函数与导数 高考专题全国名校高考数学复习核心考点专题汇编附经典解析.docx
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函数与导数高考专题全国名校高考数学复习核心考点专题汇编附经典解析
全国名校高考数学复习核心考点专题汇编(附经典解析)
函数与导数热点问题(解题指导)
三年考情分析
热点预测
真题印证
核心素养
导数与函数的性质
2017·Ⅱ,21;2018·Ⅰ,21;2017·Ⅲ,21;2018·Ⅱ,21
数学运算、逻辑推理
导数与函数的零点
2018·Ⅱ,21
(2);2018·江苏,19
数学运算、直观想象
导数在不等式中的应用
2017·Ⅲ,21;2017·Ⅱ,21;2016·Ⅱ,20;2018·Ⅰ,21
数学运算、逻辑推理
审题答题指引
1.教材与高考对接——导数在不等式中的应用
【题根与题源】(选修2-2P32习题1.3B组第1题(3)(4))
利用函数的单调性证明下列不等式,并通过函数图象直观验证.
(3)ex>1+x(x≠0);
(4)lnx
【试题评析】
1.问题源于求曲线y=ex在(0,1)处的切线及曲线y=lnx在(1,0)处的切线,通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论,可构造函数f(x)=ex-x-1与g(x)=x-lnx-1对以上结论进行证明.
2.两题从本质上看是一致的,第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中,用“lnx”替换“x”,立刻得到x>1+lnx(x>0且x≠1),进而得到一组重要的不等式链:
ex>x+1>x-1>lnx(x>0且x≠1).
3.利用函数的图象(如图),不难验证上述不等式链成立.
【教材拓展】试证明:
ex-lnx>2.
证明 法一 设f(x)=ex-lnx(x>0),
则f′(x)=ex-
,令φ(x)=ex-
,
则φ′(x)=ex+
>0在(0,+∞)恒成立,
所以φ(x)在(0,+∞)单调递增,
即f′(x)=ex-
在(0,+∞)上是增函数,
又f′
(1)=e-1>0,f′
=
-2<0,
∴f′(x)=ex-
在
内有唯一的零点.
不妨设f′(x0)=0,则ex0=
,从而x0=ln
=-lnx0,
所以当x>x0时,f′(x)>0;当0 ∴f(x)=ex-lnx在x=x0处有极小值,也是最小值. ∴f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0= +x0>2,x0∈ . 故ex-lnx>2. 法二 注意到ex≥1+x(当且仅当x=0时取等号), x-1≥lnx(当且仅当x=1时取等号), ∴ex+x-1>1+x+lnx,故ex-lnx>2. 【探究提高】 1.法一中关键有三点: (1)利用零点存在定理,判定极小值点x0∈ ; (2)确定ex= ,x0=-lnx0的关系;(3)基本不等式的利用. 2.法二联想经典教材习题结论,降低思维难度,优化思维过程,简洁方便. 【链接高考】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a<0时,证明f(x)≤- -2. (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞), 且f′(x)= +2ax+2a+1= . 若a≥0时,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, 故f(x)在(0,+∞)上单调递增, 若a<0时,则当x∈ 时,f′(x)>0; 当x∈ 时,f′(x)<0. 故f(x)在 上单调递增,在 上单调递减. (2)证明 由 (1)知,当a<0时,f(x)在x=- 处取得最大值,最大值为f =ln -1- , 所以f(x)≤- -2等价于ln -1- ≤- -2, 即ln + +1≤0, 设g(x)=lnx-x+1,则g′(x)= -1. 当x∈(0,1)时,g′(x)>0;x∈(1,+∞)时,g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g (1)=0. 所以当x>0时,g(x)≤0, 从而当a<0时,ln + +1≤0, 故f(x)≤- -2. 2.教你如何审题——导数与函数的零点 【例题】(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明: 当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. 【审题路线】 【自主解答】 (1)证明 当a=1时,f(x)=ex-x2,则f′(x)=ex-2x. 令g(x)=f′(x),则g′(x)=ex-2. 令g′(x)=0,解得x=ln2. 当x∈(0,ln2)时,g′(x)<0; 当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)>0. ∴当x≥0时,g(x)≥g(ln2)=2-2ln2>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=1. (2)解 若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,即方程ex-ax2=0在(0,+∞)上只有一个解, 由a= ,令φ(x)= ,x∈(0,+∞), φ′(x)= ,令φ′(x)=0,解得x=2. 当x∈(0,2)时,φ′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0. ∴φ(x)min=φ (2)= .∴a= . 【探究提高】 1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式: (1)求函数的零点、图象交点的个数; (2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围. 2.导数研究函数的零点常用方法: (1)研究函数的单调性、极值,利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题; (2)将函数零点问题转化为方程根的问题,从而同解变形为两个函数图象的交点,运用函数的图象性质求解. 【尝试训练】 已知三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,c∈R)过点(3,0),且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线y=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=9x+m-1,若函数y=f(x)-g(x)在区间[-2,1]上有两个零点,求实数m的取值范围.
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