例谈幂级数的应用重点.docx
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例谈幂级数的应用重点
例谈幂级数的应用DISCUSSIONONAPPLICATIONOFPOWERSERIESBYEXAMPLES
摘要
幂级数是一类形式简单却应用广泛的函数项级数,由于其本身具有很多便于运算的性质,因此是一个解决函数方面诸多问题的利器。
利用幂级数的分析性质,通常可以使形式进行转化,使复杂问题得以化简。
本文通过归纳和举例,从幂级数的定义出发,对幂级数的重要性质进行总结性证明,举例分析幂级数在各种计算中的应用,包括利用幂级数求极限、求导数、求积分、求解微分方程、证明不等式,结合实例阐述幂级数在应用中的方法与技巧。
本文还举例介绍了如何应用复数范围内的双边幂级数求解复积分和某些实积分。
进一步地,本文对于代数学中的形式幂级数进行了初步说明。
关键词:
幂级数;函数;应用
ABSTRACT
Powerseriesisakindofseriesoffunctionswithsimpleformandextensiveapplication,whichcanbeusedtosolvemanyproblemspowerfullyintermsofthefunctionbecauseofitscalculatedproperties.Bytheanalysispropertiesofpowerseries,manyproblemsusuallycanbetransformedtheirformsuchthatthecomplexproblemcanbesimplified.Withthebeginningofthedefinitionofpowerseries,thispapersummarizestheproofsofimportantpropertiesofpowerseries.Furthermore,allsortsofcomputingapplicationswithpowerseriesareillustrated,includingcalculatinglimit,seekingderivative,computingintegration,solvingdifferentialequations,andinequalitiesproving,whichareelaboratedwithexamplesofpowerseriesmethodsandtechniquesintheapplication.Thispaperalsodescribesanexampleofhowtocomputecomplexintegrationandsomerealintegrationbymeansofbilateralpowerserieswithinthescopeofcomplex.Atlast,apreliminarydescriptionofformalpowerseriesisgiveninalgebra.
Keyword:
PowerSeries;function;application
目录
1前言...................................................11.1背景和意义.........................................................................................1
1.2本文研究的主要内容.........................................................................2
2幂级数相关的基本知识...................................32.1幂级数的定义.....................................................................................32.2幂级数相关定理及推论.....................................................................3
2.3留数的基础知识...............................................................................10
3幂级数在近似计算与级数求和中的应用....................133.1计算常数e的问题............................................................................13
3.2幂级数在计算级数和中的应用.......................................................14
4幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用................164.1幂级数在求极限中的应用...............................................................164.2幂级数在求导中的应用...................................................................17
4.3幂级数在积分运算中的应用...........................................................17
5幂级数在求解微分方程中的应用..........................205.1求解常微分方程...............................................................................205.2求解偏微分方程...............................................................................205.3实际问题中的微分方程的解...........................................................21
6幂级数在证明不等式中的应用............................24
7代数学中的形式幂级数..................................257.1斜幂指数诣Armendariz环..............................................................257.2多项式环............................................................................................26结论....................................................28参考文献................................................29致谢....................................................30
1前言
1.1背景和意义
说到幂级数的来历,肯定要提到最基础的级数的来源。
亚里士多德早在公元前4世纪就知道公比小于1的几何级数有和,而级数的发展可以追溯到几千年前的中国,在当时生产力不发达的南北朝时代,伟大的数学家,天文学家,科学家祖冲之就发现了圆周率的计算方法,并且运用计算圆面积中,在这其中与魏晋时期数学家刘徽在求解圆面积中应用到的割圆法异曲同工,这种算法已经形成了级数的初步思想和方法。
与此同时的外国学者也纷纷对级数有了初步的认知,古希
腊哲学家芝诺,在对二分法的研究上把1表达成为了2341111
2222
++++的这种
无穷级数的形式,而中国伟大的思想家、哲学家、文学家庄子提出了“一尺之锤,日取其半,万世不竭”的辩证理论,这其中也隐约包含着极限的思想,与芝诺的理论如出一辙。
随着时间的发展,级数也在发展和进步。
到了14世纪,印度的马德哈瓦首先发展了幂级数的概念,把芝诺提出的理论进一步展开,完善了无穷级数的概念,并且研究了无穷级数、泰勒级数,麦克劳林级数的有理逼近,发现了正弦、余弦等函数的泰勒展开。
17世纪到18世纪,牛顿和莱布尼兹都在级数的研究中得到了相同的结果,后来这个结论被称为牛顿—莱布尼兹公式。
同一时代,詹姆斯·格里高开始研究无穷级数,他公开了一些函数的麦克劳林展开;布鲁克·泰勒对一般解析函数的泰勒展开进行了研究并给出了结论。
欧拉发展了几何级数和q—级数理论。
直到19世纪,柯西利用极限理论对无穷级数的一般性推广建立了完善理论,级数理论在此之后逐渐的完善至今。
到了现代,幂级数的研究也没有止步不前,由于幂级数的性质已经日益完善,所以学者们纷纷把研究方向由对幂级数性质的研究渐渐地转向利用幂级数的性质对其他数学领域进行研究,比如在对幂级数环的研究,对非线性椭圆方程型方程的边值问题的研究,对循环码等重要的码的研究,它们都应用到了幂级数的性质或者函数的幂级数展开,通过了对幂级数性质的扩展利用,不仅是数学中,在物理,土木工程等跨学科领域中也广泛发展。
就幂级数来看,它是一类形式简单而应用广泛的函数项级数,基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数。
幂级数有许多方便的运算性质,在函数运算等方面是一个很有力的工具。
将函数展开称为幂级数形式,利用幂级数和函数的分析性质等,常常能解决许多疑难问题,并且幂级数也可以应用到工程力学中,用幂级数表示力学方程的解。
由于幂级数的基础性和实用性,在数学分析和高等数学中都进行初步的学习。
本文对幂级数的重要性质进行了归纳,给出幂级数在数学和物理中的若干应用,并结合例题阐述幂级数在各方面应用中具体的技巧和方法。
虽然关于幂级数的文章,期刊不胜枚举,但是其中多为简单,分散的内容,不能全面立体的介绍幂级数的应用,本文写作的意义就是要对其他的学者的期刊、著作进行分析,利用现有的知识和理论对例子进行归纳,并分析总结例子中应用到的性质和技巧,尽量把将幂级数的应用系统的展现出来。
1.2本文研究的主要内容
本文共分为八个部分,第一部分前言讲解幂级数的来源和研究意义,说明幂级数的前世今生及写本文的缘由。
第二部分将对幂级数相关的基本性质进行介绍和证明,第三部分至第六部分将举出实例讲解幂级数在近似计算;求极限,求导,积分运算问题;求解微分方程;证明一些不等式等数学问题,并对每个例子进行分析和总结,并提出一个跨学科问题对幂级数的应用,说明幂级数的应用的广泛性和实用性。
第七部分讲解了幂级数在当今时代中的发展应用,举出了两篇近期的期刊中提出的理论,了解现在幂级数的发展现状,第八部分对整篇文章进行总结,总结这篇文章的内容,阐述写作的意义。
2幂级数相关的基本知识
2.1幂级数的定义
在函数级数中有一类结构简单,应用广泛的特殊的函数项级数
((((2
0120
nn
nnnayaaayaayaaya∞
=-=+-+-+
+-+
∑(2-1
称为幂级数,其中01,,n
aaa都是常数,称为幂级数的系数,若yax-=,则
可将上述幂级数转化为最简形式的幂级数
20120
n
nnnnax
aaxaxax∞
==+++++
∑(2-2
2.2幂级数相关定理及推论2.2.1幂级数的收敛域对于幂级数
20120
n
nnnnax
aaxaxax∞
==+++++
∑
在0都收敛,幂级数(2-2的收敛有以下定理:
定理2.1若幂级数(2-2在00x≠收敛,则x满足0:
xxx∀<,反之,若幂级数(2-2在00x≠发散,则x满足0:
xxx∀>。
证明:
设级数0nnnax∞
=∑收敛,则0lim0n
nnax→∞
=,可知存在0M>对于任意的0,1,2
n
=都有数列
{}0nnaxM≤
设对于任意的
x满足
1x
x<,则有0
00n
nnn
nnnxxaxaxMxx=≤,因为级数00
n
nxMx∞
=∑收敛,所以幂级数(2-2在0xx<时绝对收敛:
反过来,看后半部分,我们设幂级数(2-2在0xx=时发散,若存在1
x满足0xx≥,使得级数0
1n
nx
Mx∞
=∑收敛,定理第一部分中0xx=时,幂级数(2-2
收敛,与假设相矛盾,所以幂级数(2-2对于任意的x满足0xx>都发散。
定理2.2对于幂级数(2-2,即0nnnax∞
=∑,若
1
lim
nnn
ala+→∞
=
(或nl=
则幂级数(2-2的收敛半径为
1
0,,0,0.llrll⎧⎪<<+∞⎪
=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩
证明:
根据柯西判别法可知对于正项级数0
nnnax∞
=∑可得知,
11lim
limnnnnnn
ua
xlxua++→∞→∞==
10l<<+∞,当1lx<时,幂级数(2-2绝对收敛:
当1lx>,幂级数(2-2发散,
故收敛半径1
rl
=。
20l=,对于任意的xR∈都有01lx=<,即对于任意xR∈幂级数(2-2都收敛,所以收敛半径r=+∞。
3l=+∞,对于任意的xR∈且0x≠都有lx=+∞,即对于任意xR∈,0x≠幂级数(2-2发散,故收敛半径0r=。
2.2.2幂级数和函数
设幂级数(2-2,即0nnnax∞
=∑的收敛半径0r>,幂级数(2-2在收敛区间确定了一个和
函数(Sx,即
(0nnnSxax∞
==∑.(2-3
定理2.3若幂级数(2-2的收敛半径0r>,则幂级数(2-2在任意闭区间
[](,,aarr-⊂-都一致收敛。
证明:
令对于任意的[],xaa∈-,即(0xaar≤<<,有nnnnaxaa≤,因为级数
nn
na
a∞
=∑,根据M判别法,幂级数(2-2在闭区间[],aa-内一致收敛。
定理2.4若幂级数0
n
nnax∞
=∑与(10
1
'n
nnnnnaxnax∞
∞
-===∑∑的收敛半径分别是正数1r与2r,
则12rr=。
证明:
首先要证明12rr≤,令任意的0x满足010xr<<,存在1x满足011xxr<<,
已知级数10
nnnax∞
=∑收敛,对于任意的nN∈,都有1
00
101
n
nnnnxnnaxaxxx-=
。
已知
极限0
01
lim
0n
nxnxx→∞=,可知数列0
01
n
xnxx⎧⎫⎪⎪
⎨
⎬⎪⎪⎩⎭
有界,即存在这样的0M>和任意的nN+∈,使得
01
n
xnMxx≤,然后可得1
1nnnnnaxMax-≤,根据比较判别法,级数1
01
nnnnax∞
-=∑绝对收敛,故12rr≤。
然后我们需要证明12rr≥,对于任意的0x满足020xr<<,存在1x满足
012xxr<<,已知级数
111
nnnax
∞
-=∑收敛,对于任意的nN+∈都有
1
010
01
1
nnnnnxxaxnax
nx--=,已知极限1
00
1
lim0nnxx
nx-→∞=,可知1
00
1nxx
nx-⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
有界,即存在这样的0M>和任意的nN+∈使得
1
00
1nxxMnx-≤,所以可得
10
1
nnnnaxMnax
-≤,然后根据比较判别法,级数00
n
nnax∞
=∑绝对收敛,所以12rr≥,
根据两个证明综合可得12rr=。
推论2.4:
若幂级数0
n
nnax∞
=∑与1
01
x
n
nnnnnaatdtxn∞
∞
+===+∑∑
⎰的收敛半径分别是1r与2r,
则12rr=。
定理2.5若幂级数0nnnax∞
=∑的收敛半径0r>,则它的和函数(Sx在区间(,rr-连
续。
证明:
设任意(,xrr∈-且存在0λ>,满足[](,,xrrλλ∈-⊂-,已知幂级数内闭一致收敛,根据幂级数的一致收敛和连续性的性质定理判断可得(Sx在x上连续,继而可知,和函数(Sx在区间(,rr-上连续。
定理2.6若幂级数0nnnax∞
=∑的收敛半径0r>,则对于任意(,xrr∈-,它的和函数
(Sx由0到x可积,且可逐项积分,即
1
(1x
x
n
nnnnnaStdtatdtxn∞
∞
+====+∑∑
⎰
⎰(2-4证明:
设存在任意的(,xrr∈-且0λ>,满足[](,,xrrλλ∈-⊂-,已知幂级数内闭一致收敛,由逐项积分定理可知,和函数(Sx在(0,x上可积,且可以逐项积分,故1
00
(1x
x
n
nnnnnaStdtatdtxn∞
∞
+====+∑∑
⎰⎰。
定理2.7若幂级数0
nnnax∞
=∑的收敛半径0r>,则它的和函数(Sx在区间(,rr-可
导,且可逐项积分,即对于任意(,xrr∈-,有
((10
1
''n
nnnnnSxaxnax∞
∞
-====∑∑(2-5
证明:
由定理4可知幂级数10
nnnnax∞
-=∑的收敛半径是r,令存在任意的(,xrr∈-且
0λ>,满足[](,,xrrλλ∈-⊂-,已知幂级数内关一致收敛,根据逐项微分定理,和函数(Sx在区间(,rr-上可导,且可以逐项微分,即对于任意的(,xrr∈-,都有((10
1
''n
nnnnnSxaxnax∞
∞
-====∑∑
推论2.7若幂级数0
nnnax∞
=∑的收敛半径0r>,则它的和函数(Sx在区间(,rr-存
在任意阶导数,且对于任意(,xrr∈-,任意kN+∈,有
(
(((1
(1kkn
nknnnnk
Sxaxnnnkax∞∞
-====---∑∑,(2-6
此幂级数的收敛半径也是r。
定理2.8若幂级数0nnnax∞
=∑的收敛半径是r,并且在r收敛(或在r-收敛,则这
个幂级数0nnnax∞
=∑在闭区间[]0,r(或者在闭区间[],0r-上一致收敛,因而和函
数(0
nnnSxax∞
==∑在r左连续(或者在r-右连续。
证明:
因为00n
nnnnnnxaxarr∞∞
==⎛⎫
=⎪⎝⎭∑∑,对于任意的[]0,xr∈,函数列nxr⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
单调递
减,且一致有界,2
10.n
xxxrrr⎛⎫
⎛⎫≥≥≥
≥≥⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
且级数0
nnnar∞
=∑收敛,根据阿贝
尔判别法,幂级数0
n
nnax∞
=∑在[]0,r一致收敛,其和函数(0
nnnSxax∞
==∑在r左连续,
在-r右连续。
由定理2.1-2.8可以看到,幂级数0nnnax∞
=∑(收敛半径0r>具有的性质如下:
1.收敛域是以原点为中心的区间。
2.在区间(,rr-内闭一致收敛。
3.和函数在区间(,rr-内连续。
4.和函数在任意闭区间[](,,abrr⊂-可积,且可逐项积分,特别地,对于
任意(,xrr∈-,由0到x可逐项积分,逐项积分得到的幂级数收敛半径也是r。
5.和函数在区间(,rr-存在任意阶导函数,且可逐项积分得到的幂级数收
敛半径也是r。
6.若幂级数在在收敛半径r处(或r-收敛,则其和函数(Sx在r左连续
(或在r-右连续。
2.2.3幂级数的展开
定理2.9若函数(fx在区间(,arar-+能展成幂级数,即对于任意
(,xarar∈-+都有
(0(nnnfxaxa∞
==-∑,(2-7
则函数(fx在区间(,arar-+存在任意阶导数,且(,0,1,2!
kkfa
akk=
=
证明:
根据定理7的推论,函数(fx在区间(,arar-+存在任意阶导数,且
((
(
1(1
(1!
(1(12(nk
knkknk
f
xnnnkaxakakk
kk
axa∞
-+==--+-=+++-+
∑令xa=,(
(!
kkf
aka=,即((
!
kkfaak=
。
推论2.9若函数(fx在区间(,arar-+能展开幂级数(7,则期幂
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