统计学基础第五章动态数列分析.docx
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统计学基础第五章动态数列分析
统计学基础第五章动态数列分析
【教学目的】
1.区分不同种类的动态数列
2.熟练掌握计算平均发展水平的各种方法
3.掌握发展速度、增长速度的种类,运用它们之间的数量关系进行动态指标的相互推算
4.理解趋势的意义,运用长期趋势测定方法对长期趋势进行测定
5.计算季节比率,并且深刻理解季节比率的经济含义
【教学重点】
1.总量指标动态数列的种类和特点
2.动态比较指标和动态平均指标的计算
3.动态数列的分析方法
【教学难点】
1.绝对数时间数列中的时点数列平均指标的计算
2.相对数、平均数时间数列动态平均指标的计算
3.动态数列分析方法中的季节变动分析方法
【教学时数】
教学学时为12课时
【教学容参考】
第一节动态数列的意义和种类
一、动态数列的概念
将某一个统计指标在不同时间上的各个数值,按时间先后顺序排列,就形成了一个动态数列,也叫做时间数列。
动态数列一般由两个基本要素构成:
一是被研究现象所属的时间;二是反映该现象的统计指标数值。
通过编制和分析动态数列,首先可以从现象的量变过程中反映其发展变化的方向、程度和趋势,研究其质量变化的规律性。
其次,通过对动态数列资料的研究,可以对某些社会经济现象进行预测。
第三,利用动态数列,可以在不同地区或国家之间进行对比分析。
编制和分析动态数列具有非常重要的作用,这种方法已成为对社会经济现象进行统计分析的一种重要方法。
【案例】
下面图表列举了我国2004~2007年若干经济指标的动态数列。
表5-1我国2004-2007年若干经济指标
指标年份
2004年
2005年
2006年
2007年
国生产总值(亿元)
159878.3
183867.9
210871
249530
年底人口数(万人)
129988
130756
131448
132129
粮食产量(万吨)
46946.95
48402.19
49747.89
50148.3
职工年平均货币工资(元/人)
16025
18364
21001
24932
城市居民家庭年人均可支配收入
9421.6
10493
11759.5
13786
全社会固定资产投资(亿元)
70477.4
88773.6
109998.2
137239.01
二、动态数列的种类
按照构成动态数列的基本要素———统计指标的表现形式不同,动态数列可分为绝对数动态数列、相对数动态数列和平均数动态数列三种类型。
其中绝对数动态数列是基本的数列,相对数和平均数动态数列是派生数列。
(一)绝对数动态数列
在这种动态数列中,统计指标值表现为总量指标。
根据指标值的时间特点,又可分为时期数列和时点数列。
国生产总值就是时期数列,年底人口数就是时点数列。
1.时期数列
时期数列中,每一指标值反映在一段时期发展的结果,即“过程总量”。
其主要特点是:
第一,可加性。
时期数列中,各个时间上的指标值可以相加,结果表示现象在较长一段时间的“过程总量”。
如全年的国生产总值是一年中每个月国生产总值相加的结果,各月份的国生产总值又是月份每天的国生产总值之和。
第二,指标值的大小与其所属的时间长短有直接关系。
由于时间数列具有可加性,故每一指标值所属的时间越长,指标值越大;反之,指标值则越小。
第三,指标值采用连续登记的方式取得。
在时期数列中,各指标值反映现象在一段时间发展的结果,因而必须把该时段现象所发生的数量逐一登记,并进行累计,这样才能得到所需的指标值。
2.时点数列
时点数列中,每一指标值反映现象在一定时点上的瞬间水平。
如年底人口数的动态数列中,各个指标值说明在各年年末这一时点上人口数所达到的水平。
其主要特点是:
第一,不可加性。
时点数列中,不同时点上的指标值不能相加,因为各时点上的指标值只表明现象在该时点上所处的状态,相加后的数值并不能代表现象在这几个时点上的状态,故相加是没有意义的。
第二,指标值的大小与其时点间隔的长短没有直接联系。
在时点数列中,两个相邻指标值所属时点的差距称为时点间隔。
时点数列不具有可加性,时点间隔的长短对指标值大小没有直接影响,例如,年末的人口数未必比某月底的人口数大。
编制时点数列时决定时点间隔长短的因素是现象的变动状态,变动较大或较快的现象,间隔应短些;否则间隔可以长些,确定时点间隔时,以能反映现象的变化过程为宜。
第三,指标值采用间断登记的方式获得。
依照时点数列的性质,只要在某一时点进行统计,取得的资料就代表现象在该时点上的数量水平;不同时点上的资料用来反映现象的发展过程,无须对两个时点间现象所发生的数量逐一登记。
(二)相对数的动态数列
在这种动态数列中,统计指标值表现为相对指标,它可以反映相互联系的现象之间的发展变化过程。
例如,不同时间的城镇居民家庭年人均可支配收入就是相对数的动态数列。
在相对数动态数列中,由于各个指标值对比的基数不同,所以不具有可加性。
(三)平均数的动态数列
在这种动态数列中,统计指标值表现为平均指标,它可以反映现象一般水平的发展趋势。
例如,不同时间的职工年平均货币工资就是平均数动态数列。
平均数动态数列中的各个指标值也不能相加,因为相加所得的数值没有实际的经济意义。
三、动态数列的编制原则
编制动态数列的目的是通过对数列中的一系列指标数值进行动态分析来研究社会经济现象的发展变化及其规律性。
因此,保证动态数列中各指标值的可比性是编制动态数列的基本原则,具体来说编制动态数列时应遵守以下几条原则:
1.时间长短要相等。
对于时期数列此原则是指各指标值涵盖的时间长度要相同,因为此时时期的长短直接决定了指标值的大小,时期长短不同指标值便不可比,例如,一个月的销售额和一年的销售额就不能比较。
对于时点数列此原则是指各指标值对应的时点间隔要相同,虽然时点数列指标值的大小与时点间隔长短没有直接联系,但保持相同的时点间隔才能准确地反映现象的变化状况。
2.总体围要一致。
无论是时期数列还是时点数列,指标值的大小都与现象总体围有关系。
如果随着时间的推移,现象总体围发生了变化,如地区的行政区域划分或部门隶属关系变更,那么在变化发生前后,指标的计算围不同,指标值就不能直接对比。
只有经过适当调整保持了总体围的一致性,进行动态比较才有意义。
3.经济容要一致。
指标的经济容是由其理论涵所决定的,随着社会经济条件的变化,同一名称的指标,其经济容也会发生改变。
编制动态数列时不注意这一问题,对经济容已发生变化的指标值不加区别和调整,就可能导致错误的分析结论。
例如,1993年以前产品成本是指生产产品的完全成本,而1993年以后产品成本是指产品的制造成本。
4.计算方法要统一。
对于指标名称、总体围和经济容都相同的指标,计算方法不同也会导致极大的数值差异,如按生产法、支出法和分配法计算的国生产总值,结果就有很大差别。
因此,同一动态数列中,各个时期(时点)指标的计算方法要统一。
第二节动态数列的水平指标
一、发展水平
发展水平是指动态数列中的各项指标数值,它反映现象在一定时期或时点上所达到的规模或水平,是计算动态分析指标的基础。
发展水平一般是时期或时点总量指标,如:
国生产总值、在册工人数等;也可以是平均指标,如:
单位产品成本、平均库存额等;还可以是相对指标,如:
流动资金周转次数等。
设动态数列各项指标数值为:
a0,a1,a2,a3,…,an。
用符号a代表发展水平,下标0,1,2,3,…,n表示时间序号,a0为最初水平,an为最末水平,在最初水平和最末水平之间的称为中间水平。
在动态分析中,将所要研究时期的指标数值称为报告期水平,将作为比较基础时期的指标数值称为基期水平。
发展水平在文字上习惯用“增加到”、“增加为”、“降低到”、“降低为”来表述。
如2007年某地区普通高校在校生人数29.77万人,2008年增加到45.05万人。
二、平均发展水平
平均发展水平是一种序时平均数或动态平均数,是对动态数列中各时间上的发展水平计算的平均数。
序时平均数与一般平均数(静态平均数)既有共同之处,又有区别。
共同之处是二者都抽象了现象的个别差异,以反映现象总体的一般水平。
【案例】
2008年某地区农村居民年人均纯收入为4513元,它就是把各农村居民的收入差异抽象化了,反映全体农村居民收入的一般水平;再如,第四次人口普查到第五次人口普查的十年零四个月中我国大陆人口平均每年增加1279万人,它是把人口增加数在不同年份上的差异抽象化了,反映人口增长的一般水平。
二者的区别在于:
一般平均数抽象的是总体各单位的某一数量标志值在同一时间上的差异,从静态上说明现象总体各单位的一般水平;序时平均数抽象的是现象在不同时间上的数量差异,从动态上说明现象在一定时期发展变化的一般趋势。
由于发展水平可以是绝对数、相对数或平均数,而绝对数又有时期指标和时点指标,因此,用它们计算序时平均数时方法各不相同。
(一)由绝对数动态数列计算序时平均数
1.由时期数列计算序时平均数
时期数列具有可加性,其计算序时平均数的方法就比较简单,常用简单算术平均法,将各时期指标数值的总和除以时期项数。
其计算公式为
2.由时点数列计算序时平均数
要精确计算时点数列的序时平均数,就应掌握每一时点的资料,但实际上这是不可能的。
在社会经济统计中一般是把一天看做一个时点,即以“天”作为最小时间单位。
这样便有连续时点数列和间断时点数列的区别。
资料逐日登记且逐日排列的是连续时点数列;资料不是逐日登记,而是间隔较长一段时间(月、季或年)后再登记一次,然后依次排列的是间断时点数列。
这两种数列的类型不同,计算序时平均数的方法也不同。
(1)由连续时点数列计算序时平均数。
连续时点数列有两种登记方式:
第一种是时点数列的资料是逐日登记且逐日排列的,即已掌握了整个考察期连续性的时点数据,因此可以采用简单算术平均法来计算序时平均数,即以各时点指标值之和除以时点项数。
其计算公式为
【案例】
某系学生星期一至星期五出勤人数资料见表5-4.计算该系学生本星期五天平均出勤人数。
表5-4某系学生出勤人数资料
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
人数(人)
240
244
242
249
250
第二种是时点数列资料登记的时间仍是一天,只是在指标值发生变动时才记录一次。
此时就要用每次资料持续不变的时间长度为权数进行加权平均。
其计算公式为
【案例】
某企业2008年11月份产品库存额资料见表5-5,计算该企业11月份平均产品库存额。
时间
1-4
5-9
10-16
17-24
25-30
产品库存额
1080
1140
1106
985
1020
(3)由间断时点数列计算序时平均数。
间断时点数列也有两种登记方式:
第一种是每隔一定的时间登记一次,每次登记的时间间隔相等。
下面以一个具体的例子来说明在这种情况下序时平均数的计算。
【案例】
某企业2008年第一季度职工人数资料见表5-6。
计算该企业第一季度平均职工人数。
表5-6某企业2008年第一季度职工人数资料
日期
1月1日
2月1日
3月1日
4月1日
月初职工人数(人)
1400
1420
1450
1440
解决这一问题的思路是:
首先求出各月的平均职工人数,然后再对各月平均职工人数计算平均数。
求各月平均职工人数时,按理应该计算该月平均每天的职工人数,但由于未能掌握该月每天的职工人数资料,所以只能在一定的假设条件下推算。
即把下月初的职工人数看成是本月末的职工人数,并假定各月职工人数的变动是均匀的,每月的平均职工人数就等于月初数加月末数除以2,这样,可计算出2005年该企业第一季度平均每月职工人数为
经过上述讨论,可以得出间隔相等的间断时点数列序时平均数的计算公式为
这种方法也称做“首末折半法”,它便于应用,实际计算中主要采用这一形式。
第二种是登记的时间间隔不相等。
序时平均数的计算也可以采用“两次平均”的思路,且第一次的平均计算与时间间隔相等的时点数列相同;进行第二次平均时,由于各时间间隔不相等,所以应当用各时点间隔长度作为权数,计算加权算术平均数,其计算公式为
【案例】
某城市2008年的外来人口资料见表5-7。
计算2008年该城市的平均外来人口数。
表5-7某城市2008年的外来人口资料
日期
1月1日
5月1日
8月1日
12月31日
外来人口数(万人)
13.53
13.87
14.01
13.37
(二)由相对数动态数列或平均数动态数列计算序时平均数
由于相对数动态数列和平均数动态数列是由两个具有相互联系的总量指标动态数列对比构成的,因此相对数或平均数动态数列,不能像总量指标动态数列那样直接计算平均水平,而是要先分别计算出分子、分母两个总量指标动态数列的序时平均数,然后再进行对比,求出相对数或平均数动态数列的序时平均数。
其计算公式为:
构成分子、分母的动态数列可以都是时期数列;也可以都是时点数列;也可以一个是时期数列,一个是时点数列。
现举其中的一种情况说明其计算方法。
【案例】
某大型超市第一季度商品销售额与月初商品库存额资料见表5-8。
表5-8某大型超市第一季度商品销售额与月初商品库存额资料
月份
单位
1月
2月
3月
4月
商品销售额(a)
万元
120
220
350
—
月初商品库存额(b)
万元
50
70
90
110
商品流转次数(c)
次
2
2.75
3.5
—
计算该大型超市第一季度月平均商品流转次数。
商品流转次数数列计算过程为
该超市第一季度平均商品周转次数为2,875次。
【能力训练】
某企业月平均库存额资料见表5-9,那么,该企业
第一季度平均库存额=
这样计算正确吗?
为什么?
表5-9某企业月平均库存额资料
时间
1月
2月
3月
4月
月平均库存额(万元)
12
23
17
10
三、增长量
增长量是指动态数列中两个不同时期的发展水平之差,反映社会经济现象报告期比基期增加或减少的数量,即增长量=报告期水平-基期水平
当报告期水平大于基期水平时,增长量为正值,表示现象的水平增加;当报告期水平小于基期水平时,增长量为负值,表示现象的水平减少。
根据所采用基期的不同,增长量分为逐期增长量、累计增长量以及年距增长量。
(一)逐期增长量
逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差,即an-an-1,它说明报告期水平比前一期水平增长的绝对数量。
(二)累计增长量
累计增长量是报告期水平与某一固定基期水平之差,即an-a0,它说明报告期水平比某一固定基期水平增长的绝对数量,也说明在某一段较长时期总的增长量。
(三)逐期增长量和累计增长量之间的关系
逐期增长量和累计增长量之间的关系如下:
第一,整个时期的逐期增长量之和等于最后一个时期的累计增长量,即
第二,相邻两个时期的累计增长量之差等于相应时期的逐期增长量,即
(四)年距增长量
为了消除季节变动因素的影响,常将本月(季)发展水平与去年同月(季)发展水平进行比较,若以相减的比较方式,则得到的是年距增长量,即
年距增长量=本月(季)发展水平-去年同月(季)发展水平
四、平均增长量
平均增长量是指动态数列的各逐期增长量的序时平均数,用来反映现象在某一时间各期增长绝对数量的一般水平。
其计算公式为
【案例】
某企业2003~2008年的产量资料见表5-10。
计算该时期平均增长量。
表5-10某企业2003~2008年的产量资料单位:
万件
年份
2003
2004
2005
2006
2007
2008
发展水平:
产量
21
20
18
22
21
23
增长量:
逐期
—
-1
-2
4
-1
2
累计
—
-1
-3
1
0
2
第三节动态数列的速度指标
一、发展速度
发展速度是表明在一定时期的发展方向和程度的动态相对指标。
是以相对数形式表示的两个不同时期发展水平的比值,表明报告期水平已发展到基期水平的几分之几或若干倍。
其计算公式为
发展速度一般用百分数表示,有时也用倍数表示。
若发展速度大于百分之百(或大于1)则表示为上升速度;若发展速度小于百分之百(或小于1)则表示为下降速度。
根据所采用基期的不同,发展速度分为定基发展速度和环比发展速度。
(一)定基发展速度
定基发展速度是指报告期水平与某一固定基期水平(通常是最初水平)的比值,表明现象在较长时期总的发展变化程度,又称总速度。
定基发展速度可表示为
(二)环比发展速度
环比发展速度是指报告期水平与前一期水平的比值,表明现象发展变化的程度。
环比发展速度可表示为
(三)定基发展速度和环比发展速度之间的关系
定基发展速度和环比发展速度之间的关系是:
第一,定基发展速度等于相应时期的各个环比发展速度的连乘积,即
第二,相邻两个定基发展速度之比等于相应时期的环比发展速度,即
根据上述数量关系,环比发展速度和定基发展速度可以互相推算。
(四)年距发展速度
类似于年距发展水平指标,对于具有季节变化的一些社会经济现象,为了消除季节变动的影响,可以计算年距发展速度,用来说明本期发展水平相对于去年同期发展水平变化的方向与程度,它是实际统计分析中经常使用的指标。
其计算公式为
二、增长速度
增长速度是表明现象增长程度的动态相对指标。
它是增长量与基期水平的比值,表明报告期水平比基期水平增长(或降低)了百分之几或若干倍。
其计算公式为
从上述公式可以看出增长速度与发展速度有着密切的关系,即
增长速度=发展速度-1
增长速度有正、负值之分。
当发展速度大于1时,增长速度为正值,表明现象的增长程度;当发展速度小于1时,增长速度为负值,表明现象的降低程度。
根据所采用基期的不同,增长速度分为定基增长速度和环比增长速度。
(一)定基增长速度
定基增长速度是累计增长量与某一固定基期发展水平对比的结果,表示现象在较长时期总的增长程度。
其计算公式为
(二)环比增长速度
环比增长速度是逐期增长量与前一期发展水平对比的结果,表示现象逐期增长的方向和程度。
其计算公式为
(三)定基增长速度与环比增长速度之间的换算关系由于定基增长速度不等于环比增长速度的连乘积,即
因此,定基增长速度与环比增长速度不能直接换算。
如果要进行换算,则首先必须将环比增长速度还原成环比发展速度,再将各期环比发展速度连乘,得到定基发展速度,最后用定基发展速度减1得到定基增长速度。
【能力训练】
已知某学校的学生数量连年增长,2008年比2007年增长10%,2007年比2006年增长6%,2006年比2005年增长3%,求:
三年来该校学生数量增长的总速度。
(四)年距增长速度
为了消除季节变动的影响,需要计算年距增长速度,其计算公式为:
【能力训练】
下面是市2008年上半年外贸进出口情况,请指出各指标属于动态数列分析中的哪项指标?
2008年1~6月市外贸进出口总额为1576.26亿美元,比去年同期增长23.2%。
其中出口额804.98亿美元,增长25.1%;进口额771.28亿美元,增长21.28%。
三、平均发展速度与平均增长速度
平均发展速度是动态数列中的各个环比发展速度的序时平均数。
它说明某种现象在一个较长时期中逐期平均发展变化的程度。
平均增长速度是根据平均发展速度来计算的,反映某种现象在一个较长时期中逐期平均增长变化的程度。
平均发展速度与平均增长速度的关系是:
平均增长速度=平均发展速度-1
平均发展速度和平均增长速度在实际工作中起着重要的作用。
这两个指标是编制国民经济计划,进行国民经济宏观调控的重要指标;也经常用它们来对比不同阶段、不同时期、不同国家或地区同类现象的发展变化情况;它们还可作为各种推算和预测的依据。
在实际统计工作中,计算平均发展速度和平均增长速度的方法有两种,即水平法和累计法。
两种方法的具体计算与应用都不相同。
(一)用水平法计算平均发展速度
水平法亦称几何平均法。
由于总速度不等于各年环比发展速度之和,而是等于各年环比发展速度之连乘积,所以计算平均发展速度时,不能用算术平均法,而应该采用几何平均法来计算。
其计算公式为
由于环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度,因此平均发展速度的公式也可写成
因为
是现象的总发展速度,所以平均发展速度的公式又可写成
式中R——总发展速度
由上面的公式计算平均发展速度时,可根据各时期的环比发展速度来计算;也可根据最初水平和最末水平来计算;还可根据总的发展速度来计算。
平均发展速度和平均增长速度一般用百分数表示,但像人口平均出生率、死亡率、平均自然增长率等指标的分子明显小于分母,可采用千分数表示。
【案例】
根据第四次、第五次人口普查资料,我国大陆人口1990年普查时为113368万人,2000年普查时为126583万人,试求两次人口普查之间我国人口年平均增长速度。
由题中已知
年平均增长速度=(1.011087-1)×1000‰=11.087‰
【案例】
如果以2000年人口普查数为基数,其后每年以11.087‰的速度递增,到2010年我国大陆人口将达到多少?
解
即按11.087‰的速度递增,到2010年11月1日我国大陆人口将超过14亿人。
【案例】
若要求在2010年底,把我国大陆人口控制在14亿人以,以2000年底全国人口数为基数,10年我国人口年平均增长速度应控制在什么水平上?
解
年平均增长速度=(1.010125-1)×1000‰=10.125‰
即从2000年开始我国人口年平均增长速度必须控制在10.125‰以,才能保证到2010年底人口不突破14亿人。
(二)用累计法计算平均发展速度
累计法是通过解高次方程的方法计算的,因此又称为方程法或方程式法。
这种方法的实质是:
从最初水平
出发,各期按平均发展速度
计算发展水平,则计算的各期发展水平累计总和,应与各期实际发展水平的总和相等。
列出方程式,再求解便得出平均发展速度。
设
为平均发展速度,按平均发展速度计算的各期水平的假定值为:
第一期:
;
第二期:
;
……
……
……
第
期:
:
各期假定水平之和为
各期实际水平之和为
二者相等,则可列出如下方程式:
即
求这个高次方程的正根,就是平均发展速度。
但是,要求解这个高次方程是比较复杂的。
因此,在实际工作中,通常是根据《平均增长速度查对表》计算。
由于
,如果
或100%时,表明现象是递增型,应在累计法查对表的递增速度部分查找;如果
或100%时,表明现象是递减型,应在累计法查对表的递减速度部分查找。
然后再计算平均发展速度和平均增长速度速度。
用水平法和累计法计算平均发展速度的方法具有不同的特点及应用条件。
用水平法计算平均发展速度往往取决于最末水平与最初水平之比。
而累计法则取决于报告期各年水平之和与基期水平之比。
水平法侧重于观察期末的发展水平,在检查工农业生产、运输与商业等计划时比较适宜。
而累计法侧重于观察全期总量的计划完成情况及各年发展水平的累计总和,这对检查基建投资、城市公用事业
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