小学奥数六年级《判断题的解答》经典专题点拨教案.docx
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小学奥数六年级《判断题的解答》经典专题点拨教案
2019-2020年小学奥数六年级《判断题的解答》经典专题点拨教案
【用筛去(消倍)法判断】一个数能否被3整除,本来是不太难的问题。
但当一个数比较大时,用各数位上的数相加,速度很慢,而且容易出现口算错误。
若用“筛去(消倍)法”来判断,情况就大不一样了。
例如
(1)判断76935能否被3整除。
先直接筛去能被3整除的6、9、3,剩下的7与5,和为3的倍数,所以3|76935(3能整除76935,或76935能被3整除)。
(2)判断3165493能否被3整除。
先直接筛去3的倍数3、6、9、
能整除3165493,或3165493不能被3整除。
)
【能否被7整除】一个数能否被7整除,只要把这个数的末位数字截去,再从余下的数中,减去这个末位数字的2倍,如果这时能看出所得的差能被7整除,则原来的数就能被7整除,否则就不能被7整除;若是仍看不出来,就要继续上述过程,直到能清楚作出判断为止。
例如,判断133能否被7整除:
因为差数7能被7整除,所以7|133。
这是什么原因呢?
请看下面的算式:
133×2=(13×10+3)×2
=13×20+3×2
=13×(21-1)+3×2
=13×21-13+3×2
=13×7×3-(13-3×2)
显然,13×7×3中有约数7,它能被7整除,故只要检验后面的(13-3×2)能否被7整除就可以了。
(原理可见第一部分的整除性定理)
如果要判断的数的位数很多,那么,将这种做法一直进行下去就是。
例如,判断62433能否被7整除:
∵7|42,∴7|62433
这样的判定方法可称作“割尾法”。
一个数能否被11、13、17和19整除,也可用割尾法去判断。
【能否被11整除】判断一个数能否被11整除,可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求和法。
(1)割尾法。
一个数能否被11整除,只要把它的末尾数字截去,从余下的数里减去这个末位数,看所得的差能否被11整除。
差能整除的,原来的数就能整除;差不能整除的,原来的数就不能整除。
如一次所得的差还看不出能否被11整除,就继续上述过程,直到能作出判断为止。
例如,判断2629能否被11整除:
因为11|22,所以11|2629。
之所以能这么判断,原因在于
2629=2620+9
=262×10+9
=262×(11-1)+9
=262×11-262+9
=262×11-(262-9)
在262×11中有因数11,所以只要看(262-9)的差能否被11整除,就可判断原来的2629能否被11整除。
而(262-9)的差是253,
253=250+3
=25×10+3
=25×(11-1)+3
=25×11-25+3
=25×11-(25-3)
同样,只要看(25-3)能否被11整除,就会知道253能否被11整除。
进而便可知2629能否被11整除了。
(2)奇偶位差法。
判断一个数能否被11整除,可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位数字之和,再求这两个和的差数,若这个差能被11整除,则原来的那个数就能被11整除;否则,原来的数就不能被11整除。
例如,判断823724能否被11整除:
∵它的奇位数字之和为4+7+2=13(数位数,从右边个位开始往左数),
它的偶位数字的和为2+3+8=13
两个和的差数是13-13=0(两数不等时用大数减小数)
而11|0
∴11|823724
之所以能这样判断,是因为
823,724
=8×100,000+2×10,000+3×1,000+7×100+2×10+4
=8×(100,001-1)+2×(9,999+1)+3×(1,001-1)+7×(99+1)+2×(11-1)+4
=8×100,001+2×9,999+3×1,001+7×99+2×11+[(2+7+4)-(8+3+2)]
显然,在前几项中,因数100,001、9,999、1,001、99、11都是11的倍数,故只需检验[(2+7+4)-(8+3+2)]
能否被11整除,就可以作出判断了。
(3)分节求和法。
把一个自然数从右向左每两位截为一节,然后把这些节加起来。
若所得的和能被11整除,那么这个数就能被11整除;否则,这个数就不能被11整除。
在这一情况下,如果仍不能作出判断,那就继续上述过程,直到清楚地作出判断为止。
例如,判断762421能否被11整除:
这一判断方法的理由,可见下面的算式:
762421=76×10000+24×100+21
=76×(9999+1)+24×(99+1)+21
=76×9999+76+24×99+24+21
=76×9999+24×99+(76+24+21)
在前两项中,因数9999和9都能被11整除,所以只需要检验后面的(76+24+21)能否被11整除了。
能整除的原数就能被11整除;不能整除的原数,就不能被11整除。
【能否被13整除】一个数能否被13整除,可采用“割尾法”判断:
截去末位数字,余下的数加上末位数的4倍。
所得的和是13的倍数,则这个数就能被13整除,否则,就不能被13整除。
要是割尾一次仍不能作出判断,那就继续割尾,直到能作出判断为止。
例如,判断364能否被13整除:
∵13|52,∴13|364。
这一判断的理由,可由下式看出:
364×4=(36×10+4)×4
=36×40+4×4
=36×(39+1)+4×4
=36×39+36+4×4
=36×13×3+(36+4×4)
前面的36×13×3中,有约数13,所以作出判断时,只需要检验(36+4×4)是否能被13整除了。
【能否被17整除】一个数能否被17整除,同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。
不过,具体地做法有所不同。
例如,判断731能否被17整除,判断方法如下:
∵17|68,∴17|731。
这样做的理由,可见下面的算式推导:
731×5=(73×10+1)×5
=73×50+1×5
=73×(51-1)+1×5
=73×51-73+1×5
=73×17×3-(73-1×5)
由于前面的73×17×3有约数17,故只需检验(73-1×5)能否被17整除,就知道“731×5”能否被17整除。
知道“731×5”能否被17整除,也就是知道731能否被17整除了(根据整除性定理)。
若是“割尾”一次仍不能作出判断,那就依法继续割尾下去,直到能作出判断为止。
例如,判断279191能否被17整除,可以作如下割尾判断:
∵17|17,∴17|279191
【能否被19整除】一个数能否被19整除,也是可用“割尾法”作巧妙判断的,具体做法如
判断475能否被19整除:
∵19|57,∴19|475。
其中的道理,可见下面的算式推导:
475×2=(47×10+5)×2
=47×20+5×2
=47×(19+1)+5×2
=47×19+(47+5×2)
最后算式中的47×19有约数19,故只需要检验(47+5×2)能否被19整除,就知道“475×2”及“475”能否被19整除了。
如果一次“割尾”仍不能作出判断,那就继续“割尾”下去,直至能作出判断为止。
例如,判断14785能否被19整除:
附送:
2019-2020年小学奥数六年级《四则计算》经典专题点拨教案
【基本题】
例1计算7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7
(1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
本题的两个除数和乘数依次是3.7,2.7,1.7,0.7。
从数字上分析,不能运用简便运算。
所以,只能从左至右依次计算。
结果是850.85。
(1990年江西省“八一杯”小学数学竞赛试题)
成假分数之后,分子都含有22的约数,于是可采用分配律计算。
(1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
两个分数的分母都是3,所以,可把小数化成分数计算。
【巧算题】
(全国第三届“华杯赛”初赛试题)
讲析:
括号中的三个数如果直接通分,则比较繁琐。
经观察,可将三个分母分解质因数,求出公分母;在求公分母的过程中,不必急于求出具体的数,而可边算边约分,能使计算简便一些。
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:
当把两个带分数化成假分数时,分子都是65。
于是,第一个括号中可提出一个65,第二个括号中可提出一个5,能使计算变得比较简便。
例3计算:
(全国第四届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
经观察发现,可将整数部分与分数部分分开计算。
这时,每个带分数的分数部分,都可以拆分成两个单位分数之差,然后互相抵消。
计算就很简便了
例4计算:
(1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题)
除以两数之积,就等于分别除以这两个数。
然后可将它们重新组合计算为
法分配律计算。
于是可将10.375分开,然后重新组合。
(1990年小学数学奥林匹克初赛试题)
用字母代替去计算。
(长沙市小学数学奥林匹克集训队选拔赛试题)
26.3乘以2.5。
这样计算,可较为简便。
原式=2.5×24.7+29×2.5+26.3×2.5
=2.5×(24.7+29+26.3)=200。
例8已知11×13×17×19=46189
计算:
3.8×8.5×11×39
(广州市小学数学竞赛试题)
讲析:
根据已知条件来计算另一个算式的结果,应尽量将计算式化成与已知条件式相同或相似的式子。
所以,可计算为:
原式=(2×1.9)×8.5×11×(13×3)=0.3×(11×13×17×19)
=0.3×46189=13856.7
例9计算1+2-3-4+5+6-7-8+……+1990。
(福建省首届“小火炬杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
观察发现,形于“2-3-4+5”的结果为0,于是可分组计算为
原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+……+(1986-1987-1988+1989)+1990
=1+1990
=1991
例10计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+……+0.99
(北京市1988年小学数学奥林匹克邀请赛试题)
讲析:
可分组进行计算。
注意到每相邻两数的差,可计算为
原式=(0.1+0.3+……+0.9)+(0.11+0.13+0.15+……+0.99)
=27.25
(1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
将前面几个括号中的结果计算出来以后,会发现分组计算较好,故算式可以是:
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- 判断题的解答 小学 六年级 判断 解答 经典 专题 点拨 教案