高考真题及答案理科数学全国Ⅲ卷.docx
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高考真题及答案理科数学全国Ⅲ卷
绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A= ( x, y│x2 + y 2 = 1 ,B= ( x, y│y = x ,则 A
A.3B.2C.1
B 中元素的个数为
D.0
2.设复数 z 满足(1+i)z=2i,则∣z∣=
2C.2D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至
2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.学#科&
网
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 1 -页-
D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳
4.( x + y )(2 x - y )5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为
A.-80B.-40C.40D.80
5 .已知双曲线C :
x2 y 2 5
- = 1 (a > 0,b > 0) 的一条渐近线方程为 y =
a2 b2 2
x , 且与椭圆
x2y 2
+= 1 有公共焦点,则 C 的方程为
123
A.
x2 y 2
- = 1
8 10
B.
x2 y 2
- = 1
4 5
C.
x2 y 2
- = 1
5 4
D.
x2 y 2
- = 1
4 3
6.设函数 f(x)=cos(x+
π
3
),则下列结论错误的是
A.f(x)的一个周期为−2π
B.y=f(x)的图像关于直线 x=
8π
3
对称
C.f(x+π)的一个零点为 x= π
6
D.f(x)在(
π
2
π)单调递减
7.执行下面的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为
A.5B.4C.3D.2
8.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的
体积为
4C.
π
2 D.
π
4
}的首项为 1,公差不为 0.若 a ,a ,a
9.等差数列{a
n
2 3 6
成等比数列,则{a
n
}前 6 项的和
为
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 2 -页-
A.-24B.-3C.3D.8
10.已知椭圆 C:
x2 y 2
+
a2 b2
= 1 ,(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为
直径的圆与直线 bx - ay + 2ab = 0 相切,则 C 的离心率为
A.6
3
B. 3
3
C. 2
3
11.已知函数 f ( x) = x 2 - 2 x + a(e x-1 + e- x+1 ) 有唯一零点,则 a=
A. -
1
3
C.
1
2 D.1
12.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若AP = λ
AB + μ AD ,则 λ + μ 的最大值为
A.3B.22C. 5D.2
二、填空题:
本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
⎧ x - y ≥ 0
⎪
⎩
}满足 a
14.设等比数列{a
n 1
+ a2 = –1, a1 – a3 = –3,则 a4 = ___________.
⎧ x + 1,x ≤ 0,1
15.设函数 f ( x) = ⎨则满足 f ( x) + f ( x - ) > 1 的 x 的取值范围是_________。
⎩2x,x > 0,2
16.a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,
b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 30°角;
②当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 60°角;
③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°;
④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°;
其中正确的是________。
(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共 60 分。
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 3 -页-
17.(12 分)
△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinA+ 3 cosA=0,a=2 7 ,b=2.
(1)求 c;
(2)设 D 为 BC 边上一点,且 ADAC,
ABD 的面积.
18.(12 分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求
量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最
高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为
了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
天数
[10,15)
2
[15,20)
16
[20,25)
36
[25,30)
25
[30,35)
7
[35,40)
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的
进货量 n(单位:
瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?
学科*网
19.(12 分)
△
如图,四面体 ABCD
ABC 是正三角形, ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:
平面 ACD⊥平面 ABC;
(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,
求二面角 D–AE–C 的余弦值.
20.(12 分)
已知抛物线 C:
y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 与 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径
的圆.
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 4 -页-
(1)证明:
坐标原点 O 在圆 M 上;
(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程.
21.(12 分)
已知函数 f ( x) =x﹣1﹣alnx.
(1)若 f ( x) ≥ 0 ,求 a 的值;
1
2
1 1
22 2n
值.
(二)选考题:
共10 分。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4 - 4:
坐标系与参数方程](10 分)
⎧ x = 2+t,
⎩
⎧ x = -2 + m,
⎪
m
y =,
k
(1)写出 C 的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:
ρ(cosθ+sinθ)-2 =0,
M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径.
23.[选修 4 - 5:
不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式 f(x)≥1 的解集;
(2)若不等式 f(x)≥x2–x +m 的解集非空,求 m 的取值范围.
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 5 -页-
绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B2.C3.A4.C5.B6.D
7.D8.B9.A10.A11.C12.A
二、填空题
(-
13. -114. -815.
1
4
+
,∞)
16. ②③
三、解答题
17.解:
(1)由已知得tanA= -3,所以 A=
在 △ABC 中,由余弦定理得
2π
3
28 = 4 + c2 - 4c cos
2π
3
,即c2 +2c-24=0
6
解得c = -(舍去),c=4
(2)有题设可得 ∠ CAD = π
= π
6
1π
26 = 1
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为1
2
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 6 -页-
又△ABC 的面积为
1
2
⨯ 4 ⨯ 2 sin ∠ BAC = 2 3,所以 ∆ ABD 的面积为 3.
18.解:
(1)由题意知, X 所有的可能取值为 200,300,500,由表格数据知
P (X = 200) = 2 + 16 = 0.2
90
P (X = 300) =
36
90
= 0.4
P (X = 500) =
25 + 7 + 4
90
= 0.4 .
因此 X 的分布列为
X
P
200 300 500
0.2 0.4 0.4
⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑 200 ≤ n ≤ 500
当 300 ≤ n ≤ 500 时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间 [ 20,,25) ,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n
当 200 ≤ n < 300 时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。
19.解:
(1)由题设可得, ∆ABD ≅ ∆CBD, 从而AD = DC
又 ∆ACD 是直角三角形,所以 ∠ACD=900
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于 ∆ABC是正三角形,故BO ⊥ AC
所以 ∠DOB为二面角D - AC - B的平面角
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 7 -页-
在Rt∆AOB中,BO2 + AO2 = AB2
又AB = BD, 所以
BO2 + DO2 = BO2 + AO2 = AB2 = BD2,故∠DOB=900
所以平面ACD ⊥ 平面ABC
(2)
2
由题设及
(1)知,OA, OB, OD 两两垂直,以 O 为坐标原点,OA 的方向为 x 轴正方向, OA
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ,则
A(1, 0),B(0,3 0),C(-1, 0),D(0,,
1
由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D
13 1 ⎫
⎝22 ⎭
AD =
(-1,, AC = (-2,,) AE = ⎛ -1, 3 , ⎫
⎝ 2 2 ⎪
- x + z = 0
设 n = (x, y,z )是平面 DAE 的法向量,则 ⎨31
y +z = 0
⎩22
⎛3⎫
可取 n = ç1, 3 ,1⎪⎪
⎝⎭
设 m 是平面 AEC 的法向量,则 ⎨同理可得 m = 0,-1, 3
⎪⎩m AE = 0,
7
=
n m7
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 8 -页-
所以二面角 D-AE-C 的余弦值为
20.解
7
7
(1)设 A (x , y ),B (x , y
1122
),l :
x = my + 2
⎧
由 ⎨ x = my + 2
⎩ y2 = 2x
可得 y2 - 2my - 4 = 0,则 y y = -4
1 2
y 2y 2( y y )2
又 x =1 ,x =2 ,故x x =1 2=4
121 2
因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为
x x
1 2
1 2 =
-4
4
=-1
所以 OA⊥OB
故坐标原点 O 在圆 M 上.
(2)由
(1)可得 y +y =2m,x +x =m ( y +y )+4=2m2 + 4
121212
故圆心 M 的坐标为 (m2 +2,m ),圆 M 的半径 r = (m
2
+ 2) + m2
由于圆 M 过点 P(4,-2),因此 AP BP = 0 ,故 (x - 4 )(x - 4 )+ ( y + 2)(y + 2) = 0
1212
即 x x - 4 (x +x
1 212
)+ y y
1 2
+ 2 ( y + y )+ 20 = 0
1 2
由
(1)可得 y y =-4,x x =4 ,
121 2
所以 2m2 - m - 1 = 0 ,解得 m = 1或m = -
1
2
.
当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为 10 ,圆 M
的方程为 (x - 3)2 + ( y - 1)2 = 10
当
2 ⎝ 4 2 ⎭
-
85⎛9 ⎫2 ⎛1 ⎫285
44 ⎭⎝2 ⎭16
+
21.解:
(1) f (x )的定义域为 (0,∞ ).
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 9 -页-
1
⎝ 2 ⎭2
+
xx
+
f ' (x )>0 ,所以 f (x ) 在 (0,a ) 单调递减,在(a,∞ ) 单调递增,故x=a 是 f (x ) 在
+
x ∈ (0,∞ ) 的唯一最小值点.
由于 f
(1) = 0 ,所以当且仅当 a=1 时, f (x ) ≥ 0 .
故 a=1
+
(2)由
(1)知当 x ∈ (1,∞ )时, x - 1 - ln x>0
令 x=1+ 1
2n
得
⎛ 1
⎝ 2n
⎫ 1
⎭ 2n
,从而
⎛1 ⎫⎛1 ⎫⎛1 ⎫11
⎝2 ⎭⎝22 ⎭⎝2n ⎭2 22
+ ⋅⋅⋅ +
1 1
=1-
2n 2n
<1
1 ⎫⎛
⎝2 ⎭⎝
⎛1 ⎫⎛
⎝2 ⎭⎝
1 ⎫ ⎛ 1 ⎫
⎪
⎭
1 ⎫⎛ 1 ⎫
22 ⎭⎝ 23 ⎭
k
22.解:
( 1 )消去参数t 得 l1 的普通方程 l1 :
y = k (x - 2) ;消去参数m 得 l2 的普通方程
l :
y = 1 ( x + 2)
2
⎧ y = k (x - 2)
⎪
设 P(x,y),由题设得 ⎨
⎩k
,消去 k 得 x2 - y2 = 4 ( y ≠ 0 ).
所以 C 的普通方程为 x2 - y2 = 4 ( y ≠ 0)
(2)C 的极坐标方程为r
2
(cos2q
- sin2q
p
)= 4 (0<q <2 q,
≠p )
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 10 -页-
联立 ⎨得 cosq - sinq =2 (cosq + sinq ).
⎪⎩r (cosq + sinq )- 2=0
191
故 tanq = -,从而 cos2q =sin2q =
31010
代入r
2
(cos2q - sin2q )=4 得r
2=5 ,所以交点 M 的极径为 5 .
23.解:
⎧-3,
⎪
⎩
x< - 1
- 1 ≤ x ≤ 2
x>2
当 x<-1 时, f (x ) ≥ 1 无解;
当 -1 ≤ x ≤ 2 时,由 f (x ) ≥ 1 得, 2x - 1 ≥ 1 ,解得1 ≤ x ≤ 2
当 x>2 时,由 f (x ) ≥ 1 解得 x>2 .
{}
(2)由 f (x ) ≥ x2 - x + m 得 m ≤ x + 1 - x - 2 - x2 + x ,而
x + 1 - x - 2 - x2 + x ≤ x +1+ x - 2 - x2 + x
⎛3 ⎫25
⎝2 ⎭4
≤
5
4
35
24
⎛5 ⎤
⎝4 ⎦
……………………………………………………………………………………………………………………
-共 12 页,当前页是第- 11 -页-
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