数学建模.docx
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数学建模
黑龙江科技学院数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了黑龙江科技学院数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写):
A
参赛队员:
1.队长姓名:
指导教师:
日期:
2009年5月25日
游戏奖项设计模型分析及解决方案
Analysisofthegameawardsthedesignmodelandsolutions
摘要:
本论文通过对奖项设计中各影响因素的研究分析,建立了网站有奖竞猜规则的数学模型。
首先推导出总中奖概率的反比例函数模型,求出中奖总概率以及中奖总用户数应该控制的最优范围。
建立各奖项相应的最少答对题数、答对题数相应分数区间和概率的对应概率模型。
并利用规定算法,计算出了各奖项的最低积分要求范围。
再根据线形拟合的方法分别推导出其他三个未知奖项的奖金价值。
接着论文利用相关因素加权法,构造出对用户吸引力的评价函数β(i)用于比较不同方案的满意度,选出较优方案。
在模型的进一步讨论中,对答错扣分值的变化、两元将负分清零、可花钱买足五千分、将分数余值带入下一会员期、开通手机短信竞猜、单个奖项获奖人数偶然性超过比例等情况做出进一步分析,优化和改进模型。
同时结合网站方和用户方两个相对角度进行分析,为网站制定业务规则和游戏运作提供参考,最后对参与竞猜的用户作出竞猜技巧的合理建议。
一、问题重述
游戏网站提供网络竞猜服务。
用户参与竞猜的条件是必须具备网站会员资格。
注册会员资格的费用为每人每年100元,并同时获赠初始积分5000分。
用户缴纳会员费是网站的主要收入来源。
假定用户注册总数为A,则网站收入为100A,网站拿出全部收入的50%作为奖金总额即50A。
网站每天公布10道竞猜题,一个会员周期(一年)内共有3650道题提供给用户参与竞猜,且每道题答对与否是相互独立的。
每天答对题的题数服从B(10,0.25)的二项式分布。
用户每天参与的题数是在10题中选n题,并可获得相应的积分S=S0+(100x-40y)。
当累积总分S达到相应奖项最低分数要求时即可获得奖。
给定最高奖项价值10万元,最低奖项价值200元,要求设计每个奖项的价值及相应的积分要求。
二、模型假设
1.奖项等级高的奖项金额大,要求的最低积分值也高;
2.获得越高积分的难度越大,取得的概率就越小;
3.当会员总数足够大时,各奖项中奖概率近似于中奖人数比例;
4.奖项设计方案的好坏与用户的吸引力大小有关。
三、符号的简单说明
A—总注册会员数
amount—当期销售总额
B—总奖金比例B=50%
b(i,j)—单项奖奖金比例
Cash(i,j)—第i个方案,第j等奖的奖金额
mi—第i等奖的奖金额i=1,2,3,4,5m1=100000m2=200
N—总题量N=365*10=3650
n—参与竞猜的答题数n≤N
p—每道题答对的概率p=0.25
Sn—积分,参与竞猜所获得的分数Sn=100x-40y
x—答对题目数
y—答错题目数
四、问题分析
一)总中奖概率P总的确定
网站拿出全部收入的50%作为奖金,即奖金总额50A一定,则总中奖人数比例与平均每个中奖用户分配到的奖金额成反比
。
作为用户,一方面希望中奖人数比例越大越好,即总中奖概率就越大,越容易获奖;另一方面又希望分配到的奖金额尽可能多。
如图1:
=>m’=-n-2*50A
令:
m’=0
m
n2=50A
m=n=sqrt(50A)
即m=n=sqrt(50A)时达到最优。
此时总中奖
n
概率P总=sqrt(50A),当A=10,000时,
图1
P总=500,000。
二)会员总数A的范围
网站主要收入来源于会员的会费,且网站最高奖项价值设置为100,000元,最低奖项价值为200元给定。
根据一般奖项设计经验可以推出A≥10,000人,为方便研究,下文暂将网站年注册会员数设为10,000人。
由此计算总中奖概率应控制在0.07067以内。
三)答对题目数随机
新用户注册网站会员时即可获赠初始积分5000分,即我们所设计出的能中奖的最低积分要求必须大于5000分。
为了保证在一个会员周期内,用户累计积分S>5000(S<=5000则不可能中奖),那么用户通过竞猜获得的净分值必须为正数,即S1=100X*40Y>0。
总题目数量N=3650,有:
100X-40Y>0X≤1043
X+Y<=3650=>Y≥2607
这里的X、Y为一个年度量,转化为日平均量则为每日至少答对2.86题,最多只能答错7.14题。
平均每天答对的题数,有与之相对应的积分区间,只要求出答对题目数对应的积分区间,以及各个分数区间对应的概率,在根据一定的比例划定各个奖项中奖概率对应的积分下界,也就是所要求的奖项最低要求分数值,并对方案进行评价。
五、模型建立与求解
一)概率模型
竞猜过程中,每道题目答对与否是相互独立的随机事件,服从B(n,0.25)的二项分布,n为参与竞猜的总题数。
按照上面的分析结论,平均每天至少要答对3道题,才能使得不论其它题目答错或者未答题,都能保证所得分数为正分,积分在5000分以上。
参与n题竞猜,答对k题的概率Pk=
Cxx+ypx(1-p)y
平均每日答对x题,答错y题的概率P0=Cxx+ypx(1-p)y
计算得如下表(表一):
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.0156
0.0039
0.0009
0.0002
0.000061
0.000015
0.000004
1*10-6
1
0.0459
0.0146
0.0044
0.0013
0.000366
0.000103
0.000029
-
2
0.0879
0.0330
0.0115
0.0039
0.001602
03000386
-
-
3
0.1318
0.0144
0.0231
0.0087
0.00309
-
-
-
4
0.1730
0.0865
0.0389
0.0162
-
-
-
-
5
0.2076
0.1168
0.0584
-
-
-
-
-
6
0.1314
0.6821
-
-
-
-
-
-
7
0.1408
-
-
-
-
-
-
-
概率
合计
0.9350
0.3513
0.3450
0.0302
0.0051
0.0005
0.00003
1*10-6
由此计算并得出日平均答对题目数对应的年总答对题数,以及相应的积分区间和概率如下(表二):
日平均答对数
年总答对数
积分区间
概率
分数下界
分数上界
3
1095
7300
114500
0.9350
4
1460
58400
151000
0.3513
5
1825
109500
187500
0.3450
6
2190
160600
224000
0.0302
7
2555
211700
260500
0.0051
8
2920
262800
297000
0.0005
9
3285
313900
333500
0.00003
10
3650
365000
370000
0.00001
二)奖金金额的确定
cash(i,j)为第i个方案第j等奖的奖金金额。
由于最高奖(一等奖)项奖金价值10万和最低奖项(五等奖)奖金价值200元已经给出。
即:
cash(i,1)=10000,cash(i,5)=200。
在奖金总额500,000一定的条件下,为了保证网站的赢利能力,则易得出一等奖的获奖人数应控制在4人以内。
由此设计出m1=1,2,3,4的四种奖项方案。
又因为当m1=4时,一等奖的总奖金额占到奖金总额的80%以上,显然不符合实际,予以舍去。
现分别考虑m1=1,2,3时的三种奖项设计方案,并进行比较分析如下:
给出cash(i,j)的计算方法
cash(i,j)=[当期收入总额amount*总奖金比例B-一等奖奖金总额-五等奖奖金总额]*相应奖项奖金比例b(i,j)
计算结果如下:
m1=1时
奖项等级
最低积分要求
获奖人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
一
333500
1
100000
0.0001
100000
二
260500
5
20000
0.0005
100000
三
187500
20
5000
0.002
100000
四
114500
200
500
0.02
100000
五
58400
500
200
0.05
100000
合计
-
706
-
0.0706
500000
m1=2时
奖项等级
最低积分要求
获奖人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
一
333500
2
100000
0.0002
200000
二
260500
4
10000
0.005
40000
三
187500
80
8000
0.008
64000
四
114500
160
6000
0.012
96000
五
58400
500
200
0.05
100000
合计
-
706
-
0.0706
500000
m1=3时
奖项等级
最低积分要求
获奖人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
一
333500
3
100000
0.0001
300000
二
260500
2
10000
0.0005
20000
三
187500
450
6500
0.0008
32000
四
114500
151
3179
0.0012
48000
五
58400
500
200
0.005
10000
合计
-
706
-
0.0706
50000
三)三种方案得满意度分析(评价模型)
我们希望建立一个既反映获奖期望值,又是个方案有差别的函数量。
在此我们定义单项奖额的相对满足度:
以此来反映各个方案的期望值的差别。
设对j等奖,所有方案中奖金额最大的满足度为90%,则可推出:
下面我们计算各方案的
及给出总奖额相对满足度
表:
m1=1
奖项
等级
最低积分要求
获奖
人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
相对满意度M
一
333500
1
100000
0.0001
100000
0.3
二
260500
5
20000
0.0005
100000
0.9
三
187500
20
5000
0.002
100000
0.9
四
114500
200
500
0.02
100000
0.9
五
58400
500
200
0.05
100000
0.9
合计
-
706
-
0.0706
500000
3.9
m1=2
奖项
等级
最低积分要求
获奖
人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
相对满意度M
一
333500
2
100000
0.0002
200000
0.6
二
260500
4
10000
0.005
40000
0.6
三
187500
80
8000
0.008
64000
0.6
四
114500
160
6000
0.012
96000
0.6
五
58400
500
200
0.05
100000
0.9
合计
-
706
-
0.0706
500000
3.3
m1=3
奖项
等级
最低积分要求
获奖
人数
奖金金额
m
获奖概率
奖项奖金
总额
相对满意度M
一
333500
3
100000
0.0001
300000
0.9
二
260500
2
10000
0.0005
20000
0.3
三
187500
450
6500
0.0008
32000
0.3
四
114500
151
3179
0.0012
48000
0.3
五
58400
500
200
0.005
10000
0.9
合计
-
706
-
0.0706
50000
2.7
由假设5,方案的优劣在于它对参与竞猜用户的吸引力的大小,一个好的方案应该能够吸引足够多的用户参与,能够给网站带来比较大的利益。
按照通俗的想法,我们把目标用户分为以下三种:
a、追求总中奖概率高,不愿多做题和多花钱就想获奖;
b、一味追求中大奖,大奖奖金越高越好;
c、理智型:
比较慎重,反复推敲、筛选。
由满意度综合评价三种方案,对于a型目标用户选用方案1较优;对于b型目标用户选用方案3较优。
六、模型的进一步讨论
一)答错扣分分值变化的影响
如果答错一题由原来的扣40分改为30分或50分,直接引起为保证得分为正分应答对题的题数,从而影响各积分区间对应的概率值。
若答错题应扣分值增加,则增加了得分的难度,使取得各个积分区间内各积分分值的难度系数增加,相应的取得该分数范围的概率也就变小,各个奖项相应的最低分数要求应降低一定幅度。
反之,减少答错题的应扣分值,则使得得分更加容易了,取得各个积分区间相应积分分值的概率更大了。
那么各奖项相应的最低分数要求应提高一定幅度。
此外,扣分分值的变化对奖项奖金额没有直接的影响,可以不作变化。
二)花2元将负分清零的情况
对于负分的用户来说,用花2元钱将积分清零,可以使初始积分一次性变为零分,而不用继续靠答题来弥补原来损失的分数,使其在剩下的会员期能够更公平的参与竞猜,增加获奖概率。
因此将负分清零的做法是有效的。
一方面,金额少,成本低,对负分越多的用户越有效;另一方面,答题来弥补,且必须要保证答对一定题数,才能获得净得分,概率则是一个问题。
同时还浪费了会员资格时间,不利于获奖。
三)5000分以下可买足5000分的情况
网站对于积分在(0,5000)的用户,采取花钱买分的方式来达到初始积分值5000分。
对于用户来说,一方面增加投资成本,使其更重视答题的正确率。
另一方面,为用户赢得了更多的答题时间,提高以后的中奖概率。
对于网站来讲,这项业务可增加收入,同时可投入中奖奖金总额的钱也增加,有利于吸引更多的用户,带来更大的效益,形成良性循环。
当用户积分为0分时,假定以100分/2元的价格将分数累加到5000分,在剩余时间内继续答题,在同等条件下对比新注册用户要处于相对劣势,因为会员剩余答题时间少于一个会员周期,即供参与的题目少。
因此这种情况下建议用户重新注册。
四)将上期分数余值带入下一会员期
将上期分数余值带入下一会员期,网站方面在作出政策调整时,要么同时调整奖项设计方案,要么不作任何改变。
对奖项设计方案不作相应调整实际上就时对老用户的一种返还。
对于用户来说第二个注册年度继续参与竞猜时,初始积分比新注册用户高,一方面增强了用户的信心,一方面在一定程度上提高用户中奖的概率。
网站作出允许将上期分数余值带入下一会员期,同时调整中奖各等级所对应的积分。
在总用户数一定条件下,尽管初始积分提高,但中奖总概率大致不变。
另外,对网站来说,能够吸引用户参与活动,获取更多的利益,但中奖总概率保持不变,网站多投资的奖项金额保持不变,最终所取得的收益增多。
对冒险性用户来讲,追求高奖项,为了获取更多的积分,使得他会继续参与竞猜活动。
五)开通手机竞猜业务
开通手机短信参与竞猜影响两个变量。
一是这种业务使得用户没有初始积分,改变了原有的获奖积分区间总长度,即分数下界向下再扩大5000分。
从而各个积分区间的随机发生概率也变化。
另一方面手机短信竞猜方式有其特有的优势,可成为网站增加收入的又一重要渠道。
网站收入增加,资金实力更强,可提供总奖金额才有可能增加。
总奖金额对整个奖项设计模型的影响是全面的,若保留最高奖和最低奖金额不变,可将中间3个未知奖项价值提高一定幅度。
若各奖项价值均保持不变,则可以增加中奖人数比例,实际上使总中奖概率的提高。
六)各奖项获奖人数偶然性超出计划比例
单项奖获奖人数偶然性超出计划比例,可能是由于题目难度偏易造成的,实际上这是的答对题的概率已经大于0.25了。
答对题的概率增加,客观上增加了中奖总概率。
其中奖概率的提高对用户的吸引度随之提高。
吸引更多的用户注册和参与竞猜。
网站会员数增加直接增加网站营业收入,尽管可能在一个营业周期内会出现奖金总额透支的情况。
但只要下一期竞猜题目难度值稳定,本期的这种透资可以在以后各期内得到一定的补偿。
题目难易值本身是个不确定的量,在题目数量足够大时。
难易度值可在一定水平的范围内波动以取得长期的平衡。
通过对难易度值的控制把握,一定程度上影响总中奖概率及其误差。
七、模型评价
优点:
a.本论文给出答对不同题数概率的计算,及其奖金额的设置情况。
便于用户参考。
b.引入了评价系数β(i,j)充分考虑了各种方案对用户的满意度,通过满意度和各种用户类型的比较对照,分别选出了对各种用户类型来讲的较好的方案。
c.对答错的扣分的不同情况进行分析,对模型进一步论证。
d.本论文结构清晰,思路严谨,由浅入深,分析透彻,较好的解决了网站中将游戏活动的关键问题。
缺点:
(1)缺乏对用户的调查,一些数据不够完善,使得评价函数β(i,j)的各参数较粗略,不能绝对符合事实。
(2)模型缺乏实践证明。
八、附录
二项分布的计算程序(Basic语言)
‘求n取m的排列数
PublicFunctionppp(mAsDouble,nAsDouble)AsDouble
aa=n
Fori=(n-1)To(n-m+1)Step-1
aa=aa*i
Nexti
ppp=aa
EndFunction
‘求f取e的组合数
PublicFunctionccc(eAsDouble,fAsDouble)AsDouble
ccc=ppp(e,f)/ppp(e,e)
EndFunction
‘求g的h次方
PublicFunctionsss(gAsDouble,hAsDouble)AsDouble
aa=1
Fori=1Toh
aa=aa*g
Nexti
sss=aa
EndFunction
‘求参数为n、k、p的二项分布值
PublicFunctionexfb(nAsDouble,kAsDouble,pAsDouble)AsDouble
a=sss(p,k)
b=sss((1-p),(n-k))
c=ccc(k,n)
sn=a*b*c
exfb=sn
EndFunction
PrivateSubForm_Click()
Dima
Forx=3To10
a=exfb(x,3,0.25)
Printa
Nextx
EndSub
参考文献:
[1]姜启源《数学模型(第三版)》高等教育出版社2002
[2](英).D.伯格斯叶其孝吴庆宝译《数学建模》世界图书出版公司1997
[3]王一鸣《数理金融经济学》北京大学2000
[4]宋威《金融数学模型》华南理工大学出版社1999
九、竞猜技巧分析(用户)
a.根据自身能力准确答题,适时兑奖。
例如,用户达到五等奖最低积分要求的58400时,如果兑奖,相应分数清零,到第二次去的58400分是在兑奖,他获取的是两个五等奖金额为400。
可是如果第一次到58400分后不兑奖,而继续答题就可能到四等奖以上,获取至少500元奖金;
b.参与各种方案选择对自身有利答题方案;
c.关注网站有关新动向,寻找新的发展;
d.合理分析答题概率,适当选择答与不答。
在不能确定答案时,冒险答错的概率为50%,此时对于谨慎用户资料
e.对于负分用户,充分考虑其机会成本,应该进行清零;
f.对于(0,5000)分的用户,考虑自身的答题能力和自身的中奖概率选择确定时应该买分,还是重新注册;
g.采取继续参与下一年活动,连续注册,积分可以带入下一年,可以提高中奖概率。
无论对于网站还时用户有时有利的,建议实行。
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