机械工程控制基础课件第5章.ppt
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第五章系统的稳定性,系统能在实际中应用的必要条件是系统要稳定。
本章主要介绍几种线性定常系统的稳定性判据及其使用,以及提高系统稳定性的方法。
Routh稳定判据Nyquist稳定判据Bode判据,1,1.系统不稳定现象的发生,2,5.1系统稳定性的初步概念,惯性作用:
引起振荡系统自由振荡输出的三种情况:
3,结论:
线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数,与输入无关。
系统发生不稳定现象必有反馈作用。
稳定性是指自由响应的收敛性。
4,2.稳定的定义和条件,定义:
系统在初态的影响下,所引起的系统的时间响应随时间的推移逐渐衰减并趋于零(即回到平衡位置),则称该系统为稳定的;反之,系统在初态的影响下,所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散(即偏离平衡位置越来越远),则称该系统为不稳定的。
线性定常系统:
si:
系统的特征根,5,线性定常系统的稳定性条件,当系统所有的特征根si(i=1,2,n)均具有负实部(位于s复平面的左半平面),若有任一sk具有正实部(位于s复平面的右半平面),6,若有特征根sk=j(位于s复平面的虚轴上),其余极点位于s复平面的左半平面,若有特征根sk=0(位于s复平面的原点),其余极点位于s复平面的左半平面,简谐运动,7,线性定常系统稳定的充要条件:
系统的全部特征根(传递函数的全部极点)都具有负实部,则系统稳定。
反之,若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部,则系统必不稳定。
8,结论:
线性定常系统是否稳定完全取决于系统的特征根。
如何判别稳定性?
求出闭环极点?
高阶难求不必要,思路:
特征方程根的分布(避免求解)开环传递函数闭环系统的稳定性(开环极点易知,闭环极点难求),9,5.2Routh(劳斯)稳定判据,代数判据(依据根与系数的关系判断根的分布),10,1877年由E.J.Routh提出。
Routh判据是基于方程式根和系数的关系建立的,通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算,得出全部根具有负实部的条件,从而判断系统的稳定性。
11,系统稳定的必要条件,设系统特征方程为:
s1,s2,sn:
特征根,各项同除以an并分解因式,得,上式右边多项式展开,12,一般取an为正值,系统稳定的必要条件为:
an0,an-10,a10,a00,比较系数,得出根与系数的关系:
从上式可知,要使全部特征根s1,s2,sn均具有负实部,必须满足两个条件,即系统稳定的必要条件:
(1)特征方程的各项系数都不等于零。
(2)特征方程的各项系数的符号都相同。
归结为一个条件:
各系数同号且不为零,系统稳定的充要条件,13,将特征方程的系数排列成Routh表,Routh表:
(1)Routh表,14,一直进行到其余的Ai值全部等于0为止。
一直进行到其余的Bi值全部等于0为止。
一直进行到第n行(s1行)为止。
第n+1行等于a0,15,
(2)Routh稳定判据Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。
因此,系统稳定的充要条件是:
Routh表中第一列各元符号均为正,且值不为零。
第一列各元符号改变次数为2,因此1.系统不稳定2.系统有两个具有正实部的特征根,16,Routh表:
二阶系统(n=2)稳定的充要条件:
a20,a10,a00三阶系统(n=3)稳定的充要条件:
a30,a20,a10,a00,a1a2a0a30,阶次较低的系统,Routh稳定判据可以简化为:
17,【例2】已知=0.2,n=86.6,K取何值时,系统能稳定?
系统开环传递函数:
系统闭环传递函数:
18,19,特征方程:
Routh表:
已知=0.2,n=86.6,20,由系统稳定的充要条件,有7500K0,亦即K0显然,这就是由必要条件所得的结果。
(2),亦即K34.6故能使系统稳定的参数K的取值范围为0K34.6,21,解:
根据特征方程的各项系数,列出Routh表,根据Routh表,由系统稳定的充要条件,有:
(1)+10,即-1;
(2)(+)0,即0,-;(3)-10,即1。
所以,使系统稳定的、的取值范围为0,1,22,3.Routh判据的特殊情况,1.如果Routh表中任意一行的第一个元为零,其后各元均不为0或部分地不为0,则在计算下一行第一元时,该元必将趋于无穷大,于是,Routh表的计算将无法进行。
解决方法:
用正无穷小量代替第一列等于0的元,然后计算Routh表的其余各元。
23,【例4】系统特征方程S3-3s+2=0,判别系统的稳定性。
第一列各元符号改变次数为2,因此1.系统不稳定2.系统有两个具有正实部的特征根,解:
根据特征方程的各项系数,列出Routh表,改变符号一次,改变符号一次,24,2.如果Routh表中任意一行的所有元均为零,Routh表的计算将无法进行。
解决方法:
由零行的上一行的元构成辅助方程,对其求导得零行系数。
继续计算Routh表的其余各元。
劳斯表出现零行系统一定不稳定,25,【例5】系统特征方程D(s)=s5+2s4+24S3+48s2-25s-50=0试用Routh表判别系统的稳定性。
解:
根据特征方程的系数,列出Routh表,由第二行各元求得辅助方程F(s)=2s4+48s2-50=0取F(s)对s的导数,得新方程8s3+96s=0S3行中的各元可用此方程中的系数代替,继续进行运算,最后得到Routh表。
26,第一列各元符号改变次数为1,因此1.系统不稳定2.系统有1个具有正实部的特征根,改变符号一次,27,5.3Nyquist稳定判据,几何判据(利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性),由H.Nyquist于1932年提出,1940年以后得到广泛应用。
Nyquist稳定判据不需要求闭环系统的特征根,而是提供了一种从开环传递函数G(j)H(j)的频率特性曲线(Nyquist图)来判定闭环系统稳定性的图解方法。
由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得,因此,应用奈氏判据分析系统的稳定性即方便又实用。
奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。
1、开、闭环零极点与F(s),令F(s)=1G(s)H(s)=1+Gk(s),28,如图所示闭环系统,设其开环传递函数为,系统的闭环传递函数为,特征方程为1G(s)H(s)=0,29,F(s)的零点s1,s2,sn即为系统闭环传递函数GB(s)的极点,亦即系统特征方程的根。
F(s)的极点p1,p2,pn即为开环传递函数Gk(s)的极点。
30,设有复变函数:
Nyquist稳定判据的数学基础:
幅角原理,2.幅角原理(又称映射原理),式中,s为复变量,以s复平面上的s=+j表示,复变函数F(s)以F(s)复平面上的F(s)=u+j表示。
设F(s)在s平面上除有限个奇点外为单值的连续正则函数,即在S平面上除奇点外处处解析。
那么,对于S平面上的每个解析点,在平面上必有一点(称为映射点)与之对应。
31,例如,当系统的开环传递函数为则除奇点和外,在S平面上任取一点,如,,32,如图所示,在F(s)平面上有点与S平面上的点对应。
就叫做在F(s)平面上的映射点。
33,若在s平面上任意选定一封闭曲线,只要此曲线不经过F(s)的奇点,则在F(s)平面上必有一对应的映射曲线LF,也是一封闭曲线。
Ls:
s平面上一封闭曲线(不经过F(s)的奇点),34,幅角原理:
按顺时针方向沿Ls移动一圈时,F(s)将绕原点顺时针旋转N圈,即曲线LF顺时针包围原点N次。
令:
Z:
包围于Ls内的F(s)的零点数P:
包围于Ls内的F(s)的极点数则N=Z-P封闭曲线Ls和LF的形状是无关紧要的,它不影响上述结论。
关于幅角原理的数学证明请参考有关书籍,这里仅从几何图形上说明。
35,图S平面到F(s)平面的映射,设S平面上有三个极点P1、P2、P3和三个零点Z1、Z2、Z3。
被Ls曲线包围的零点有Z1、Z2两个,即Z=2,包围的极点只有P2,即P=1,得N=Z-P=2-1=1说明Ls映射到F(s)平面上的封闭曲线LF顺时针绕F(s)平面原点一周。
36,零、极点在S平面上的分布如图所示,在S平面上作一封闭曲线Ls,Ls不通过零、极点,在封闭曲线Ls上任取一点S1,S1在F(s)平面上的映射F(s1)对应的幅角为,设,从几何图形上说明幅角原理,37,当解析点S1沿封闭曲线Ls按顺时针方向旋转一周后再回到s1点,所有位于封闭曲线Ls外的零、极点指向s1的向量转过的角度都为0,而位于封闭曲线Ls内的零、极点指向s1的向量都按顺时针方向转过2(一周3600)。
38,对图(a),Z=1,P=0,N=Z-P=1,绕平面原点顺时针旋转一周(3600);,39,对图(b),Z=0,P=1,N=Z-P=-1,绕平面原点逆时针旋转一周;,40,对图(c),Z=1,P=1,N=0,不包围平面原点。
41,则向量F(s)的相位(幅角)为,若,将上述分析推广到一般情况,由此得到幅角原理表达式N=Z-P,42,s平面上Nyquist轨迹的选取,为研究F(s)有无零点(闭环极点)位于S平面的右半平面,选择一条包围整个S右半平面的封闭曲线Ls。
Ls由两部分组成,其中L1为=0j到0+j的整个虚轴L2为右半平面上以原点为圆心,半径为无穷大的半圆弧,这一封闭曲线即为s平面上的Nyquist轨迹。
当由变到+时,轨迹方向为顺时针方向。
43,奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z,就是F(s)=1+G(s)H(s)位于S右半平面的极点数和零点数。
当s沿Nyquist轨迹移动一圈时,在F(s)平面上的映射曲线将顺时针包围原点N=Z-P圈。
44,F(s)与GH平面上的Nyquist轨迹,可见,GH平面(G(s)H(s)平面的简写)是将F平面的虚轴右移一个单位所构成的平面。
F平面上的坐标原点,就是GH平面上的点(-1,j0),F(s)的映射曲线LF包围原点的圈数就等于G(s)H(s)的映射曲线LGH包围点(-1,j0)的圈数。
45,闭环系统稳定的充要条件:
由于闭环系统稳定的充要条件是F(s)在s平面的右半平面无零点,即Z=0。
如果G(s)H(s)的奈氏轨迹逆时针包围点(-1,j0)的圈数N等于开环传递函数G(s)H(s)在S右半平面的极点数P时,有N=-P,由N=Z-P知Z=N+P=0,故闭环系统稳定。
对于开环稳定的系统,有P=0,此时闭环系统稳定的充要条件是,G(s)H(s)的奈氏轨迹不包围点(-1,j0)。
46,对开环系统,故有,Nyquist稳定判据,47,当由变到+时,若GH平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围点(1,j0)P圈,则闭环系统稳定。
P为G(s)H(s)在s平面的右半平面的极点数。
对于开环稳定的系统,有P=0,此时闭环系统稳定的充要条件是,系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围点(-1,j0)。
48,判断闭环系统稳定性的步骤:
确定P作G(j)H(j)的Nyquist图运用Nyquist判据,【例1】图为P=0的系统的开环Nyquist图。
确定系统稳定性。
49,Nyquist轨迹不包围点(-1,j0),故相应的闭环系统稳定。
Nyquist轨迹包围点(-1,j0),故相应的闭环系统不稳定。
此即开环稳定而闭环不稳定。
因为P=0,故开环系统稳定。
【例2】图示为某系统的开环Nyquist图,其开环传递函数为T1,T2,T3为正数,确定系统稳定性。
开环不稳定,闭环稳定,因G(s)H(s)在s右半平面有一个极点,为s=1/T2,所以P=1,开环不稳定。
当由-变到+时,由于开环Nyquist轨迹逆时针包围点(-1,j0)一圈,所以,闭环系统稳定。
50,开环含有积分环节时的Nyquist轨迹,51,当系统中串联有积分环节时,开环传递函数Gk(s)有位于s平面坐标原点处的极点。
Nyquist轨迹的修正,由于绕过原点的圆弧半径为无穷小,因此,认为Ls曲线仍然包围了整个s平面的右半平面。
由于在应用幅角原理时,Ls不能通过F(s)函数的任何极点,应用Nyquist判据时,Ls应以无穷小为半径的圆弧,逆时针绕过原点。
当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时,有,映射到GH平面上的Nyquist轨迹为,52,其中v为系统中串联积分环节的个数。
设开环传递函数为,这时,GH平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从经0转到。
53,54,【例3】图示为某随动系统的开环Nyquist图,开环传递函数为,T1,T2为正,确定系统的稳定性。
开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面无极点,即P=0。
由-0-0+时,从图可知,开环Nyquist轨迹顺时针包围点(-1,j0)两圈。
所以,闭环系统不稳定。
在s平面上,当由-+,经过原点=0时,由于G(s)H(s)的分母中含有一个积分环节,所以,映射到GH平面就是以为半径,顺时针从/2转到-/2的圆弧。
55,【例4】设系统开环传递函数为判断闭环系统的稳定性。
解:
k=1,m=1,n=4,=2,G(j)H(j)=,G(j)H(j)=180,G(j)H(j)=0,G(j)H(j)=(1-4)90=-2700,故Nyquist曲线将穿越负实轴,交点处G(j)H(j)=180即,56,当由-变到+时,开环Nyquist轨迹顺时针包围点(-1,j0)两圈,N=2,而开环为最小相位系统,P=0,所以闭环系统不稳定。
有两个极点在s右半平面。
开环Nyquist轨迹如图,由于开环有两个积分环节,所以从0-变到0+时,曲线顺时针从到-转过半径为无穷大的圆弧。
57,7.关于Nyquist判据的几点说明
(1)Nyquist判据不是在s平面而是在GH平面判别系统的稳定性。
(2)Nyquist判据的证明复杂,但应用简单。
(3)开环Nyquist轨迹关于实轴对称。
因为当-变到+时,G(-j)H(-j)与G(j)H(j)的模相同,而相位异号,即,【例5】设系统的开环传递函数为判断闭环系统的稳定性。
K、Ti为正。
开环Nyquist图不包围点(-1,j0),不论K取任何正值,系统总是稳定的。
开环为最小相位系统时,只有在三阶或三阶以上,其闭环系统才有可能不稳定。
G(s)H(s)在s右半平面无极点,所以P=0,58,解:
m=0,n=2,=0,G(j)H(j)=k,G(j)H(j)=0,G(j)H(j)=0,G(j)H(j)=(0-2)90=-1800,【例6】设系统的开环传递函数为确定闭环系统的稳定性。
59,解:
开环在s右半平面无极点,故P=0。
m=2,n=3,=0,G(j)H(j)=k,G(j)H(j)=0,G(j)H(j)=0,G(j)H(j)=(2-3)90=-900,若G(j)H(j)为曲线,包围点(1,j0),则系统不稳定。
减小K值,使G(j)H(j)减小,曲线有可能因模减小,相位不变,而不包围(1,j0),因而系统趋于稳定。
K不变,亦可增加导前环节的时间常数T4、T5使相位减小,曲线变成。
曲线不包围点(1,j0),故系统稳定。
60,【例7】设系统的开环传递函数为确定闭环系统的稳定性。
解:
开环在s右半平面无极点,故P=0。
m=0,n=2,=1,G(j)H(j)=,G(j)H(j)=-90,G(j)H(j)=0,G(j)H(j)=(0-2)90=-1800,开环Nyquist图如图,G(j)H(j)不包围点(1,j0),故系统稳定。
【例8】设系统的开环传递函数为确定闭环系统的稳定性。
61,当导前环节作用小,即当T4小时,开环Nyquist轨迹为曲线,它包围点(1,j0),闭环系统不稳定;当导前环节作用大,即当T4大时,开环Nyquist轨迹为曲线,它不包围点(1,j0),闭环系统稳定。
解:
开环在s右半平面无极点,故P=0。
m=1,n=4,=1,G(j)H(j)=,G(j)H(j)=-90,G(j)H(j)=0,G(j)H(j)=(1-4)90=-2700,几何判据(Nyquist判据的引申),62,5.4Bode稳定判据(对数判据),将开环极坐标图改画为开环对数坐标图,即Bode图,同样可以利用它来判定系统的稳定性。
这种方法称为对数频率特性判据,简称为对数判据或Bode判据。
63,Nyquist图与Bode图的对应关系,Nyquist图上原点为圆心的单位圆Bode图上的0dB线,
(2)Nyquist图上的负实轴Bode图上的180线,64,c:
幅值穿越频率(剪切频率)Nyquist轨迹与单位圆交点的频率,即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率,亦即输入与输出幅值相等时的频率。
g:
相位穿越频率Nyquist轨迹与负实轴交点的频率,亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率。
(3)两个穿越频率,穿越的概念,穿越:
开环Nyquist轨迹在点(1,j0)以左穿过负实轴(对数相频特性穿过180线)负穿越:
开环Nyquist轨迹自下而上的穿越(随的增加)(对数相频特性自上而下穿过180线)点1处为负穿越一次正穿越:
开环Nyquist轨迹自上而下的穿越(随的增加)(对数相频特性自下而上穿过180线)点2处为正穿越一次,半次穿越:
起始于180的穿越,65,正穿越一次,Nyquist轨迹逆时针包围点(1,j0)一圈负穿越一次,Nyquist轨迹顺时针包围点(1,j0)一圈,开环Nyquist轨迹逆时针包围点(1,j0)的次数=正穿越的次数负穿越的次数,66,3、Bode判据闭环系统稳定的充要条件:
在Bode图上,当由0变到时,在开环对数幅频特性为正值的频率范围内,开环对数相频特性对180线的正穿越与负穿越次数之差为P2。
P为开环传递函数在s右半平面的极点数。
68,P=2,正穿越2次,负穿越1次,和为+1,闭环稳定,【例】Bode图如下,判断闭环系统的稳定性。
69,闭环稳定,P=0,正穿越1次,负穿越1次,和为0,【例】Bode图如下,判断闭环系统的稳定性。
70,4、开环最小相位系统的闭环系统稳定的充要条件对最小相位系统,有P0,若开环对数幅频特性比对数相频特性先交于横轴,即cg,闭环系统稳定;若开环对数幅频特性比对数相频特性后交于横轴,cg,闭环系统不稳定;若开环对数幅频特性等于对数相频特性,c=g,闭环系统临界稳定。
71,若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率,则取剪切频率最大的来判别稳定性。
因为,若用c3判别系统是稳定的,则用c1、c2判别,自然也是稳定的。
72,5.5系统的相对稳定性,从Nyquist稳定判据可推知,当开环系统稳定的闭环系统稳定时,开环Nyquist轨迹离点(-1,j0)越远,闭环系统稳定性越高,开环Nyquist轨迹离点(-1,j0)越近,闭环系统稳定性越低。
这便是系统的相对稳定性。
系统的相对稳定性:
GK(j)靠近点(1,j0)的程度,73,(a)(b)图中开环P=0,Nyquist轨迹为实线,知闭环稳定。
(a)图点A离点(-1,j0)较远,(b)图点B离点(-1,j0)较近。
假设增益K增加了50%,A点移到A点,系统仍是稳定的;B点移到B点,系统便不稳定了。
可见,(a)图相对稳定性比(b)图好。
Bode图在=c时,相频特性GH距180线的相位差值,74,可以在c的频率下,允许相位再增加才达到g=c的临界稳定条件。
相位裕度又叫做相位稳定性储备。
1、定量指标:
相位裕度、幅值裕度K,
(1)相位裕度,75,Nyquist图Nyquist轨迹与单位圆的交点对负实轴的相位差值(c)(180)180(c),
(1)相位裕度,76,系统稳定,0必在Bode图横轴以上在Nyquist图负实轴以下,称为正相位裕度,有正的稳定性储备。
系统不稳定,0必在Bode图横轴以下在Nyquist负实轴以上,称为负相位裕度,有负的稳定性储备。
77,正相位裕度正幅值裕度,正相位裕度正幅值裕度,负相位裕度负幅值裕度,负相位裕度负幅值裕度,当=g时,开环幅频特性G(jg)H(jg)的倒数,78,
(2)幅值裕度Kg,Nyquist轨迹与负实轴的交点至原点的距离即为1/Kg,它代表在g频率下开环频率特性的模。
79,Bode图上,以分贝值表示,
(2)幅值裕度Kg,80,系统稳定Kg1,Kg(dB)0,Kg(dB)在0dB线以下,Nyquist轨迹1/Kg1,正幅值裕度,有正的稳定性储备。
系统不稳定Kg1,Kg(dB)0,Kg(dB)在0dB线以上,Nyquist轨迹1/Kg1,负幅值裕度,有负的稳定性储备。
结论对于开环系统稳定的闭环系统来说,G(j)H(j)具有正幅值裕度与正相位裕度时,其闭环系统稳定;G(j)H(j)具有负幅值裕度与负相位裕度时,闭环系统不稳定。
【例1】已知控制系统的开环传递函数为试分别求K=10及K=100时的相位裕度和幅值裕度Kg。
82,解:
开环系统为最小相位系统,P=0。
1、当K=10时,有,由Bode图绘制方法,做出Bode图。
(1)先求c,在=1处,有,83,在c处幅频特性斜率为-40dB/dec,所以,
(2)求c处相位,(3)相位裕度,(4)求g,84,(5)幅值裕度,可见,该闭环系统虽然稳定,且幅值裕度较大,但相位裕度300,因而不具备满意的相对稳定性。
2、K=100重复上述步骤,可解得:
=-22.50Kg(dB)=-10.5dB可见,闭环系统不稳定。
【例2】,85,解:
做出Nyquist图和Bode图,86,结果分析:
当很小时,相位裕度较大,但幅值裕度却太小,曲线很靠近点(-1,j0)。
因此,若只考虑相位裕度来评价系统的稳定性,系统稳定程度很高;实际上系统的稳定程度绝不是高,而是低。
所以,必须使相位裕度和幅值裕度同时达到一定值,才能保证系统有足够的稳定性。
87,(a)所示系统的幅值裕度大,但相角裕度小;相反,(b)所示系统的相角裕度大,但幅值裕度小,这两个系统的相对稳定性都不好。
88,
(1)了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件;
(2)掌握Routh判据,能够判定系统的稳定性;(3)掌握Nyquist判据;(4)掌握Bode判据;(5)理解Nyquist图和Bode图之间的关系;(6)理解系统相对稳定性的概念,会求相位裕度和幅值裕度,并能够在Nyquist图和Bode图上表示。
第五章小结,难点:
Nyquist判据的证明和应用。
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