概率论与数理统计 浙江大学第四版 课后习题答案.docx
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概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案
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概率论与数理统计课后习题答案
第四版盛骤浙江大学
浙大第四版(高等教育出版社)
第一章概率论的基本概念
1.[一]写出下列随机试验的样本空间
(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一]1)
n表小班人数
(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。
([一]2)
S10,11,12,………,n,………
(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。
([一]3)
S00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,
2.[二]设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生。
表示为:
或A-AB+AC或A-B∪C
(2)A,B都发生,而C不发生。
表示为:
或AB-ABC或AB-C
(3)A,B,C中至少有一个发生表示为:
A+B+C
(4)A,B,C都发生,表示为:
ABC
(5)A,B,C都不发生,表示为:
或S-A+B+C或
(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生
相当于中至少有一个发生。
故表示为:
。
(7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:
中至少有一个发生。
故表示为:
(8)A,B,C中至少有二个发生。
相当于:
AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为:
AB+BC+AC
6.[三]设A,B是两事件且PA0.6,PB0.7.问1在什么条件下PAB取到最大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下PAB取到最小值,最小值是多少?
解:
由PA0.6,PB0.7即知AB≠φ,(否则ABφ依互斥事件加法定理,PA∪BPA+PB0.6+0.71.31与PA∪B≤1矛盾).
从而由加法定理得
PABPA+PB-PA∪B*
(1)从0≤PAB≤PA知,当ABA,即A∩B时PAB取到最大值,最大值为
PABPA0.6,
(2)从*式知,当A∪BS时,PAB取最小值,最小值为
PAB0.6+0.7-10.3。
7.[四]设A,B,C是三事件,且,.求A,B,C至少有一个发生的概率。
解:
PA,B,C至少有一个发生PA+B+CPA+PB+PC-PAB-PBC-PAC+PABC
8.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?
记A表“能排成上述单词”
∵从26个任选两个来排列,排法有种。
每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词:
55个
∴9在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。
(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9)
记A表“后四个数全不同”
∵后四个数的排法有104种,每种排法等可能。
后四个数全不同的排法有
∴
10.[六]在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
∵10人中任选3人为一组:
选法有种,且每种选法等可能。
又事件A相当于:
有一人号码为5,其余2人号码大于5。
这种组合的种数有
∴
(2)求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有种,且每种选法等可能,又事件B相当于:
有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有种
11.[七]某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?
记所求事件为A。
在17桶中任取9桶的取法有种,且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有
故
12.[八]在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。
(1)求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
∵在1500个产品中任取200个,取法有种,每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品,取法有种
∴
(2)至少有2个次品的概率。
记:
A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”,B1表“只含有一个次品”,同上,200个产品不含次品,取法有种,200个产品含一个次品,取法有种
∵且B0,B1互不相容。
∴
13.[九]从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则表“4只人不配对”
∵从10只中任取4只,取法有种,每种取法等可能。
要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。
取法有
15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少?
记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i1,2,3,
三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能
对A1:
必须三球放入三杯中,每杯只放一球。
放法4×3×2种。
选排列:
好比3个球在4个位置做排列
对A2:
必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。
放法有种。
从3个球中选2个球,选法有,再将此两个球放入一个杯中,选法有4种,最后将剩余的1球放入其余的一个杯中,选法有3种。
对A3:
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种
16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
法一:
用古典概率作:
把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序。
但10组钉铆完10个部件要分先后次序)
对E:
铆法有种,每种装法等可能
对A:
三个次钉必须铆在一个部件上。
这种铆法有〔〕×10种
法二:
用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完。
(铆钉要计先后次序)
对E:
铆法有种,每种铆法等可能
对A:
三支次钉必须铆在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,…或“28,29,30”位置上。
这种铆法有种
17.[十三]已知。
解一:
注意.故有
PABPA-PA0.7-0.50.2。
再由加法定理,
PA∪PA+P-PA0.7+0.6-0.50.8
于是
18.[十四]。
解:
由
由乘法公式,得
由加法公式,得
19.[十五]掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。
解:
(方法一)(在缩小的样本空间SB中求PA|B,即将事件B作为样本空间,求事件A发生的概率)。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y)(x,y1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y7,则样本空间为
Sx,y|1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3
每种结果(x,y)等可能。
A掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点。
故
方法二:
(用公式
Sx,y|x1,2,3,4,5,6;y1,2,3,4,5,6每种结果均可能
A“掷两颗骰子,x,y中有一个为“1”点”,B“掷两颗骰子,x,+y7”。
则,
故
20.[十六]据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
PAP孩子得病0.6,PB|AP母亲得病|孩子得病0.5,PC|ABP父亲得病|母亲及孩子得病0.4。
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解:
所求概率为PAB(注意:
由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P|AB
PABPAPB|A0.6×0.50.3,P|AB1-PC|AB1-0.40.6.
从而PABPAB?
P|AB0.3×0.60.18.
21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。
(1)二只都是正品(记为事件A)
法一:
用组合做在10只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种取法等可能。
法二:
用排列做在10只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个排列等可能。
法三:
用事件的运算和概率计算法则来作。
记A1,A2分别表第一、二次取得正品。
(2)二只都是次品(记为事件B)
法一:
法二:
法三:
(3)一只是正品,一只是次品(记为事件C)
法一:
法二:
法三:
(4)第二次取出的是次品(记为事件D)
法一:
因为要注意第一、第二次的顺序。
不能用组合作,
法二:
法三:
22.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?
如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意:
第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。
如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下,求H再发生的概率。
24.[十九]设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?
(此为第三版19题1)
记A1,A2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
∵BA1B+A2B且A1,A2互斥
∴PBPA1PB|A1+PA2PB|A2
[十九]2第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。
记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。
C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得1只红球,1只白球”,
D为“从第二盒子中取得白球”,显然C1,C2,C3两两互斥,C1∪C2∪C3S,由全概率公式,有
PDPC1PD|C1+PC2PD|C2+PC3PD|C3
26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
解:
A1男人,A2女人,B色盲,显然A1∪A2S,A1A2φ
由已知条件知
由贝叶斯公式,有
[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为
(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率。
(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率。
解:
Ai他第i次及格,i1,2
已知PA1PA2|A1P,
(1)B至少有一次及格
所以
∴
(2)(*)
由乘法公式,有PA1A2PA1PA2|A1P2
由全概率公式,有
将以上两个结果代入(*)得
28.[二十五]某人下午5:
00下班,他所积累的资料表明:
到家时间5:
35~5:
395:
40~5:
445:
45~5:
495:
50~5:
54迟于5:
54
乘地铁到
家的概率0.100.250.450.150.05
乘汽车到
家的概率0.300.350.200.100.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:
47到家的,试求他是乘地铁回家的概率。
解:
设A“乘地铁”,B“乘汽车”,C“5:
45~5:
49到家”,由题意,ABφ,A∪BS
已知:
PA0.5,PC|A0.45,PC|B0.2,PB0.5
由贝叶斯公式有
29.[二十四]有两箱同种类型的零件。
第一箱装5只,其中10只一等品;第二箱30只,其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样。
试求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率。
(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。
解:
设Bi表示“第i次取到一等品”i1,2
Aj表示“第j箱产品”j1,2,显然A1∪A2SA1A2φ
(1)(B1A1B+A2B由全概率公式解)。
(2)
(先用条件概率定义,再求PB1B2时,由全概率公式解)
32.[二十六
(2)]如图1,2,3,4,5表示继电器接点,假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器闭合与否相互独立,求L和R是通路的概率。
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
∵AA1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴PAPA1A2+PA1A3A5+PA4A5+PA4A3A2-PA1A2A3A5
+PA1A2A4A5+PA1A2A3A4+PA1A3A4A5
+PA1A2A3A4A5PA2A3A4A5+PA1A2A3A4A5+PA1A2A3A4A5
+A1A2A3A4A5+PA1A2A3A4A5-PA1A2A3A4A5
又由于A1,A2,A3,A4,A5互相独立。
故PAp2+p3+p2+p3-[p4+p4+p4+p4+p5+p4]
+[p5+p5+p5+p5]-p52p2+3p3-5p4+2p5
[二十六
(1)]设有4个独立工作的元件1,2,3,4。
它们的可靠性分别为P1,P2,P3,P4,将它们按图
(1)的方式联接,求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作,i1,2,3,4,
A表示系统正常。
∵AA1A2A3+A1A4两种情况不互斥
∴PAPA1A2A3+PA1A4-PA1A2A3A4加法公式
PA1PA2PA3+PA1PA4-PA1PA2PA3PA4
P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4A1,A2,A3,A4独立
34.[三十一]袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币,(次品硬币的两面均印有国徽)。
在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽。
问这只硬币是正品的概率为多少?
解:
设“出现r次国徽面”Br“任取一只是正品”A
由全概率公式,有
(条件概率定义与乘法公式)
35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落。
求飞机被击落的概率。
解:
高Hi表示飞机被i人击中,i1,2,3。
B1,B2,B2分别表示甲、乙、丙击中飞机
∵,三种情况互斥。
三种情况互斥
又B1,B2,B2独立。
∴
+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.70.41
PH3PB1PB2PB30.4×0.5×0.70.14
又因:
AH1A+H2A+H3A三种情况互斥
故由全概率公式,有
PAPH1PA|H1+PH2PA|H2+PH3PAH3
0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×10.458
36.[三十三]设由以往记录的数据分析。
某船只运输某种物品损坏2%(这一事件记为A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分别为PA10.8,PA20.15,PA20.05,现从中随机地独立地取三件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),试分别求PA1|BPA2|B,PA3|B(这里设物品件数很多,取出第一件以后不影响取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相独立地)
∵B表取得三件好物品。
BA1B+A2B+A3B三种情况互斥
由全概率公式,有
∴PBPA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3
0.8×0.983+0.15×0.93+0.05×0.130.8624
37.[三十四]将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为α,而输出为其它一字母的概率都是1-α/2。
今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1,p2,p3p1+p2+p31,已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?
(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。
)
解:
设D表示输出信号为ABCA,B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA,BBBB,CCCC,则B1、B2、B3为一完备事件组,且PBiPi,i1,2,3。
再设A发、A收分别表示发出、接收字母A,其余类推,依题意有
PA收|A发PB收|B发PC收|C发α,
PA收|B发PA收|C发PB收|A发PB收|C发PC收|A发PC收|B发
又PABCA|AAAAPD|B1PA收|A发PB收|A发PC收|A发PA收|A发
同样可得PD|B2PD|B3
于是由全概率公式,得
由Bayes公式,得
PAAAA|ABCAPB1|D
[二十九]设第一只盒子装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二只盒子装有2只蓝球,3只绿球,4只白球。
独立地分别从两只盒子各取一只球。
(1)求至少有一只蓝球的概率,
(2)求有一只蓝球一只白球的概率,(3)已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率。
解:
记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球,B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。
(1)记C至少有一只蓝球
CA1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5种情况互斥
由概率有限可加性,得
(2)记D有一只蓝球,一只白球,而且知DA1B3+A3B1两种情况互斥
(3)
[三十]A,B,C三人在同一办公室工作,房间有三部电话,据统计知,打给A,B,C的电话的概率分别为。
他们三人常因工作外出,A,B,C三人外出的概率分别为,设三人的行动相互独立,求
(1)无人接电话的概率;
(2)被呼叫人在办公室的概率;若某一时间断打进了3个电话,求(3)这3个电话打给同一人的概率;(4)这3个电话打给不同人的概率;(5)这3个电话都打给B,而B却都不在的概率。
解:
记C1、C2、C3分别表示打给A,B,C的电话
D1、D2、D3分别表示A,B,C外出
注意到C1、C2、C3独立,且
(1)P(无人接电话)PD1D2D3PD1PD2PD3
(2)记G“被呼叫人在办公室”,三种情况互斥,由有限可加性与乘法公式
(3)H为“这3个电话打给同一个人”
(4)R为“这3个电话打给不同的人”
R由六种互斥情况组成,每种情况为打给A,B,C的三个电话,每种情况的概率为
于是
(5)由于是知道每次打电话都给B,其概率是1,所以每一次打给B电话而B不在的概率为,且各次情况相互独立
于是P(3个电话都打给B,B都不在的概率)
第二章随机变量及其分布
1.[一]一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只,以X表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律
解:
X可以取值3,4,5,分布律为
也可列为下表
X:
3,4,5
P:
3.[三]设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X表示取出次品的只数,
(1)求X的分布律,
(2)画出分布律的图形。
解:
任取三只,其中新含次品个数X可能为0,1,2个。
再列为下表
X:
0,1,2
P:
4.[四]进行重复独立实验,设每次成功的概率为p,失败的概率为q1-p0p1
(1)将实验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律。
(此时称X服从以p为参数的几何分布。
)
(2)将实验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律。
(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布。
)
(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率。
解:
(1)PXkqk-1pk1,2,……
(2)Yr+n最后一次实验前r+n-1次有n次失败,且最后一次成功
其中q1-p,
或记r+nk,则PYk
(3)PXk0.55k-10.45k1,2…
PX取偶数
6.[六]一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1,问在同一时刻
(1)恰有2个设备被使用的概率是多少?
(2)至少有3个设备被使用的概率是多少?
(3)至多有3个设备被使用的概率是多少?
(4)至少有一个设备被使用的概率是多少?
[五]一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。
假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的。
(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律。
(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y的分布律。
(3)求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概率。
解:
(1)X的可能取值为1,2,3,…,n,…
PXnP前n-1次飞向了另2扇窗子,第n次飞了出去
n1,2,……
(2)Y的可能取值为1,2,3
PY1P第1次飞了出去
PY2P第1次飞向另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去
PY3P第1,2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去
同上,
故
8.[八]甲、乙二人投篮,投中的概率各为0.6,0.7,令各投三次。
求
(1)二人投中次数相等的概率。
记X表甲三次投篮中投中的次数
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