概率论与数理统计天津大学作业答案.docx
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概率论与数理统计天津大学作业答案
概率论与数理统计复习题
填空题
1.设随机变量
1X的分布律为P{X二k}二A(—)k,k=1,2,3,4,贝UA=。
2
答案:
16
15
2.设总体X服从均匀分布U(/—1j),二为未知参数。
Xi,X2^|,Xn为来自总体X
的一个简单随机样本,X为样本均值,则二的矩估计量为0
答案:
-1
X-
2
3.设X服从参数为1的指数分布e
(1),丫服从二项分布B(10,0.5),
则DYUo
D(X)
答案:
2.5
4.设A,B,C为三个随机事件,则“A,B,C中只有两个发生”可表示为
答案:
ABCABCABC
5.某袋中有7个红球、3个白球,甲乙二人依次从袋中取一球,每人取后不放回,
则乙取到红球的概率为0
答案:
0.7
6.设A,B,C为三个随机事件,则“A,B,C中只有一个发生”可表示为o
答案:
ABC一ABC一ABC
7.某袋中有9个红球、3个白球,甲乙二人依次从袋中取一球,每人取后不放回
,则乙取到白球的概率为0
答案:
0.25
选择题
1、一批产品中有正品也有次品,从中随机抽取三件,设A,B,C分别表示抽出
的第一件、第二件、第三件是正品,下列事件不能描述“正品不多于两件”的是(C)o
(A)ABC(B)
ABC-ABC-ABC-ABC-ABC-ABC-ABC
(C)A-B-C(D)A一B一C
2、设总体X〜N(3,16),X1)X2J||)X16为来自总体X的一个样本,X为样本均值,则(A)
(A)X-3~N(0,1)(B)4(X-3)〜N(0,1)
(C)X—3~n(0,1)(D)X_3~n(0,1)
416
3、在假设检验中,H。
表示原假设,H1表示对立假设,则犯第一类错误的情况
为(C)
(A)H0真,接受H°(B)H0不真,接受H°
(C)H0真,拒绝H°(D)H0不真,拒绝H°
4、设X1.X2.X3.X4是来自均值为」的总体的样本,其中」未知,贝U下列估计量中不是」的无偏估计的是(B)。
/A、11川、32X2+3X3+4X4
(A)T1(X1X2)*X3X4)(B)T2=12匚34
635
(C)T3=X1X2X3X4(D)T4=1X1X2X3X45.设
42488
X服从参数为■的Poisson分布,即X~P(■),则旦耳二(A)。
D(X)
1
(A)1(B)'(C)-(D)0
扎
6.设随机变量X〜NR,4),丫〜N©1),且X,丫相互独立,X2Y,则Z~
(B)。
(A)N(6,8)(B)N(2,8)(C)N(0,6)(D)N(0,46)
简答题
设随机变量z在〔_5,61上服从均匀分布,
0,ZE—1卜1,Z兰1
X丫二
J,Z>T,J,Z:
>1,写出(X,Y)的联合分布律。
解:
4
P{X=0,Y--1}=P{Z—-1,Z—1}=P{Z—-1}:
11
P{X=0,Y=1}二P{Z_-1,Z1}=0,
P{X=1,Y=—1}=P{Z.—1,Z乞1}=P{—1:
:
:
Z^1}2,
11
P{X=1,Y=1}=P{Z•_1,Z1}=P{Z1}=5
11
即为
1
—
f(x)二300I。
,
(1)求元件寿命超过600小时的概率;
2)若有3个这种元件在独立的工作,求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。
解:
X
「;12
P{X600}=e300dx二e
(1)600300
(2)至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为
22、222、346
C3(e)(1-e)(e)3e…2e
一盒灯泡共12个,其中10个合格品,2个废品(点时不亮)。
现从中任取一个使用,若取出的是废品,则废品不再放回,再取一个,直到取得合格品为止。
求在取得合格品以前已取出的废品数X的分布律、数学期望和方差。
解:
故X的分布律为
10521101
,P{X=2}=■■=,
3312111066
X
0
1
2
5
5
1
Pk
—
—
6
33
66
2
一―2
7“
65
EX
_,DX-
11
33
363
所以EX=
设随机变量X与Y相互独立,下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及X
和Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表的空白处。
(注意:
必须有简单的计算依据,无依据扣分)
答案:
因为X与丫独立,所以必=Dp,i=1,2,j=1,2,3。
又送卩广1,故得如下
i,j
表格。
设总体X具有密度函数
1
n=2,a二b二
30
其中二是未知参数,(Xi,…,Xn)是来自总体X的样本
求:
(1)二的矩估计量;
(2)d的极大似然估计量
解:
(1)E(x)=;x(d1)xPx
令丄:
二X,解得4空].
V21-X
n
(2)L(Rwf(x「)十-1)n(XiJ||,Xnr,
i4
n
InL(v)=nln(v1)八Inx
7
且X12X2,2X3-X4相互独立,
甲厂和乙厂生产同样的产品,生产后集中到一起。
已知甲厂生产的产品占60%
乙厂生产的产品占40%两厂生产产品的次品率分别为1唏口2%现从这些产品中任取一件,求取到的恰好是次品的概率。
解:
设A:
任取一件恰好是次品B:
甲厂生产,则P(A)二P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)=60%*1%+40%*2%=0.014
设随机变量X的概率密度函数为
■■2
Ax,0:
:
x:
:
2
f(x)二
P其它
求:
(1)A的值;
(2)X的分布函数F(x);(3)D(X)。
2
解:
解:
(1)令,(x)dx二Ax2dx=1,得
0
设总体X服从参数为■的指数分布,即
「X
f(x)-'
I0,
其中,・0为未知参数,
最大似然估计?
。
x0
x乞0
X「X2,川,Xn为来自总体X的一个简单随机样本,求’的
解:
n
L(J'f(xi,J='ne
i=1
n
InL(J=nln冷?
、、('xi).
i』
令如亠x)7解得•=nn
uEx
i=1
故■的最大似然估计量为?
="匚
ZXi
i4
袋中有5个球,其中有3个红球、2个白球,从中任取两球,求取出的两球颜色相同的概率。
C1C1
解:
C3C2
I2~
d
箱子中有10只开关,其中2只是次品,8只是正品。
在其中不放回地取两次,每次取一只。
令
0,若第一次取的是正品0,若第二次取的是正品
X二,丫二
1,若第一次取的是次品1,若第二次取的是次品
求(X,Y)的联合分布律。
解:
P{X-0,Y=1}
P{X-1,Y-0}
P{X=1,Y=1}
0,x:
200,
设总体X的分布律为
X
-1
0
1
Px
日2
28(1」)
(1」)2
其中0v:
1为未知参数,现有8个样本观测值-1,-1,-1,0,1,1,-1,0,
(1)求二的矩估计£;
(2)求二的极大似然估计呀。
InL(R=1n410lnr6ln(1-旳,
得?
2=5设总体x的概率密度函数为f(x)=壮二0其他1,其中二0为未知参数,
(X「X2,…,Xn)为来自这个总体的样本。
求:
(1)二的矩估计;
(2)二的最大似然估计量。
解:
「X
LL)刑T=x?
4"2(X1X2HlxO加,
n厂n
lnL⑺=一lnr(n-1)'Tnxi
2
所以二的极大似然估计为
解:
P(X=0)=C;*(0.9)°*(0.1)2=0.01
n
n
ZinXi
2
设有甲乙两个袋子,甲袋中有3个红球、4个白球;乙袋中有2个红球、5个白球。
现在从甲袋中任取两个球放入乙袋中,再从乙袋中任取一个球。
1)求从乙袋中取出的这个球为红球的概率;
(2)若已知从乙袋中取出的这个球为红球,求从甲袋中取出的这两个球都为红球的概率。
解:
(1)A:
从乙袋中任取一个为红球
Bk:
从甲袋中恰取出k个红球,k=0,1,2
P(A)八PBkpA(Bk|=C29
P(X=1^C1*(0.9)1*(0.1)^0.18
P(X=2)=C;*(0.9)2*(0.1)0=0.81
X
0
1
2
Px
0.01
0.18
0.81
X的分布律为:
对同一靶子进行两次独立地射击,每次击中的概率为
击中靶子的次数。
求X的分布函数F(x)。
0.9。
设X表示两次射击中
kz0C79
X的分布函数为:
F(x)=*
Q
0.01,
x:
:
:
0
0岂x:
:
:
1
0.19,1 : 2 1,x—2 在正态总体X~N(30,4)中随机抽取一个容量为16的样本,X为样本均值。 求 P{|X-30|: : 1}。 (•: 」(0.5)=0.6915,: : 」 (2)=0.9770) 解: -1 X~N(30,—), P{|X-30|: : 1}=P{29: X: : 31} (2)-: 」(一2)=2^ (2)-1=20.9770=0.954 对同一靶子进行两次独立地射击,每次击中的概率为0.8。 设X表示两次射击中击中靶子的次数。 求X的分布函数F(x)。 解: P(X=0)=C0*(0.8)0*(0.2)2二0.04 P(^1^C2*(0.8)*(0.2)1=0.32 P(X=2)*(0.8)2*(0.2)0=0.64 X的分布律为: 0, 0.04, X的分布函数为: F(x)二 设(X,丫)的联合概率密度函数为 X012 某商店销售一批电视机共9台,其中有2台次品,7台正品。 目前已售出2台(不 挑选),今从剩下7台中任搬一台,求此台为正品的概率 解: A: 任搬一台为正品,Bk: 卖出k件正品,k=0,1,2,贝U P(A)八p(Bk)P(A|Bk)二C27CC76•C2.9 Tx1C927C27C9279 「1 其它 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=4,0岂x'2,0'y^2x, 0, 求边缘密度fx(x),fY(y)。 并回答X和丫是否相互独立? 说明理由。 解: 设总体X的概率密度函数为f(x)二",x0,XjXzJII’Xn为来自总体X0,其它 的一个样本,求未知参数V的最大似然估计M n •: CXj) ni4 e- 解: nn l(8)=hf(Xi)=n%七=8 i=1i=1 n InL(r)二nInJ--Cxi). i=1 故二的最大似然估计量为彳二 n n 'Xi id 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率比例为3: 2: 1,且三家工厂的次品率分别为2%、1%、3%。 试求市场上该品牌产品的次品率。 解: 解: 设B: 买到一件次品。 Ai: 买到i厂家产品;i=甲,乙,丙 P(B)=P(B|A)P(A)P(B|A2)P(A)P(B|a)p(A3) 321 =0.020.010.030.0183 666 10<*<10 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)='': ;一八,求Cov(X,Y) 0,其它 解: : : : : 12x2 E(X)xf(x,y)dxdy=0dx0xdy=- -_■.: _-0-03 : : : : 12x1 E(XY)二.;xyf(x,y)dxdy二0dx。 xydy=§ Cov(X,Y)二EXY—EXEX丄221 23318 设(X,Y)的联合概率密度函数为 2xy,0x: 1,0: : y2xf(x,y)二 、’2xydy 0: x: 1 f(x,y)dy二0 _oO 0 其它■ 0■x: : 1 其它 0: y: 1 其它 fx(X)二 4x3 求边缘密度fx(X), fY(y)。 并回答x和丫是否相互独立? 说明理由 0,其它 解: '1 •: Ily2xydx fY(y)=—f(x,y)dx二2 10 X和Y不相互独立,这是因为f(x,y)=fx(x)fY(y). 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 0: : x: : 1,0: : y: : 1 O 其它 f(x,y)二6xy, 0, 求边缘密度fx(X), 解: fY(y)o并回答X和Y是否相互独立? 说明理由。 因为f(x,y)二fx(x)fY(y),所以X和Y相互独立。 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,求: (1)X的分布律; (2)E(X)o 答案: (1)X的分布律为: P(X C5 P(X C5 求: (1)常数A,B的值; (2)X的概率密度函数f(x);(3)P{-1: : : X: : : 1}o 答案: (1)由F(畑)=1得A=1;由F(x)在x=0处连续,得A+B=0所以B=-1。 2e (2)f(x)=F'(x)=」 0, (3) x; x: : 0' F(-1)=1-e, P{—1: : XJ=F (1)
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