周矶中学圆的证明与计算第1问证切线作垂线证半径第2问计算.docx
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周矶中学圆的证明与计算第1问证切线作垂线证半径第2问计算
圆的证明与计算
第1问证切线(作垂线证半径)第2问计算
1.(2012山东莱芜,23,10分)(本题满分10分)
已知:
如图,在菱形ABCD中,AB=2
,∠A=60°,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.
(1)求证:
⊙D与边BC也相切;
(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留π);
(3)⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动半周,当S△HDF=
S△MDF时,求动点M经过的弧长(结果保留π).
【解析】
(1)证明:
连结DE,过点D作DN⊥BC,垂足为点N.
∵四边形ABCD菱形
∴BD平分∠ABC.……………………………………………………..1分
∵边AB与⊙D相切于点E.
∴DE⊥AB,DN=DE
∴⊙D与边BC也相切..……………………………………………………..3分
(2)∵四边形ABCD菱形
∴
又∵∠A=60°
∴
°=3,即⊙D的半径是3..……………………………………………………..4分
又∵∠HDF=
∠CDA=60°,DH=DF,
∴△HDF是等边三角形.
过点H作HG⊥DF于点G,则HG=3×sin60°=
故S△HDF=
,S扇形HDF=
.
∴S阴影=S扇形HDF-S△HDF=
……………………………………………..6分
(3)假设点M运动到点
时,满足S△HDF=
S△MDF,过点
作
P⊥DF于点P,
则
解得
P=
.
故∠FD
=30°,此时经过点M的弧长为:
……………………………..8分
过点
作
∥DF交⊙D于点
则满足S△HDF=
此时∠FD
=150°,
点M经过的弧长为:
.
综上所述,当S△HDF=
S△MDF时,动点M经过的弧长为
或
.……………………………..10分
【答案】
(1)证明:
连结DE,过点D作DN⊥BC,垂足为点N.
∵四边形ABCD菱形
∴BD平分∠ABC
∵边AB与⊙D相切于点E.
∴DE⊥AB,DN=DE
∴⊙D与边BC也相切.
(2)S阴影=S扇形HDF-S△HDF=
(3)当S△HDF=
S△MDF时,动点M经过的弧长为
或
【点评】本题考察了特殊的平行四边形菱形、圆的切线的判定、圆中阴影部分面积的计算、圆中分类讨论思想的应用。
本题涉及的知识点广,考点全面,考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力,难度偏高。
2.(2012湖北随州,23,10分)如图,已知直角梯形ABCD,∠B=90°,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点.
(1)求证:
以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切;
(2)若OC=8cm,OD=6cm,求CD的长.
解析:
(1)过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.
(2)证明∠COD=900,运用勾股定理求值..
答案:
证明:
过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=
(AD+BC)•AB=(AD+BC)•OA
=2(
AD•OA+
BC•OB)
=2(S⊿OAD+S⊿OBC)
由S梯形ABCD=S⊿OBC+S⊿OAD+S⊿OCD
∴S⊿OBC+S⊿OAD=S⊿OCD
∴
AD•OA+
BC•OA=
CD·OE
∴
(AD+BC)·OA=
CD·OE又AD+BC=CD
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上,又OE⊥CD
∴CD是⊙O的切线
即:
CD与⊙O相切…………5分
(2)∵DA、DE均为⊙O的切线,∴DA=DE,则∠1=∠2,同理∠3=∠4.∴∠COD=900.
∴CD=
…………5分
点评:
本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
3.(2012湖北孝感10分))如图,AB是⊙O的直径,AM、BN分别与⊙O相切于点A、B,CD交AM、
BN于点D、C,DO平分∠ADC.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半径R.
【答案】解:
(1)证明:
过O点作OE⊥CD于点E,
∵AM切⊙O于点A,∴OA⊥AD。
又∵DO平分∠ADC,∴OE=OA。
∵OA为⊙O的半径,∴OE为⊙O的半径。
∴CD是⊙O的切线。
(2)过点D作DF⊥BC于点F,
∵AM,BN分别切⊙O于点A,B,
∴AB⊥AD,AB⊥BC。
∴四边形ABFD是矩形。
∴AD=BF,AB=DF。
又∵AD=4,BC=9,∴FC=9-4=5。
∵AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E,
∴DA=DE,CB=CE。
∴DC=AD+BC=4+9=13。
在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,∴
。
∴AB=12。
∴⊙O的半径R是6。
【考点】切线的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,矩形的判定和性质。
【分析】
(1)过O点作OE⊥CD于点E,通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。
(2)过点D作DF⊥BC于点F,根据切线的性质可得出DC的长度,继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长,从而可得出半径。
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