湖南省长沙一中届高三第六次月考数学试题理科.docx
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湖南省长沙一中届高三第六次月考数学试题理科
湖南省长沙一中
2019届高三第六次月考
数学试题(理科)
(考试范围:
集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间
向量)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},则M∩N=()
A.{x|0 C.{x|-1 2.已知函数f(x)=sin(2x-),若存在α∈(0,π),使得f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则α的值是() A.B.C.D. 3.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,又知α∩β=m,且n⊄α,n⊄β,则“n∥m”是“n∥α且n∥β”的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.6名同学安排到3个宿舍,每个宿舍两人,其中甲必须在一号宿舍,乙和丙均不能到三号宿舍,则不同的安排方法种数为() A.6B.9C.12D.18 5.若f(x)=f1(x)=,fn(x)=fn-1[f(x)](n≥2,n∈N*),则f (1)+f (2)+…+f(n)+f1 (1)+f2 (1)+…+fn (1)=() A.nB.C.D.1 6.已知m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b被m除得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a≡b(modm),例如: 5≡13(mod4).若22019≡r(mod7),则r可以为 () A.2019B.2019C.2010D.2011 7.在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是() A.B.C.D. 8.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1)时,f(x)=1-x2,函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为 () A.12B.14C.13D.8 二、填空题: 本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.已知a是实数,是纯虚数,则a的值是 . 10.若x1,x2,x3,…,x2009,x2010的方差是2,则3(x1-1),3(x2-1),…,3(x2009-1),3(x2010-1)的方差是 . 11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号) 12.已知函数f(x)=-x2+ax-2b.若a,b都是区间[0,4]内的数,则使f (1)>0成立的概率是 . 13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查,设每个学生平均每天作业的时间为x(单位: 分钟),且x~N(60,100),已知P(x≤50)=0.159.现有1000名小学生接受了此项调查,下图是此次调查中某一项的流程图,则输出的结果大约是 . 14.已知关于x的方程9x-(4+a)·3x+4=0有两个实数解x1,x2,则的最小值是 . 15.对有10个元素的总体{1,2,3,…,10}进行抽样,先将总体分成两个子总体A={1,2,3,4}和B={5,6,7,8,9,10},再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本,用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率,则P15= ,所有Pij(1≤i 三、解答题: 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知向量m=(sin,1),n=(cos,cos2),f(x)=m·n. (1)若f(x)=1,求cos(-x)的值; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足acosC+c=b,求函数f(B)的取值范围. 17.(本小题满分12分) 在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中,有一项游戏规则如下: 参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题,立即结束游戏,并获得纪念品;如果5次机会用完仍未累计答对2道题,也结束游戏,并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是,且每道题答对与否互不影响. (1)求该参与者获得纪念品的概率; (2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ,求ξ的分布列及期望. 18.(本小题满分12分) 如图,在体积为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P为线段AB上的动点. (1)求证: CA1⊥C1P; (2)当AP为何值时,二面角C1-PB1-A1的大小为? 19.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R). (1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件; (2)当函数f(x)在[,2]上单调时,求a的取值范围. 20.(本小题满分13分) 某旅游景区的观景台P位于高(山顶到山脚水平面M的垂直高度PO)为2km的山峰上,山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB,山坡面可近似地看作平面PAB,且△PAB为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α(0°<α<90°),且sinα=.现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路,该公路的第一段、第二段、第三段…,第n-1段依次为C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn(如图所示),且C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn与AB所成的角均为β,其中0<β<90°,sinβ=.试问: (1)每修建盘山公路多少米,垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半),在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站,索道PQ依山而建(与山坡面平行,离坡面高度忽略不计),问盘山公路的长度和索道的长度各是多少? (2)若修建xkm盘山公路,其造价为a万元.修建索道的造价为2a万元/km.问修建盘山公路至多高时,再修建上山索道至观景台,总造价最少. 21.(本小题满分13分) 已知正项数列{an}的首项a1=,函数f(x)=,g(x)=. (1)若正项数列{an}满足an+1=f(an)(n∈N*),证明: {}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若正项数列{an}满足an+1≤f(an)(n∈N*),数列{bn}满足bn=,证明: b1+b2+…+bn<1; (3)若正项数列{an}满足an+1=g(an),求证: |an+1-an|≤·()n-1. 参考答案 一、选择题 1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 解: 由++=得+++=0,即=2,所以点P是CA边上的三等分点,故S△PBC∶S△ABC=2∶3. 8.B 解: 如图,当x∈[0,5]时,结合图象知f(x)与g(x)共有5个交点, 故在区间[-5,0]上共有5个交点; 当x∈(0,10)时,结合图象知共有9个交点,故函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]上共有14个零点. 二、填空题 9.-1 10.18 11.①② 12. 13.159 14.2 解: 原方程可化为(3x)2-(4+a)·3x+4=0, ∴3x1·3x2=4,∴x1+x2=2log32,∴x1x2≤(log32)2. ∴==-2≥2. 15. 10 解: (1)由题意有: P15==. (2)当1≤i 故所有Pij(1≤i 当5≤i 这样的Pij共有C=15个,故所有Pij(5≤i 当1≤i≤4,5≤j≤10时,Pij=,这样的Pij共有4·6=24, 所有Pij(1≤i≤4,5≤j≤10)的和为24·=6, 综上所述,所有Pij(1≤i 三、解答题 16.解: (1)∵f(x)=m·n=sincos+cos2=sin+cos+=sin(+)+, 而f(x)=1,∴sin(+)=.(4分) 又∵-x=π-2(+), ∴cos(-x)=-cos2(+)=-1+2sin2(+)=-.(6分) (2)∵acosC+c=b,∴a·+c=b, 即b2+c2-a2=bc,∴cosA=. 又∵A∈(0,π),∴A=.(10分) 又∵0 ∴f(B)∈(1,).(12分) 17.解: (1)设“参与者获得纪念品”为事件A,则 P(A)=1-P()=1-[()5+C()4()]=.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为.(5分) (2)ξ的可能取值为2,3,4,5, P(ξ=2)=()2=;P(ξ=3)=C··=; P(ξ=4)=C()2=; P(ξ=5)=C()()3+C()4=.(8分) 故ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 P (10分) Eξ=2×+3×+4×+5×=.(12分) 18.解: (1)证明: ∵AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AC,AA1⊥AB. 又∵AB⊥AC, ∴以A为原点,AC,AB,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系. 又∵VABC-A1B1C1=AB×AC×AA1=1,∴AB=2.(2分) 设AP=m,则P(0,m,0),而C1(1,0,1),C(1,0,0),A1(0,0,1), ∴=(-1,0,1),=(-1,m,-1), ∴·=(-1)×(-1)+0×m+1×(-1)=0, ∴CA1⊥C1P.(6分) (2)设平面C1PB1的一个法向量n=(x,y,z),则 ,即 . 令y=1,则n=(2,1,m-2),(9分) 而平面A1B1P的一个法向量=(1,0,0), 依题意可知cos===, ∴m=2+(舍去)或m=2-. ∴当AP=2-时,二面角C1-PB1-A1的大小为.(12分) 19.解: (1)∵f′(x)=-2x+a-=(x>0), ∴f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x2-ax+1=0有两个不等的正实数根x1,x2. (3分) ∴ ,∴a>2, ∴函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a>2.(6分) (2)f′(x)=-2x+a-,令g(x)=2x+, 则g′(x)=2-,g(x)在[,]上递减,在(,2)上递增.(8分) 又g()=3,g (2)=,g()=2, ∴g(x)max=,g(x)min=2.(10分) 若f(x)在[,2]单调递增,则f′(x)≥0即a≥g(x),∴a≥. 若f(x)在[,2]单调递减,则f′(x)≤0,即a≤g(x),∴a≤2. 所以f(x)在[,2]上单调时,则a≤2或a≥.(13分) 20.解: (1)在盘山公路C0C1上任选一点D,作DE⊥平面M交平面M于E,过E作EF⊥AB交AB于F,连结DF,易知DF⊥C0F.sin∠DFE=, sin∠DC0F=. ∵DF=C0D,DE=DF,∴DE=C0D, 所以盘山公路长度是山高的10倍,索道长是山高的倍, 所以每修建盘山公路1000米,垂直高度升高100米. 从山脚至半山腰,盘山公路为10km.从半山腰至山顶,索道长2.5km.(6分) (2)设盘山公路修至山高x(0<x<2=km,则盘山公路长为10xkm, 索道长(2-x)km. 设总造价为y万元, 则y=a+(2-x)·2a=(10-5x)a+10a. 令y′=-5a=0,则x=1. 当x∈(0,1)时,y′<0,函数y单调递减;当x∈(1,2)时,y′>0,函数y单调递增, ∴x=1,y有最小值,即修建盘山公路至山高1km时,总造价最小, 最小值为15a万元.(13分) 21.证明: (1)∵an+1=f(an)=,∴==+1,即-=1, ∴{}是以2为首项,1为公差的等差数列. ∴=2+(n-1),即an=.(3分) (2)证明: ∵an+1≤,an>0,∴≥,即-≥1. 当n≥2时,-=(-)+(-)+…+(-)≥n-1, ∴≥n+1,∴an≤. 当n=1时,上式也成立,∴an≤(n∈N*), ∴bn=≤<=-, ∴b1+b2+…+bn<(1-)+(-)+…+(-)=1-<1.(8分) (3)∵a1=,a2=g(a1)=,a2-a1=-=>0. 又∵an+1-an=-=, 由迭代关系可知,an+1-an>0,∴an≥a1=. 又∵(2+an)(2+an-1)=(2+)(2+an-1)=5+4an-1≥7, ∴≤, ∴|an+1-an|=|an-an-1|≤|an-an-1|, ∴|an+1-an|≤|an-an-1|≤()2|an-1-an-2|≤… ≤()n-1|a2-a1|=()n-1.(13分)
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