双曲线解答题练习含答案.docx
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双曲线解答题练习含答案
M的轨迹,且曲线C过点P.
li,I2,经过右焦点F垂直于h的直线分别交
双曲线解答题练习
1.如图,在以点0为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD_AB,P是半圆弧上一点,
.POB=30,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(H)设过点D的直线丨与曲线C相交于不同的两点E、F.
若厶OEF的面积不小于2^2,求直线I斜率的取值范围
2.双曲线的中心为原点0,焦点在x轴上,两条渐近线分别为
成等差数列,且
I2于A,B两点•已知
BF与FA同向.
(I)求双曲线的离心率;
(H)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
(II)在x轴上是否存在定点C,使CA•CB为常数?
若存在,求岀点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条
1
且分别位于第一、二象限,若AP=&PB12],求
'3'
积的取值范围
5•求一条渐近线方程是3x4^0,一个焦点是4,0的双曲
程,并求此双曲线的离心率.(12分)
222
6•双曲线x_y=aa0的两个焦点分别为Fi,F2,P为双曲线上任意一点,求证:
pf’、po>pf2成等比
数列(0为坐标原点).(12分)
7•已知动点P与双曲线x2—y2=1的两个焦点Fi,F2的距离之和为定值,且cos/FiPF,的最小值为—1
3
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(0,—1),若斜率为k(k为)的直线丨与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使|MA|MB|,试求k的取值范围.(12分)
2_2
8•已知不论b取何实数,直线y=kx+b与双曲线x-2y=1总有公共点,试求实数k的取值范围.(12分)
22
xy
9•设双曲线C1的方程为—2=1(a0,b0),A、B为其左、右两个顶点,P是双曲线G上的任意一点,
ab
引QB丄PB,QA丄PA,AQ与BQ交于点Q.
(1)求Q点的轨迹方程;
(2)设
(1)中所求轨迹为C2,G、C2
的离心率分别为e1、e,,当e1_.2时,e2的取值范围(14分)
10•某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:
正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生
的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:
相关各点均在同一平面上).(14分)
双曲线练习题答案
1.如图,在以点0为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB
0D—AB,P是半圆弧上一点,•POB=30,曲线C
足||MA|-1MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(n)设过点D的直线丨与曲线C相交于不同的两点E、F.
若厶OEF的面积不小于•22,求直线丨斜率的取值范围
解:
(I)以0为原点,AB、0D所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),
D(0,2),P(3,1),依题意得
IMA|-|MB|=|PA|-|PB|=(23)212_(2_、3)212=2..、2<|ABI=4.
•••曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,
则c=2,2a=22,•a2=2,b2=c2-a2=2.
22
•曲线C的方程为—=1.
22
解法2:
同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|<
|AB|=4.
•曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
22
设双曲线的方程为笃-当=1但>0,b>0).
ab
(、-3)1
则由《a2b2-解得a2=b2=2,
.a2+b2=4
22
•曲线C的方程为—=1.
22
22
(H)解法1:
依题意,可设直线丨的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-K)X-4kx-6=0.
•••直线丨与双曲线C相交于不同的两点E、F,
f2
46(1-k2)
1-k2式0"(-4k)2
4k6
2,捲X2,于是
1-k
•k€(-..3,-1)u(-1,1)U(1,..3)
设E(x,y),F(x2,y2),则由①式得X1+X2=
1-k
=1k2.(x1x2)2-4x1x2=.1k2
2、2「3—k2
而原点O到直线丨的距离d=
2
1k2
2—.ik222-k2/2_k2
21k2k-k21-k2
若厶OEF面积不小于2.2,即&oef_2=2,则有
2,2,3;k_22=k4-k2-2",解得—、2空k1、2.
-k
综合②、③知,直线丨的斜率的取值范围为[-J2,-1]u(1-,1)u(1,J2).
解法2:
依题意,可设直线丨的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,
得(1-K2)x2-4kx-6=0.
•••直线丨与双曲线C相交于不同的两点E、F,
1—k2=0k=_1
=(—4k)246(1—k2)0,3k<3
••••k€(-.3,-1)u(-1,1)u(1,3)
设E(X1,y1),F(X2,y2),则由①式得
IX1-X2I=J(X1+X2)2_4%X2=|+也2|
1—k1-k
当E、F在同一去上时(如图1所示),
当E、F在不同支上时(如图2所示)
-k2
2由|OD|=2及③式,得S^oef=223k
若^OEF面积不小于22,即SOEF-22,则有
1-k2
22、3-k_2.2=k4-k2乞0,解得-.2乞k_.2.
2.(i)设OA=m-d,
22
axy
(n)过F直线方程为y(x-c),与双曲线方程—2=1联立
bab
将a-2b,c=、、5b代入,化简有丄—2x—~—x2^=0
4b2b
28b2
4
5
22
故所求的双曲线方程为~y1
369
3.解:
由条件知Fi(-2,0),F2(2,0),设A(Xi,yj,Bg,y?
).
x2订X26,即XiX2=x-4,
yy2*y^y
于是AB的中点坐标为,-y.
I22丿
y
■X2).
当AB不与x轴垂直时,二_2—二丄,即y(x1
为—x2x-42x—8x—8
~2~_
2222
又因为A,B两点在双曲线上,所以&-yi=2-他,两式相减得
(Xi—X2)(XiX2)=(yi-y2)(yiy?
),即(人-X2)(x-4)=(力-y2)y.将y1-y2二—y(论-x2)代入上式,化简得(x-6)2-y2=4.
x—8
当AB与x轴垂直时,捲=x2=2,求得M(8,0),也满足上述方程.
所以点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.
Xx2=x-4,
解法二:
同解法一的(I)有
1%+y2=y
当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k=二1).
代入x2-y2=2有(1-k2)x24k2x-(4k22)=0.
由①②③得x_4卓
k2-1
4k
故点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.
当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k:
;;1).
代入x2_y2=2有(1_k2)x24k2x-(4k22)=0.
22
4k24k2+2
则X1,X2是上述方程的两个实根,所以为•X22,X1X2—
k-1k-1
于是CAl_CB=(xi-m)(x2-m)k?
(xi「2)(刈「2)
2
2(1-2m)k224-4m2
2m=2(1-2m)2m
k2-1k2-1
因为CACB是与k无关的常数,所以4-4m=0,即m=1,此时
当AB与x轴垂直时,点A,B的坐标可分别设为(2,2),(2,一、、2),此时CA[CB=(1,2)」1,_.2)--1.
故在x轴上存在定点0(1,0),使
CACB
为常数.
4.(I)由题意知,双曲线
C的顶点(0,a)到渐近线
ax-by=0的距离为
2.5
5
所以
ab25
c一5
ab_2/5
c一5
由C5得
a2
22丄「2
c=a+b
a=2
b=1
c=V5
2
所以曲线C的方程是-X2-1
4
(n)设直线AB的方程为y=kxm,
由题意知kc2,m〉0
y=kxm/口—、、,由得A点的坐标为
y=2x
m2m
y=kxm®
由y得b点的坐标为
y=-2x
_m2m
2k'2k
),
将p点的坐标代入
2
y2
x
4
=1得
4m2
4-k2
(i)2
设Q为直线AB与y轴的交点,贝UQ点的坐标为(0,m)
SAOB=SAOQ'SBOQ
5.
22
(12分)[解析]:
设双曲线方程为:
9x-16y
二,,t双曲线有一个焦点为(4,0),
6.
22
双曲线方程化为:
二—乙一儿:
16=
h"T-16_—
916
22
二双曲线方程为:
X2_y1
256~^44=
"25~25
4e=
16
5
(12分)[解析]:
易知b=a,c=、、2a,e=...2,
则PF^2(x■a),PF?
»2(x
加2
a
.2},
482
"25
准线方程:
x=a,设PX,y,
POf"•y2,.PF1[PF?
=2(x2
a2
2)
=2x2_a2
22222
=x•(x—a)二x-yPO
.PFi、PO>PF2成等比数列.
7.
(12分)
[解析]:
(1)Vx2-y2=1,二c=2.设IPF1I+IPF2I=2a(常数a>0),2a>2c=22,二a>2
由余弦定理有cos/FiPF2=
22
|PF1|+|PF2|-|F1F2I
222
(IPF1I+IPFF|)-2|PF1IIPF2-IF1F2I
2a2-4
2|PFi||PF2|
2|PFi||PF>|
-1
IPF1IIPF2I
:
IPFi||PF2兔
[PH]畀雪=a2,•.当且仅当
2
IPF1I=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值a.
此时cos/F1PF2取得最小值疽二-1,由题意
a
2
2aa-4-1=-1解得a2=3,b—3—2=1
2
•••P点的轨迹方程为3+
y2=1.
将②代入①得:
(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0(*)
②
设A(X1,yj,B(X2,『2),
x1+X2—3km
则AB中点Q(xq,yo)的坐标满足:
Xo
2=1+3k2,yo=kxo+
m
m=2
1+3k
3kmm
即Q(-1+3k2,1+30
•/|MA|=|MB|,二M在AB的中垂线上,
m
+11+3k+
--k|kAB=k・
|kAB3km
—2
1+3k
又由于(*)式有两个实数根,知△>
0,
即(6km)2-4(1+3k2)[3(
m2-1)]=12(1+3k2-m2)>0
④,将③代入④得
2
12[1+3k-(
2
1+23k)2]>0,解得一1 k的取值范围是k€(-1,0)U(0, 1). b=kx+b *22 8(12分)[解析]: 联立方程组F一2y=1消去y得(2k2—1)x2+4kbx+(2b2+1)=0, 当1_2k2=0,即k=—时,若b=°,则;若,^_2^21,不合题意 2—_2/2b 当1/k2H°即k工土』2时,依题意有△=(4kb)2—4(2k2—1)(2b2+i)>°,=2k^2b2+1对所有实数b恒成立, 9. 22222 .2k2: : : (2b2-1)min-2k<1,得一—”: k: : : 2. (14分)[解析]: (1)解法一: 设P(x°,y°),Q(x,y) 经检验点(-a,0),(a,0)不合,因此Q点的轨迹方程为 解法二: 设P(X0,y。 ),Q(x,y),vPA丄QA 22.224 : ax—by=a —y0y1…… (1)连接PQ,取PQ中点R, x。 -ax-a 10.(14分)[解析]: 以接报中心为原点O,正东、正北方向为北观测点,则A(—1020,0),B(1020,0),C(0, x轴、y轴正向,建立直角坐标系 1020) .设A、B、C分别是西、东、 设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y= —X,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|—|PA|=340X4=1360 由双曲线定义知 P点在以A、B为焦点的双曲线 2x ~2a 上, 依题意得a=680,c=1020, 用y=—x代入上式,得 x=680、.5,v|PB|>|PA|,x=-680、丿5,y=680, 即P(■680.5,680.5),故PO=680、10,答: 巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680.10m处.
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