经典《极坐标与参数方程》综合测试题doc.docx
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《极坐标与参数方程》综合测试题
1.在极坐标系中,已知曲线C:
ρ=2cosθ,将曲线C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C1,又已知直线l过点
P(1,0),倾斜角为,且直线l与曲线C1交于A,B两点.
3
(1)求曲线C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;
(2)求+.
2.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin(θ+)=3,射线OM:
θ=与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
3.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:
ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以极
点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求圆C的参数方程;
(Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
4.若以直角坐标系xOy的O为极点,Ox为极轴,选择相同的长度单位建立极坐
标系,得曲线C的极坐标方程是ρ=.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l的参数方程为(t为参数),P3,0,当直线l与曲线C相交于A,2
2
AB
B两点,求.
PAPB
5.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立
极坐标系,曲线
x
3cos
为参数),曲线C2的极坐标方
C1的参数方程为
(
y
2sin
程为.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上一点,Q曲线C2上一点,求|PQ|的最小值及此时P点极坐标.
6.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R(2,).
(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C
的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;
(Ⅱ)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值.
7.已知平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线θ=(ρ∈R)与曲线C1交于P,Q两点,求|PQ|的长度.
8.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ(p>0).
(1)设t为参数,若x=﹣2+t,求直线l的参数方程;
(2)已知直线l与曲线C交于P、Q,设M(﹣2,﹣4),且|PQ|2=|MP|?
|MQ|,
求实数p的值.
9.在极坐标系中,射线l:
θ=与圆C:
ρ=2交于点A,椭圆Γ的方程为ρ2=,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
(Ⅰ)求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程;
(Ⅱ)若E为椭圆Γ的下顶点,F为椭圆Γ上任意一点,求?
的取值范围.
10.已知在直角坐标系中,曲线的C参数方程为(φ为参数),现以原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ=.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最小?
若存在,求出距离的最小值及点P的直角坐标;若不存在,请说明理由.
11.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(I)求曲线C2的直角坐标系方程;
(II)设M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.
12.设点A为曲线C:
ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点,且0≤θ≤,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy,
(1)求曲线C的参数方程;
(2)以A为直角顶点,AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB(B在A的右下方),求B点轨迹的极坐标方程.
13.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:
(φ为参数,实数a>0),曲线C2:
(φ为参数,实数b>0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:
θ=α(ρ≥0,0≤α≤)与C1交于O、A两点,与C2交于O、B两点.当α=0时,|OA|=1;当α=时,|OB|=2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求2|OA|2+|OA|?
|OB|的最大值.
14.在平面直角坐标系中,曲线C1:
(a为参数)经过伸缩变换后,曲线为C2,
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建极坐标系.
(Ⅰ)求C2的极坐标方程;
(Ⅱ)设曲线C3的极坐标方程为ρsin(﹣θ)=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.
15.已知半圆C的参数方程为,a为参数,a∈[﹣,].
(Ⅰ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极
坐标系,求半圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设T是半圆C上一点,且OT=,试写出T点的极坐标.
16.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
《极坐标与参数方程》综合测试题答案
一.解答题(共16小题)
1.在极坐标系中,已知曲线C:
ρ=2cosθ,将曲线C上的点向左平移一个单位,
然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的(1,0),倾斜角为,且直线l与曲线
2倍,得到曲线C1,又已知直线C1交于A,B两点.
l过点
P
3
(1)求曲线C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;
(2)求+.
【解答】解:
(1)曲线C的直角坐标方程为:
x2+y2﹣2x=0即(x﹣1)2+y2=1.∴曲线C1的直角坐标方程为=1,
∴曲线C表示焦点坐标为(﹣,0),(,0),长轴长为4的椭圆
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中,得13t24t120.
设A、B两点对应的参数分别为t1,t2,
∴+=210.3
2.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数),以O为极点,x轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin(θ+)=3,射线OM:
θ=与圆C的交点为O、
P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
【解答】解:
(I)利用cos2φ+sin2φ=1,把圆C的参数方程为参数)化为(x﹣
1)2+y2=1,
∴ρ2﹣2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.
(II)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,由,解得.设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,由,解得.
∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2.∴|PQ|=2.
3.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:
ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以极
点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求圆C的参数方程;
(Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
【解答】(本小题满分10分)选修4﹣4:
坐标系与参数方程解:
(Ⅰ)因为ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6,
所以x2+y2=4x+4y﹣6,
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0,
22
即(x﹣2)+(y﹣2)=2为圆C的普通方程.(4分)
所以所求的圆C的参数方程为(θ为参数).(6分)
当时,即点P的直角坐标为(3,3)时,(9分)x+y取到最大值为6.(10分)
4.若以直角坐标系xOy的O为极点,Ox为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程是ρ=.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l的参数方程为(t为参数),P
3
,当直线l与曲线C相交于A,
0
2
AB
2
B两点,求
.
PA
PB
【解答】解:
(1)∵ρ=,∴ρ2sin2θ=6ρcosθ,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=6x.曲线为以(,0)为焦点,开口向右的抛物线.
(2)直线l的参数方程可化为,代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0.
解得t1=﹣2,t2=6.
2
2
AB
∴||=|t1﹣t2|=8.
3
PAPB
5.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立
x
3cos
的极坐标方程为.
极坐标系,曲线C1的参数方程为
(为参数),曲线C2
y2sin
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上一点,Q曲线C2上一点,求|PQ|的最小值及此时P点极坐标.
【解答】解:
(1)由消去参数α,得曲线C1的普通方程为.由得,曲线C2的直角坐标方程为.
(2)设P(2cosα,2sinα),则
点P到曲线C2的距离为.
当时,d有最小值,所以|PQ|的最小值为.
6.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R(2,).
(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;
C
(Ⅱ)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,
求矩形PQRS周长的最小值.
【解答】解:
(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,则:
曲线C的方程为ρ2=,转化成.
点R的极坐标转化成直角坐标为:
R(2,2).
(Ⅱ)设P()
根据题意,得到Q(2,sinθ),
则:
|PQ|=,|QR|=2﹣sinθ,
所以:
|PQ|+|QR|=.
当时,(|PQ|+|QR|)min=2,
矩形的最小周长为4.
7.已知平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线θ=(ρ∈R)与曲线C1交于P,Q两点,求|PQ|的长度.
【解答】解:
(I)曲线C1的参数方程为(φ为参数),利用平方关系消去
φ可
2
2
2
θ
得:
+(y+1)=9,展开为:
x+y﹣2x+2y﹣5=0,可得极坐标方程:
ρcosθ+2ρsin
﹣5=0.
曲线C2的极坐标方程为
ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:
x2+y2=2x.
(II)把直线θ=(ρ∈R)代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0,整理可得:
ρ2﹣2ρ﹣5=0,
∴ρ1+ρ2=2,ρ1?
ρ2=﹣5,
∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2.
8.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ(p>0).
(1)设t为参数,若x=﹣2+t,求直线l的参数方程;
(2)已知直线l与曲线C交于P、Q,设M(﹣2,﹣4),且|PQ|2=|MP|?
|MQ|,
求实数p的值.
【解答】解:
(1)直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,化为直角坐标方程:
x﹣y﹣2=0.
∵x=﹣2+t,∴y=x﹣2=﹣4+t,∴直线l的参数方程为:
(t为参数).
(2)曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ(p>0),即为ρ2sin2θ=2pρcosθ
(p>0),可得直角坐标方程:
y2=2px.
把直线l的参数方程代入可得:
t2﹣(8+2p)t+8p+32=0.
∴t1+t2=(8+2p),t1t2=8p+32.不妨设|MP|=t1,|MQ|=t2.
|PQ|=|t1﹣t2|===.
∵|PQ|2=|MP|?
|MQ|,∴8p2+32p=8p+32,化为:
p2+3p﹣4=0,
解得p=1.
9.在极坐标系中,射线l:
θ=与圆C:
ρ=2交于点A,椭圆Γ的方程为ρ2=,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy(Ⅰ)求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程;
(Ⅱ)若E为椭圆Γ的下顶点,F为椭圆Γ上任意一点,求?
的取值范围.
【解答】解:
(Ⅰ)射线l:
θ=与圆C:
ρ=2交于点A(2,),点A的直角坐标(,
1);
22
椭圆Γ的方程为ρ=,直角坐标方程为+y=1,参数方程为(θ为参数);
∵E(0,﹣1),
∴=(﹣,﹣2),=(cosθ﹣,sinθ﹣1),
∴?
=﹣3cosθ+3﹣2(sinθ﹣1)=sin(θ+α)+5,
∴?
的取值范围是[5﹣,5+].
10.已知在直角坐标系中,曲线的C参数方程为(φ为参数),现以原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ=.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最小?
若存在,求出距离的最小值及点P的直角坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)曲线的C参数方程为(φ为参数),普通方程为(x﹣1)2+(y
﹣1)2=4,
直线l的极坐标方程为ρ=,直角坐标方程为x﹣y﹣4=0;
(2)点P到直线l的距离d==,
∴φ﹣=2kπ﹣,即φ=2kπ﹣(k∈Z),距离的最小值为2﹣2,点P的直角坐标(1+,1﹣).
11.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,以x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(I)求曲线C2的直角坐标系方程;
(II)设M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.【解答】解:
(I)由可得ρ=x﹣2,∴ρ2=(x﹣2)2,即y2=4(x﹣1);(Ⅱ)曲线C1的参数方程为(t为参数),消去t得:
2x+y+4=0.
∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0.
∵M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,
∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.设M2(r2﹣1,2r),M2到直线2x+y+4=0的距离为d,
则d==≥.
∴|M1M2|的最小值为.
12.设点A为曲线C:
ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点,且0≤θ≤,以极点为
原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy,
(1)求曲线C的参数方程;
(2)以A为直角顶点,AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB(B在A的右下方),求点B轨迹的极坐标方程.
x
1cos
,θ为参数)
【解答】
(1)
(0
y
sin
2
(2):
设A(ρ0,θ0),且满足ρ0=2cosθ0,B(ρ,θ),依题意,即
代入ρ0=2cosθ0并整理得,,,所以点B的轨迹方程为,.
13.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:
(φ为参数,实数a>0),曲线C2:
(φ为参数,实数b>0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
l:
θ=α(ρ≥0,0≤α≤)与C1交于O、A两点,与C2交于O、B两点.当α=0
时,|OA|=1;当α=时,|OB|=2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求2|OA|2+|OA|?
|OB|的最大值.
【解答】解:
(Ⅰ)由曲线C1:
(φ为参数,实数a>0),化为普通方程为(x﹣a)2+y2=a2,展开为:
x2+y2﹣2ax=0,
其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ,即ρ=2acosθ,由题意可得当θ=0时,
|OA|=ρ=1,∴a=.
曲线C2:
(φ为参数,实数b>0),
化为普通方程为x2+(y﹣b)2=b2,展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ,由题意可得当时,|OB|=ρ=2,∴b=1.
(Ⅱ)由(I)可得C1,C2的方程分别为ρ=cosθ,ρ=2sinθ.
∴2|OA|2+|OA|?
|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1,
∵2θ+∈,∴+1的最大值为+1,当2θ+=时,θ=时取到最大值.
14.在平面直角坐标系中,曲线C1:
(a为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C2的极坐标方程;
(Ⅱ)设曲线C3的极坐标方程为ρsin(﹣θ)=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.
【解答】解:
(Ⅰ)C2的参数方程为(α为参数),普通方程为(x′﹣1)2+y′2=1,∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ;
(Ⅱ)C2是以(1,0)为圆心,2为半径的圆,曲线C3的极坐标方程为ρsin(﹣θ)=1,直角坐标方程为x﹣y﹣2=0,
∴圆心到直线的距离d==,
∴|PQ|=2=.
15.已知半圆C的参数方程为,a为参数,a∈[﹣,].
(Ⅰ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极
坐标系,求半圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设T是半圆C上一点,且OT=,试写出T点的极坐标.【解答】解:
(Ⅰ)由半圆C的参数方程为,a为参数,a∈[﹣,],
则圆的普通方程为x2+(y﹣1)2=1(0≤x≤1),
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,
可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈[0,];
(Ⅱ)由题意可得半圆C的直径为2,设半圆的直径为OA,
则sin∠TAO=,
由于∠TAO∈[0,],则∠TAO=,
由于∠TAO=∠TOX,
所以∠TOX=,
T点的极坐标为(,).
16.
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)【解答】解:
(Ⅰ)曲线C1的参数方程式(t为参数),得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25即为圆C1的普通方程,
即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0.
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得.
ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为C1的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为:
x2+y2﹣2y=0,
由,解得或.
∴C1与C2交点的极坐标分别为(,),(2,).
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