高考理科数学全国卷3试题及答案.docx
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高考理科数学全国卷3试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷山)
2014年1月至2016年12月期间
理科数学
根据该折线图,下列结论错误的是()
要求的.
1.已知集合A
22D
(x,y)xy1,B
(x,y)y
x,贝yAIB中兀素的个数(
)
A.3
B.2
C.1
D.0
2.设复数z满足
1iz2i,则z
(
)
1
A.-
B.辽
c.2
D.2
2
2
、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
533
4.x+y2xy的展开式中x3y3的系数为()
D.fx
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
n
D.-
4
11.已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点,则a
1
1
1
A.
B.-
C.-
D.1
2
3
2
urnuuuumr
12.在矩形
ABCD中,
AB1AD
2,动点P在以点
C为圆心且与BD相切的圆上
若AP=AB+AD,
则
的最大值为
()
A.3
B.22
C.5
D.2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
xy0,
13.若x,y满足约束条件xy20,则z3x4y的最小值为.
y0,
14.设等比数列an满足aa2-1,a1a33,则a4=.
x1,x0,…亠-1
15.设函数f(x)x则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是
2x,x0,2
16.ab为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与ab都垂直,斜边
AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
1当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;
2当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;
3直线AB与a所成角的最小值为45;
4直线AB与a所成角的最大值为60.
其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17~21题为必考题,每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)
△ABC的内角ABC的对边分别为abc,已知sinAVScosA0,a=2T7,b2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求厶ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降
价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
°C)
有关.如果最咼气温不低于25,需求量为500瓶;如果最咼气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高
气温数据,得下面的频数分布表:
最咼
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,ABDCBDABBD.
(1)证明:
平面ACD平面ABC;
D-AE-C的余弦值.
20.(12分)
21.(12分)
已知函数f(x)x
alnx.
(1)若f(x)0,
求a的值;
(2)设m为整数,
且对于任意正整数
1
n,1+
1
1+—7K
22
1+右Vm,求m的最小值.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分
22.[选修44:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线11的参数方程为
x2+t
ykt「t为参数),直线l2的参数方程为
2m,m(mk,
为参数)•设h与12的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设13:
cossin2=0
M为I3与
C的交点,求M的极径•
23.[选修45:
不等式选讲](10分)
已知函数f(xx1x2.
(1)求不等式f(x1的解集;
(2)若不等式f(xx2-xm的解集非空,求m的取值范围
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷山)
理科数学答案解析
1.【答案】B
2222
【解析】A表示圆xy1上的点的集合,B表示直线yx上的点的集合,直线yx与圆xy1
有两个交点,所以AIB中元素的个数为2.
2.【答案】C
2i2i1il
【解析】z旦i1i,所以z运.
1i1i1i
3.
【解析】根据折线图可知,
【答案】A
2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少,所以A错
4•【答案】C
33
C52C52108440.
5.
【答案】B
6.
【答案】D
8n
x,x
3
n
3
3n,所以cosx
n
3
1,所以B正确;f
xn
n
4n
3
cosxn
3
cosx
4n3n
n
zn
2
当x时,
x
所以f
『x
n0,所以C正确;
函数f
xcosx—
在(—,
n)
6
32
3
2
3
2
上单调递减;(一n,n)上单调递增,故D不正确.所以选D.
7.【答案】D
【解析】S0100100M10t2,10091S1001090,M1t3,90<91,输出S,此
8【答案】B
9.
【答案】A
10.
【答案】
11.【答案】
12.
2x
【解析】由
13.【答案】
【解析】以
A为坐标原点,
AB,AD所在直线分别为
x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则
0),B
(1,0),C(1,
2),D(0,2),可得直线
BD的方程为2xy20,点C到直线
BD的距
22
圆C:
x1y2
4,因为P在圆C上,所以P(1建5cos,
55
5sin
5
urn
uuir
uuu
uuu
)AB
(1,0),AD
(0,2),AP
AB
uur125cos
AD(,2),所以{[匚
225sin2
5
22^cos@sin2sin3,tan2,选A
55
l:
3x4y0,平移直线l,当直线
13•【答案】1
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线
1.
z3x4y经过点A(1,1)时,z取得最小值,最小值为
14.【答案】8
【解析】设等比数列
an的公比为q,则aa2a,1q)
2
1,aa3冃(1q)3,两式相除,
得-—q21,解得q2,a11,所以a4aq38.
1q3
15•【答案】
111x丄11
【解析】当X>0,f(x)=2x>1恒成立,当x->0,即Q—时,f(x)=22>1,当x0,即0 22222 1111 时,f(x2)=x2>2,则不等式f(x)f(x2>1恒成立•当xo时, ‘‘C11 f(x)f(xI)x1x12x3>1,所以Vx0.综上所述,x的取值范围是(,). 22244 16.【答案】②③ 【解析】由题意知,a,b,AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1, 则AC1,AB2,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为 圆心,I为半径的圆. uuuuuuum 以C为坐标原点,以CD的方向为x轴正方向,CB方向为y轴正方向,CA的方向为z轴正方向建立空间 直角坐标系. 则D(1,0,0),A(0,0,1), 直线a的单位方向向量a(0,1,0),a1. B点起始坐标为(0,1,0), 直线b的单位方向向量b(1,0,0),b1. 设B点在运动过程中的坐标B'(cos,sin,0), uuuruuu 其中为CB'与CD的夹角,[0,2). uuiuIuuurl 那么AB'在运动过程中的向量AB'(cos,sin,1),AB'-.2 设直线AB'与a所成的夹角为 [0,2], cos cos,sin iTAB sin 故所以③正确,④错误• 42 [0,2], 设直线AB'与b所成的夹角为,则 I uuur AB'b cos—.ULun, bl|AB'| (cos,sin,1)(1,0,0) Jptutu1 b|AB' 血I =—cos. 2 当AB'与a成60角时, 因为sin2+cos2=1, 所以cos 因为[0,2], 所以=3,此时AB'与b成60角. 三、解答题 17.【答案】解: (1)由已知得tanA3 所以A=2n. 3 c24ccos^即c2+2c24=0. 3 解得c6(舍去),c=4 1n 1ABgACgsinn 故Vabd面积与Vacd面积的比值为—1 -ACgAD 1又VABC的面积为-42sinBAC2・、3■所以ABD的面积为3. 【解析】 (1))先求出角a,再根据余弦定理求出c即可; (2)根据Vabd,Vacd,Vabc的面积之间的关系求解即可. 18.【答案】解: 216 PX2000.2 (1)由题意知,X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知90, 362574 PX3000.4,PX5000.4. 9090 因此x的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200 当300 若最高气温不低于25,则Y6n4n2n 若最高气温位于区间20,,25,则Y63002(n3004n12002n; 若最高气温低于20,则Y62002(n2004n8002n; 因此EY2n0.412002r)0.48002n0.26400.4n. 当200wn300时, 若最高气温不低于20,则丫6n4n2n; 若最高气温低于20,则丫62002(n2004n8002n; 因此EY2n0.40.48002n0.21601.2n. 所以n300时,丫的数学期望达到最大值,最大值为520元. 【解析】 (1)根据表格提供的数据进行分类求解即可; (2)根据分布列得到关于利润的函数表达式,进而求 解最值. 19.解: (1)由题设可得,ABDCBD,从而ADDC. 又ACD是直角三角形,所以ACD=900. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DOAO. 又由于ABC是正三角形,故BOAC. 所以DOB为二面角DACB的平面角. 在RtAOB中,BO2AO2AB2. 所以平面ACD平面ABC. x 即 x z0 31门 yz0. 22 可取n二 1迥1 ,3,. uuur mgAC0,l 设m是平面AEC的法向量,贝Uuuu同理可得m0,1,...3 mgAE0, 贝Vcos(n,m)ngm—. nnm7 【解析】 (1)通过题目中的边角关系证明线线垂直,进而得二面角DACB的平面角为DOB,最后 利用勾股定理的逆定理得DOB90,从而得证; (2)根据 (1)中得到的垂直关系,建立空间直 角坐标系计算即可• 20.【答案】 解: (1)设Ax-i,y1,Bx2,y2,l: xmy2. xmy22” 由2可得y22my40,则y1y24. y22x 222 又X1二,X2=宜,故xx2=—=4. 224 因此OA的斜率与OB的斜率之积为/斧二丄4二1,所以OAOB. x-ix24 故坐标原点O在圆M上. 2 (2)由 (1)可得%+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m4. 故圆心M的坐标为m2+2,m,圆M的半径r.m22m2. uuruun 由于圆M过点P(42,因此APgBP0,故x14x24y12y220, 即x1x24x1+X2y1y22y1y2200 由 (1)可得y』2=-4,XiX2=4, 2 y110. 22 方程为x 4 9185 —+y+— 16 【解析】 (1)设出I的方程,通过联立方程,证明直线OA与OB的斜率之积为1即可; (2)根据 (1)的结论及P点的坐标即可求解直线与圆的方程. 21.【答案】解: (1)fx的定义域为0,+. 11 1若a0,因为f二-+aln2v0,所以不满足题意; 22 2若a>0,由f'x1a知,当x0,a时,f'xv0;当xa,+时,f'x>0,所 xx 以fx在0,a单调递减,在a,+单调递增,故xa是fx在x0,+的唯一最小值点. 故a1. 1+41+1ve 222n 111 而1+1+1+>2,所以m的最小值为3. 2尹尹 【解析】 (1)通过求函数的导数,对函数的单调性进行研究,求解函数最小值点即可; (2)将问题转化为“和” 式不等式,根据数列求和公式求解即可 x2;消去参数m得12的普通方程l2: y-x2k 所以C的普通方程为x2 故tanq 1,从而cosq=—,sinq=— 31010 代入r2 cosq-sinq=4得r2=5,所以交点M的极径为,5. 【解析】 (1)先将两条直线的参数方程化为普通方程,联立,消去 k即可得所求曲线C的普通方程; (2) 先将 (1)中求得的曲线C的普通方程化为极坐标方程,再与 I3的极坐标方程联立,求出M的极径即 3, 23.[答案】解: (1)fx2x 3, 1, x<1 1x2, x>2. 当xv1时,fx1无解; 2时,由fx1得, 2x 11,解得1 当x>2时, 由fx1解得x>2. 所以fx 1的解集为Xx1. (2)由f xx2xm得m x2 x,而 x+1+x 2x2 且当x3时, 2' 故m的取值范围为 【解析】 (1)直接分段讨论即可解决问题; (2)先分离出参数m,再将问题转化为最值问题,进而求解参数的取值范围
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