第三册相似三角形八年级数学教案模板.docx
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第三册相似三角形八年级数学教案模板
第三册相似三角形_八年级数学教案_模板
一、教学目标 1.使学生进一步理解相似比的概念,掌握相似三角形的性质定理1.
2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.
3.进一步培养学生类比的教学思想.
4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教,达标导学
三、重点及难点
1.教学重点:
是性质定理1的应用.
2.教学难点:
是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具.
六、教学步骤
[复习提问]
1.三角形中三种主要线段是什么?
2.到目前为止,我们学习了相似三角形的哪些性质?
3.什么叫相似比?
[讲解新课]
根据相似三角形的定义,我们已经学习了相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.
性质定理1:
相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽,
,
教师启发学生自己写出“已知、求证”,然后教师分析证题思路,这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时,是根据相似三角形的性质得到的,这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚,而证明过程可由学生自己完成.
分析示意图:
结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)
∽,
BM=MC,
∽,
以上两种情况的证明可由学生完成.
[小结]
本节主要学习了性质定理1的证明,重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.
七、布置作业
教材P241中3、教材P247中A组3.
八、板书设计
教学设计
提公因式法
(一)
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
3.通过学生自行探求解题途径,培养学生观察、分析和创新能力,深化学生逆向思维能力.
教学重点及难点
教学重点:
因式分解的概念及提公因式法.
教学难点:
正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系.
教学过程设计:
一、复习提问
乘法对加法的分配律.
二、新课
1.新课引入:
用类比的方法引入课题.
在学习分数时,我们常常要进行约分与通分,因此常常要把一个数分解因数(即分解约数).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.
在第七章我们学习了整式的乘法,几个整式相乘可以化成一个多项式,那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢?
这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法.
2.因式分解的概念:
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子,并计算出其结果.(老师按学生所说在黑板写出几个.)
如:
m(a+b+c)=ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)=-x2+7x-10等等.
再请学生观察它们有什么共同的特点?
特点:
左边,整式×整式;右边,是多项式.
可见,整式乘以整式结果是多项式,而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.
定义:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
如:
因式分解:
ma+mb+mc=m(a+b+c).
整式乘法:
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别.
联系:
同样是由几个相同的整式组成的等式.
区别:
这几个相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.
例1下列各式从左到右哪些是因式分解?
(投影)
(1)x2-x=x(x-1)(√)
(2)a(a-b)=a2-ab(×)
(3)(a+3)(a-3)=a2-9(×)
(4)a2-2a+1=a(a-2)+1(×)
(5)x2-4x+4=(x-2)2(√)
下面我们学习几种常见的因式分解方法.
3.提公因式法:
我们看多项式:
ma+mb+mc
请学生指出它的特点:
各项都含有一个公共的因式m,这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.
注意:
公因式是各项都含有的公共的因式.
又如:
a是多项式a2-a各项的公因式.
ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式.
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式.
根据乘法的分配律,可得
m(a+b+c)=ma+mb+mc,
逆变形,便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc=m(a+b+c).
这说明,多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面,将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
定义:
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多 项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
显然,由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察上面的公因式的特点,找出确定公因式的万法:
(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数:
(2)字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数例2指出下列各多项式中各项的公因式:
(1)ax+ay+a(a)
(2)3mx-6mx2(3mx)
(3)4a2+10ah(2a)
(4)x2y+xy2(xy)
(5)12xyz-9x2y2(3xy)
例3把8a3b2-12ab3c分解因式.
分析:
分两步:
第一步,找出公因式;第二步,提公因式.
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2.
解:
8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).
说明:
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取.
(2)开始讲提公因式法时,最好把公因式单独写出.①以显提醒;③强调提公因式;③强调因式分解.
例4把3x2-6xy+x分解因式.
分析:
先引导学生找出公因式x,强调多项式中x=x·1.
解:
3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
=x(3x-6y+1).
说明:
当多项式的某一项恰好是公因式时,这项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是1,1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,这类题常常有些学生犯下面的错误,3x2-6xy+x=x(3x-6y),这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因.还应提醒学生注意:
提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样,这样可以检查是否漏项.
课堂练习:
(投影)
把下列各式分解因式:
(l)2πR+2πr;
(2)
(3)3x3+6x2;
(4)21a2+7a;
(5)15a2+25ab2;
(6)x2y+xy2-xy.
例5把-4m3+16m2-26m分解因式.
分析:
此多项式第一项的系数是负数,与前面两例不同,应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了,所以应先提负号转化,然后再提公因式,提”-”号时,注意添括号法则.
解:
-4m3+16m2-26m
=-(4m3-16m2+26m)
=-2m(2m2-8m+13).
说明:
通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时,应先观察第一项系数的正负,负号时,运用添括号法则提出负号,此时一定要把每一项都变号;然后再提公因式.
课堂练习:
(投影)
把下列各式分解因式:
(1)-15ax-20a;
(2)-25x8+125x16;
(3)-a3b2+a2b3;
(4)-x3y3-x2y2-xy;
(5)-3ma3+6ma2-12ma;
(6)
(三)小结
1.因式分解的意义及其概念.
2.因式分解与整式乘法的联系与区别.
3.公因式及提公因式法.
4.提公因式法因式分解中应注意的问题.
六、作业
教材P.10中1、2、3、4.
七、板书设计
教学目标
1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质及初步应用.
2.通过对问题的探索及进一步变式,培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力.
教学重点与难点
重点是三角形中位线的性质定理.
难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用.
教学过程设计
一、联想,提出问题.
1.(投影)复习平行线等分线段定理及两个推论(图4-89).
(1)请同学叙述定理及推论的内容.
(2)用数学表态式叙述图4-89(c)中的结论.
已知在ΔABC中,D为AB中点,DE∥BC,则AE=EC.
2.逆向思维,探索新结论.
引导学生思考:
在图4-90中,反过来,若D,E分别为AB,AC中点,DE与BC有什么位置和数量关系呢?
启发学生逆向类比猜想:
DE∥BC(逆向联想),DE=BC(因为AD=AB,AE=AC,类比联想ΔADE的第三边DE与ΔABC的第三边也存在相同的倍数关系).
由此引出课题.
二、证明猜想,形成定理
1.定义三角形的中位线,强调它与三角形的中线的区别.
2.证明上述猜想成立,教师重点分析辅助线的作法的思考过程.
教师提示学生:
所证结论即有平行又有数量关系,联想已有知识,可添加辅助线构造平行四边形,利用对平行且相等证明结论成立,或者用书上的同一法.教师引导学生发散思维后,还要注意比较,选择最简捷的证明方法.
3.板书一种证明过程.
4.将“猜想改成定理,引导学生用文字叙述出三角形中位线定理的具体内容.
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.
5.分析定理成立的条件、结论及作用.
条件:
连结两边中点得到中位线.
结论有两个,即位置关系和数量关系,根据题目需要选用.
作用:
在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系.
三、应用举例、变式练习
(投影)例1(直线给出图4-90的问题)根据图4-91中的条件,回答问题.
(1) 已知:
如图4-91(a),D,E分别为AB和AC的中点DE=5.BC;
(2) 如图4-91(b),D,E,F分别为AB,AC,BC中点,AC=8,∠C=70°,求DF和∠EDF;
(3) 如图4-91(c),①它包含几个图4-90这样的基本图形?
②哪些三角形全等?
③有几个平行四边形?
④若ΔDEF周长为10cm,求ΔABC的周长.⑤若ΔABC的面积等于20cm2,求ΔDEF的面积.⑥AF与DE有何关系?
怎样用语言叙述这结论?
分析:
(1) 可利用复合投影片实现三个图的叠加过程,以提高课堂效益并帮助学生建立分解基本图形的思想.
(2) 通过此题总结:
三角形三和中位线围成的三角形的周长等于原三角形周长的一半,面积等于原三角形面积的14.这个过程可以无限进行下去,如图4-92.
(3) 从解题过程可以得到:
三角形的一条中位线(DE)与第三边上的中线(AF)互相平分.
(板书)例2 (包含图4-90的问题)如图4-93,AD是ΔABC的高,M,N和E分别为AB,AC,BC的中点.求证:
(1)四边形MNDE为等腰梯形;
(2)∠MEN=∠MDN.
分析:
(1) 由条件分析,图中可分解出“AD是ΔABC的高”,“三角形的中位线是MN,ME,NE”,“直角三角形斜边上中线MD,ND”.想一想,这些基本图形都有什么性质?
(2) 从结论出发,要证四边形MEDN是等腰梯形,只需证MN∥DE,且MN≠DE及以下三种情况之一成立:
①ME=ND;②MD=EN;③∠EMN=∠DNM.从而证得结论成立.
让学生口述,教师板书证明过程.
例3 构造图4-90问题.
(1) 求证:
顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形;
(2)若已知四边形为特殊四边形呢?
已知:
在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,如图4-94.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
分析:
(1)已知四条线段的中点,可设法应用三角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连结AC或BD,构造“三角形的中位线”的基本图形.
(2)让学生画图观察并思考此题的特殊情况,如图4-95,顺次连结各种特殊四边形中点得到什么图形?
投影显示:
四、师生共同小结
1.教师提问引起学生思考:
(1)这节课学习了哪些具体内容:
(2)用什么思维方法提出猜想的?
(3)应注意哪些概念之间的区别?
2.在学生回答的基础上,教师投影显示以下与三角形一边中点及线段倍分关系有关的基
本图形(如图4-96).
(1)注意三角形中线与中位线的区别,图4-96(a),(b).
(2)三角线的中位线的判定方法有两种:
定义及判定定理,图4-96(b),(。
).
(3)证明线段倍分关系的方法常有三种,图4-96(b),(d),().
3.先猜想后证明的研究问题方法;逆向思维,探究逆命题是否成立,由此经常得到一些好
的结论;添辅助线构造基本图形来使用性质的解题方法.
4.三角形的中位线有这样的性质,那么梯形有中位线吗?
它有类似的性质吗?
(为下节
课作思维上的准备)
五、作业
课本第180页第4题,第184页第5,7,8题,第185页B组第1题.
补充题:
(构造三角形的中位线)
1.如图4-97,AD是上ABC的外角平分线,CD上AD于D.E是BC的中点.求证:
(1)DE∥/AB:
(2)DE=(AB+AC).
(提示:
延长CD交BA延长线于F.)
2.如图4-98,正方形ABCD对角线交于点O,E是BO中点,连结”并延长交BC于F.求证:
BF=CF.(提示:
作OG∥EF交于BC于G.)
3.如图4-99,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点,延长BA和CD分别交FE的延长线于G,H点.求证:
∠BGF=∠CHF.(提示:
连结AC,取AC中声、M,连结EM,FM.)
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成.
1.本节课的设计,力求让学生通过逆向思维及类比联想自己实践“分析——猜想——证
明”的过程.变被动接受知识为主动应用已有知识,探索新知识,获得成功的喜悦.
2.在应用性质定理时,通过一组层次递进的变式题的训练,由直接给出定理的基本图形
到包含基本图形,学生分解图形后使用性质,再到通过添加辅助线构造基本图形来使用性质,
学生逐步学会运用性质来解决问题,他们的解题能力、思考问题的方法得到逐步提高.
教学目标
1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质及初步应用.
2.通过对问题的探索及进一步变式,培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力.
教学重点与难点
重点是三角形中位线的性质定理.
难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用.
教学过程设计
一、联想,提出问题.
1.(投影)复习平行线等分线段定理及两个推论(图4-89).
(1)请同学叙述定理及推论的内容.
(2)用数学表态式叙述图4-89(c)中的结论.
已知在ΔABC中,D为AB中点,DE∥BC,则AE=EC.
2.逆向思维,探索新结论.
引导学生思考:
在图4-90中,反过来,若D,E分别为AB,AC中点,DE与BC有什么位置和数量关系呢?
启发学生逆向类比猜想:
DE∥BC(逆向联想),DE=BC(因为AD=AB,AE=AC,类比联想ΔADE的第三边DE与ΔABC的第三边也存在相同的倍数关系).
由此引出课题.
二、证明猜想,形成定理
1.定义三角形的中位线,强调它与三角形的中线的区别.
2.证明上述猜想成立,教师重点分析辅助线的作法的思考过程.
教师提示学生:
所证结论即有平行又有数量关系,联想已有知识,可添加辅助线构造平行四边形,利用对平行且相等证明结论成立,或者用书上的同一法.教师引导学生发散思维后,还要注意比较,选择最简捷的证明方法.
3.板书一种证明过程.
4.将“猜想改成定理,引导学生用文字叙述出三角形中位线定理的具体内容.
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.
5.分析定理成立的条件、结论及作用.
条件:
连结两边中点得到中位线.
结论有两个,即位置关系和数量关系,根据题目需要选用.
作用:
在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系.
三、应用举例、变式练习
(投影)例1(直线给出图4-90的问题)根据图4-91中的条件,回答问题.
(1) 已知:
如图4-91(a),D,E分别为AB和AC的中点DE=5.BC;
(2) 如图4-91(b),D,E,F分别为AB,AC,BC中点,AC=8,∠C=70°,求DF和∠EDF;
(3) 如图4-91(c),①它包含几个图4-90这样的基本图形?
②哪些三角形全等?
③有几个平行四边形?
④若ΔDEF周长为10cm,求ΔABC的周长.⑤若ΔABC的面积等于20cm2,求ΔDEF的面积.⑥AF与DE有何关系?
怎样用语言叙述这结论?
分析:
(1) 可利用复合投影片实现三个图的叠加过程,以提高课堂效益并帮助学生建立分解基本图形的思想.
(2) 通过此题总结:
三角形三和中位线围成的三角形的周长等于原三角形周长的一半,面积等于原三角形面积的14.这个过程可以无限进行下去,如图4-92.
(3) 从解题过程可以得到:
三角形的一条中位线(DE)与第三边上的中线(AF)互相平分.
(板书)例2 (包含图4-90的问题)如图4-93,AD是ΔABC的高,M,N和E分别为AB,AC,BC的中点.求证:
(1)四边形MNDE为等腰梯形;
(2)∠MEN=∠MDN.
分析:
(1) 由条件分析,图中可分解出“AD是ΔABC的高”,“三角形的中位线是MN,ME,NE”,“直角三角形斜边上中线MD,ND”.想一想,这些基本图形都有什么性质?
(2) 从结论出发,要证四边形MEDN是等腰梯形,只需证MN∥DE,且MN≠DE及以下三种情况之一成立:
①ME=ND;②MD=EN;③∠EMN=∠DNM.从而证得结论成立.
让学生口述,教师板书证明过程.
例3 构造图4-90问题.
(1) 求证:
顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形;
(2)若已知四边形为特殊四边形呢?
已知:
在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,如图4-94.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
分析:
(1)已知四条线段的中点,可设法应用三角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连结AC或BD,构造“三角形的中位线”的基本图形.
(2)让学生画图观察并思考此题的特殊情况,如图4-95,顺次连结各种特殊四边形中点得到什么图形?
投影显示:
四、师生共同小结
1.教师提问引起学生思考:
(1)这节课学习了哪些具体内容:
(2)用什么思维方法提出猜想的?
(3)应注意哪些概念之间的区别?
2.在学生回答的基础上,教师投影显示以下与三角形一边中点及线段倍分关系有关的基
本图形(如图4-96).
(1)注意三角形中线与中位线的区别,图4-96(a),(b).
(2)三角线的中位线的判定方法有两种:
定义及判定定理,图4-96(b),(。
).
(3)证明线段倍分关系的方法常有三种,图4-96(b),(d),().
3.先猜想后证明的研究问题方法;逆向思维,探究逆命题是否成立,由此经常得到一些好
的结论;添辅助线构造基本图形来使用性质的解题方法.
4.三角形的中位线有这样的性质,那么梯形有中位线吗?
它有类似的性质吗?
(为下节
课作思维上的准备)
五、作业
课本第180页第4题,第184页第5,7,8题,第185页B组第1题.
补充题:
(构造三角形的中位线)
1.如图4-97,AD是上ABC的外角平分线,CD上AD于D.E是BC的中点.求证:
(1)DE∥/AB:
(2)DE=(AB+AC).
(提示:
延长CD交BA延长线于F.)
2.如图4-98,正方形ABCD对角线交于点O,E是BO中点,连结”并延长交BC于F.求证:
BF=CF.(提示:
作OG∥EF交于BC于G.)
3.如图4-99,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点,延长BA和CD分别交FE的延长线于G,H点.求证:
∠BGF=∠CHF.(提示:
连结AC,取AC中声、M,连结EM,FM.)
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成.
1.本节课的设计,力求让学生通过逆向思维及类比联想自己实践“分析——猜想——证
明”的过程.变被动接受知识为主动应用已有知识,探索新知识,获得成功的喜悦.
2.在应用性质定理时,通过一组层次递进的变式题的训练,由直接给出定理的基本图形
到包含基本图形,学生分解图形后使用性质,再到通过添加辅助线构造基本图形来使用性质,
学生逐步学会运用性质来解决问题,他们的解题能力、思考问题的方法得到逐步提高.
教学建议
知识结构
重难点分析
本节的重点是矩形的性质和判定定理。
矩形是在平行四边形的前提下定义的,首先她是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一个角是直角”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
矩形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续,又是以后要学习的正方形的基础。
本节的难点是矩形性质的灵活应用。
由于矩形是特殊的平行四边形,所以它不但具有平行四边形的性质,同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边
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