三角函数图像与性质知识点总结和经典题型.docx
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三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
函数图像与性质知识点总结和经典题型
1.正弦函数、xx函数、正切函数的图像
2.三角函数的单调区间:
求三角函数的单调区间:
一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
的递增区间是,递减区间是;
的递增区间是,递减区间是,
的递增区间是,
3.对称轴与对称中心:
的对称轴为,对称中心为;
的对称轴为,对称中心为;
无对称轴,对称中心为;
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
4.函数
最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初
相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
y=Asin(ωx+φ)+B的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:
①A的确定:
根据图象的最高点和最低点,即A=;
②B的确定:
根据图象的最高点和最低点,即B=;
③ω的确定:
结合图象,先求出周期,然后由T=(ω>0)来确定ω;
④φ的确定:
把图像上的点的坐标带入解析式y=Asin(ωx+φ)+B,然后根据φ的范围确定φ即可,例如由函数y=Asin(ωx+φ)+K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-(即令ωx+φ=0,x=-)确定φ.
5.三角函数的伸缩变化
先平移后伸缩
的图象
得的图象
得的图象
得的图象
得的图象.
先伸缩后平移
的图象
得的图象
得的图象
得的图象得的图象.
6.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:
给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
7.求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,
y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
8.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:
五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。
9.求三角函数值域(最值)的方法:
(1)利用sinx、cosx的有界性;
由于正xx函数的值域都是[-1,1],因此对于∀x∈R,xx有-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1,.
(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;
(3)换元法:
把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:
y=sin2x-4sinx+5,令t=sinx(|t|≤1).
三角函数的图象及常用性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
单调性
在[-
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上单调递增;在[
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在(-
+kπ,
+kπ)(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z);对称轴:
x=
+kπ(k∈Z)
对称中心:
(
+kπ,0)(k∈Z);对称轴:
x=kπ(k∈Z)
对称中心:
(
,0)(k∈Z)
四.典例解析
题型1:
三角函数的图象
例1.(全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是()
解析:
因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。
答案为D。
题型2:
三角函数图象的变换
(xx)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位xx,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
(A)(B)
(C)(D)
解析:
将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位xx,所得函数图象的解
析式为y=sin(x-)再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是.
题型3:
三角函数图象的应用
例1:
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.求f(x)的解析式;
解:
由图可知A=2,=,则=4×∴ω=.
又f(-)=2sin[×(-)+φ]=2sin(-+φ)=0∴sin(φ-)=0
∵0<φ<,∴-<φ-<∴φ-=0,即φ=∴f(x)=2sin(x+).
例2.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________.
解析:
由图可知,=2π-π,
∴T=π,∴=π,∴ω=,
∴y=sin(x+φ).
又∵sin(×π+φ)=-1,
∴sin(π+φ)=-1,
∴π+φ=π+2kπ,k∈Z.
∵-π≤φ<π,∴φ=π.答案:
π
例3.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则φ=________.
解析:
由图象知T=2(-)=π.
∴ω==2,把点(,1)代入,可得2×+φ=,φ=.
例4.(xx卷改编)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f()=-,则f(0)=________.
解析:
=π-π=,∴ω==3.
又(π,0)是函数的一个上升段的零点,
∴3×π+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=-+2kπ,k∈Z,
代入f()=-,得A=,∴f(0)=.
解:
由函数图象可知
解1:
以点N为第一个零点,则
解2:
以点为第一个零点,则
解析式为将点M的坐标代入得
小结:
题型4:
三角函数的定义域、值域
已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
解:
(1)∵
∴函数的最小正周期为.
(2)由,∴,
∴在区间上的最大值为1,最小值为.
题型5:
三角函数的单调性
例.求下列函数的单调区间:
y+1
解:
因为函数的单调递增区间为,
故
故函数的单调递增区间为
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- 三角函数 图像 性质 知识点 总结 经典 题型