
x
1
A.
1
B.
2
12x
x
1
C.2(x
1)
D.2(x
1)
2x
x
2.已知f(x)=ax+b,
且f(-1)=2,f
(1)=-2,
则f(x)=
(
)
A.x+3
B.x-3
C.2x
D.-2x
3.lim(
x
)x
(
)
xx1
A.e
B.e-1
C.
D.1
4.函数y
x
3
的连续区间是(
)
(x
2)(x
1)
A.(
2)
(
1,
)
B.(
1)
(
1,
)
C.(
2)
(
2,1)
(1,
)
D.3,
5.设函数f(x)
(x
1)ln(x
1)
2
,
x
1在x=-1
连续,则a=(
)
a
,
x
1
A.1
6.设y=lnsinx,A.-cotxdxC.-tanxdx
x
7.设y=a(a>0,a
A.0
C.lna
B.-1
C.2
D.0
则dy=(
)
B.cotxdx
D.tanxdx
1),则y(n)
x0(
)
B.1
D.(lna)
n
8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x0个单位时的总成本变化率(即边际成本)
是()
A.C(x)B.C(x)
xx
C.dC(x)D.dC(x)
dxdx
xx0
xx0
...
9.函数y=e-x-x在区间(-1,1)
(
)
A.单调减小
B.单调增加
C.不增不减
D.有增有减
10.如可微函数f(x)在x
处取到极大值
f(x),则(
)
0
0
A.f(x0)0
B.f(x0)0
C.f
(x0)
0
D.f(x0)不一定存在
11.
[f(x)
xf(x)]dx(
)
A.f(x)+C
B.
xf(x)dx
C.xf(x)+C
D.
[x
f(x)]dx
12.设f(x)
的一个原函数是
x2,则
xf(x)dx
(
)
A.x3
C
B.x
5+C
3
C.2x3
C
D.x5
C
3
15
83
13.
exdx
(
)
8
A.0
B.
2
8
e
3xdx
0
2
D.
3
2
x2exdx
C.
exdx
2
2
14.下列广义积分中
发散的是(
)
1
dx
B.
1
dx
A.
x
0
0
x
1
dx
D.
1
dx
C.
3
0
x
0
1
x
15.满足下述何条件,级数
Un一定收敛(
)
n1
n
A.
Ui有界
B.lim
Un
0
i
1
n
C.lim
Un1
r1
D.
|Un
|收敛
Un
n
n
1
16.
幂级数
(x1)n的收敛区间是(
)
n1
A.
0,2
B.(0,2)
...
C.0,2
D.(-1,1)
x2
17.
设z
ey,则z
(
)
y
x2
2
x2
A.e
y
B.x2
e
y
y
2x
x2
1
x2
C.
e
y
D.
e
y
y
y
18.
函数z=(x+1)
2+(y-2)2的驻点是(
)
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.(-1,-2)
D.(1,-2)
19.
cosxcosydxdy
(
)
0
x
2
0
y
2
A.0
B.1
C.-1
D.2
20.
微分方程dy
1sinx满足初始条件y(0)=2
的特解是(
)
dx
A.y=x+cosx+1
B.y=x+cosx+2
C.y=x-cosx+2
D.y=x-cosx+3
二、简单计算题(本大题共
5小题,每小题
4分,共
20分)
21.
求极限
lim(n
3
n)n1.
n
1
22.
设y
xx,求y
(1).
23.
求不定积分
cos2x
dx.
1sinxcosx
24.求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分.
25.
用级数的敛散定义判定级数
1
的敛散性.
n1n
n1
三、计算题(本大题共
4小题,每小题
6分,共24分)
26.
设zxy
xF(u),u
y,F(u)为可导函数,求x
z
y
z.
x
x
y
27.
I
2
计算定积分
xlnxdx.
1
28.
计算二重积分I
cos(x2
y2)dxdy,其中D是由x轴和y
x2所围成的闭区域.
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