全国3卷文科数学试题及答案详解.docx
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全国3卷文科数学试题及答案详解
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试题类型:
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
D){0,2,4,6,8,10}
1)设集合A{0,2,4,6,8,10},B{4,8},则eAB=
A){4,8}(B){0,2,6}(C){0,2,6,10}
2)若z43i,则z=
|z|
A)1
43
+i
B)1(C)55
43
iD)55
(3)已知向量BA=(1,3),BC=(3,1),则∠ABC=
2222
A)30°(B)45°
C)60°(D)120°
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均
最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是
10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,
体的三视图,则该多面体的表面积为
A)18365
B)54185
C)90
D)81
(11)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是
A)4π(B)9π(C)6π(D)32π
23
22
12)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
x2y21(ab0)的左焦点,A,B分别为C的ab
左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
1123
(A)(B)(C)(D)
3234
第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
2xy10,
(13)设x,y满足约束条件x2y10,则z=2x+3y–5的最小值为.
x1,
(14)函数y=sinx–cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移个单位长度得到
(15)已知直线l:
x3y60与圆x2+y2=12交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点,则|CD|=.
(16)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ex1x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程式.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知各项都为正数的数列an满足a11,an2(2an11)an2an10.
I)求a2,a3;
II)求an的通项公式.
18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图
注:
年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到
y与t的关系,请用相关系数加以说明;
0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量
附注:
7
9.32,tiyi
i1
40.17,
参考数据:
7
yi
i1
i1(yiy)2
0.55,≈2.646.
参考公式:
r
n
(tit)(yii1
y)
nn(tit)2(yiy)2
i1i1
n
(tit)(yibi1
回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
y),a=ybt.n,a=ybt.
(tit)2
i1
(19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥地面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段
AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(I)证明MN∥平面PAB;
(II)求四面体N-BCM的体积.
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(21)(本小题满分12分)设函数f(x)lnxx1.(I)讨论f(x)的单调性;
x1
II)证明当x(1,)时,1xlnx1x;
III)设c1,证明当x(0,1)时,1(c1)xcx.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点。
Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD。
(23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
(为参数)。
以坐标原点为极点,
x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin()=.
I)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
II)设点P在C1上,点Q在C2上,求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标24)(本小题满分10分),选修4—5:
不等式选讲
已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.
(I)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(II)设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围。
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试题类型:
新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学正式答案
第Ⅰ卷
(1)C
(2)D
(3)A
(4)D(
5)C
(6)D
(7)A
(8)B
(9)D
(10)B(
11)B
(12)A
第II
卷
、填空题
:
本大题共
3小题,
每小题5分。
(13)
10(14)
(15)4
(16)y2x
、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
3三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)
11
解:
(Ⅰ)由题意得a21,a31.5分
2234
(Ⅱ)由an(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1).
故an是首项为1,公比为1的等比数列,因此
2
18)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得
7
7
t
4,(ti
2
t)228,
(yi
i
2
y)20.55,
i1
i1
7
7
7
i1
(tit)(yi
y)tiyi
i1
tyii1
40.1749.322.89,
性回归模型拟合y与t的关系.6
a?
yb?
t1.3310.10340.92.
所以,y关于t的回归方程为:
y?
0.920.10t.10分
将2016年对应的t9代入回归方程得:
y?
0.920.1091.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.12分
19)(本小题满分12分)
2
解:
(Ⅰ)由已知得AMAD2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知
3
1
TN//BC,TNBC2.3分
2
又AD//BC,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN//AT.
因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN//平面PAB.6分
(Ⅱ)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,
1
所以N到平面ABCD的距离为1PA.9分
2
取BC的中点E,连结AE.由ABAC3得AEBC,AEAB2BE25.
由AM∥BC得M到BC的距离为5,故SBCM
20)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由题设F(,0).设l1:
ya,l2:
yb,则ab0,且
2
22
a2b2111ab
A(2,0),B(2,b),P(2,a),Q(2,b),R(2,2).
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0.3分
Ⅰ)由于F在线段AB上,故1ab0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得2y(x1).abx1而aby,所以y2x1(x1).
2
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2x1.12
21)(本小题满分12分)
'1'解:
(Ⅰ)由题设,f(x)的定义域为(0,),f'(x)1,令f'(x)0,解得x1.
x
当0x1时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x1时,f'(x)0,f(x)单调递
减.⋯⋯⋯4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在x1处取得最大值,最大值为f
(1)0.
所以当x1时,lnxx1.
11x1
故当x(1,)时,lnxx1,ln1,即1x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
xxlnx
Ⅲ)由题设c1,设g(x)1(c1)xcx,则g'(x)c1cxlnc,令g'(x)0,
当xx0时,g'(x)0,g(x)单调递增;当xx0时,g'(x)0,g(x)单调递
减.⋯⋯⋯⋯⋯9分
c1
由(Ⅱ)知,1c,故0x01,又g(0)g
(1)0,故当0x1时,g(x)0.
lnc
所以当x(0,1)时,1(c1)xcx.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
解:
(Ⅰ)连结PB,BC,则BFDPBABPD,PCDPCBBCD.
因为APBP,所以PBAPCB,又BPDBCD,所以BFDPCD.又PFDBFD180,PFB2PCD,所以3PCD180,因此PCD60.
(Ⅱ)因为PCDBFD,所以PCDEFD180,由此知C,D,F,E四点共
圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,因此OGCD.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
解:
(Ⅰ)C
1的普通方程为
2
x22
y21,
3
C2的直角坐标方程为
xy40.⋯⋯
5分
(Ⅱ)由题意,可设点
最小值,
P的直角坐标为
(3cos,sin),
因为C2是直线,所以
|PQ|的
即为
P到
C2的
距离d()
的最小
值,
d()|3cossin4|2|sin()2.|
23
当且仅当2k(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标
6
为(3,1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
22
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
解:
(Ⅰ)当a2时,f(x)|2x2|2.
解不等式|2x2|26,得1x3.
因此,f(x)6的解集为{x|1x3}.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(Ⅱ)当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|
|2xa12x|a
|1a|a,
1
当x时等号成立,
2
所以当xR时,f(x)g(x)3等价于|1a|a3.①⋯⋯7分当a1时,①等价于1aa3,无解.
当a1时,①等价于a1a3,解得a2.
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