苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》 能力训练题含答案.docx
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苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》能力训练题含答案
第一章《一元二次方程》能力训练题
一.选择题
1.下列方程中,是一元二次方程的是( )
A.x2+x=0B.x+2=0C.x+y=1D.
=2
2.一元二次方程x2﹣3
x+6=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
3.已知x=1是一元二次方程2x2﹣cx=0的一个根,则c的值是( )
A.﹣1B.2C.3D.﹣2
4.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2=0,配方后得到的方程是( )
A.(x﹣3)2=2B.(x﹣3)2=8C.(x﹣3)2=11D.(x+3)2=9
5.某药品原价为100元,连续两次降价a%后,售价为64元,则a的值为( )
A.10B.20C.23D.36
6.设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根,则a3+a2+3a+2014b=( )
A.2014B.﹣2014C.2011D.﹣2011
7.若关于x的一元二次方程(a﹣2)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a的取值范围为( )
A.a≥﹣2B.a≠2C.a>﹣2且a≠2D.a≥﹣2且a≠2
8.我市某家快递公司,今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件,设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.6(1+x)=8.64
B.6(1+2x)=8.64
C.6(1+x)2=8.64
D.6+6(1+x)+6(1+x)2=8.64
9.在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积为2800dm2,设纸边的宽为xdm,则可列出方程为( )
A.x2+100x﹣400=0B.x2﹣100x﹣400=0
C.x2+50x﹣100=0D.x2﹣50x﹣100=0
10.已知a、b满足a2﹣6a+2=0,b2﹣6b+2=0,则
=( )
A.﹣6B.2C.16D.16或2
11.为了宣传垃圾分类,童威写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:
将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,则n的值为( )
A.9B.10C.11D.12
12.如图,在宽为20米,长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为( )
A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米
二.填空题
13.若m是方程x2﹣2x﹣5=0的一个根,则代数式2m﹣m2= .
14.在“低碳生活,绿色出行”的倡导下,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城自2018年起自行车的销售量逐月增加.据统计,该商城一月份销售自行车100辆,三月份销售121辆,该商城的自行车销量的月平均增长率为 .
15.如表是某同学求代数式x2﹣x的值的情况,根据表格中数据,可知方程x2﹣x=6的根是 .
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
x2﹣x
6
2
0
0
2
6
…
16.2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行现场比赛),比赛总场数为380场,则参赛队伍有 支.
17.关于x的方程x2﹣6x+3=0的两根分别是x1和x2,且
= .
18.我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于﹣1.若我们规定一个新数“i”,使其满足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一个根为i).并且进一步规定:
一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,从而对于任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n•i=i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1.那i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为 .
19.用配方法将方程x2﹣4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数),则
= .
20.某养殖场为落实国家环保政策,建造一个池底为正方形、深度为2m的长方体无盖水池,池壁的造价为每平方米150元,池底的造价为每平方米300元,总造价为9600元,则该水池池底的边长为 m.
三.解答题
21.解下列方程:
(1)x2﹣4x﹣1=0;
(2)2(x﹣3)2=9﹣x2
22.若x1,x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,求
(1)
+
的值.
(2)(x1﹣1)(x2﹣1)的值.
23.我们知道,各类方程的解法虽然不尽相同,但是它们的基本思想都是“转化”,即把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新方程.
认识新方程:
像
=x这样,根号下含有未知数的方程叫做无理方程,可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得x1=3,x2=﹣1.但由于两边平方,可能产生增根,所以需要检验,经检验,x2=﹣1是原方程的增根,舍去,所以原方程的解是x=3.
运用以上经验,解下列方程:
(1)
=x;
(2)x+2
=6.
24.阅读理解:
材料一:
解方程x4﹣5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2﹣5y+4=0(在由原方程得到新方程的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了数学的转化思想).
于是可解得y1=1,y2=4.
①当y=1时,x2=1,∴x=±1;
②当y=4时,x2=4,∴x=±2;
∴原方程有四个根:
x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.
材料二:
恒等变形是代数式求值的一个重要的方法.利用恒等变形,可以把无理数运算转化问有理数运算,可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如:
当x=
+1时,求
x3﹣x2﹣x+2的值.为解答这道题,直接代入x的值进行计算,显然比较麻烦,我们可以通过恒等变形,对本题进行解答:
先将条件化为整式,再把无理数运算转为有理数运算.
由x=
+1,得x﹣1=
,两边同时平方得x2﹣2x﹣2=0,即x2﹣2x=2,x2=2x+2.
原式=
x(2x+2)﹣x2﹣x+2=x2+x﹣x2﹣x+2=2
请参照以上的解决问题的思路和方法,解决下列问题:
(1)解方程:
(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0
(2)若a2﹣3a+1=0,求2a3﹣5a2﹣3+
的值.
25.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发那么几秒后,PQ的长度等于
cm?
(2)在
(1)中,△PQB的面积能否等于7cm2?
请说明理由.
26.如图,某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场,将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道,已知长方形空地的长为50m,宽为40m.
(1)求通道的宽度;
(2)某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程,城建部门认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以51.2万元达成一致,若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
27.温润有度,为爱加温.近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”,今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台,每台A型号暖风机售价为600元,每台B型号暖风机售价为900元.
(1)若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元,则至多购进多少台A型号暖风机?
(2)由于质量超群、品质卓越,11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完.该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台,并且进行“双12”促销活动,每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠
a%,A型号暖风机12月上旬的销售量比其在
(1)问条件下的最高购进量增加
a%,每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠
a%,B型号暖风机12月上旬的销售量比其在
(1)问条件下的最低购进量增加a%,A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比
(1)问中最低销售额增加了
a%,求a的值.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、该方程符合一元二次方程的定义,故本选项符合题意.
B、该方程的未知数的最高次数是1,属于一元一次方程,故本题选项不符合题意.
C、该方程中含有两个未知数,属于二元一次方程,故本题选项不符合题意.
D、该方程不是整式方程,故本题选项不符合题意.
故选:
A.
2.解:
∵x2﹣3
x+6=0,
△=(﹣3
)2﹣4×1×6=﹣6<0,
∴方程没有实数根,
即一元二次方程x2﹣3
x+6=0的根的情况为没有实数根,
故选:
D.
3.解:
将x=1代入方程2x2﹣cx=0,得:
2﹣c=0,
解得c=2,
故选:
B.
4.解:
∵x2﹣6x﹣2=0,
∴x2﹣6x=2,
∴(x﹣3)2=11,
故选:
C.
5.解:
当药品第一次降价%时,其售价为100﹣100a%=100(1﹣a%);
当药品第二次降价x后,其售价为100(1﹣a%)2.
∴100(1﹣a%)2=64.
解得:
a=20或a=﹣180(舍去),
故选:
B.
6.解:
∵a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根,
∴a2+a=2011,a+b=﹣1,
∴a3+a2=a(a2+a)=2011a,
∴a3+a2+3a+2014b=2011a+3a+2014a=2014(a+b)=﹣2014.
故选:
B.
7.解:
由题意可知:
△=16+4(a﹣2)≥0,
∴a≥﹣2,
∵a﹣2≠0,
∴a≠2,
∴a≥﹣2且a≠2,
故选:
D.
8.解:
设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x,
根据题意得:
6(1+x)2=8.64.
故选:
C.
9.解:
设纸边的宽为xdm,那么挂图的长和宽应该为(60+2x)和(40+2x
),
根据题意可得出方程为:
(60+2x)(40+2x)=2800,
整理得:
x2+50x﹣100=0,
故选:
C.
10.解:
当a=b时,
+
=1+1=2;
当a≠b时,∵a、b满足a2﹣6a+2=0,b2﹣6b+2=0,
∴a、b为一元二次方程x2﹣6x+2=0的两根,
∴a+b=6,ab=2,
∴
+
=
=
=
=16.
故选:
D.
11.解:
依题意,得:
1+n+n2=111,
解得:
n1=10,n2=﹣11.
故选:
B.
12.解:
设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得:
20×30﹣(20x+30x﹣x2)=551,
解得:
x=49或1,
49不合题意,舍去,
故选:
A.
二.填空题(共8小题)
13.解:
∵m是方程x2﹣2x﹣5=0的一个根,
∴m2﹣2m﹣5=0,
∴m2﹣2m=5,
∴2m﹣m2=﹣5.
故答案为﹣5.
14.解:
设运动商城的自行车销量的月平均增长率为x,
根据题意得:
100(1+x)2=121,
解得:
x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(舍去).
故答案为:
10%.
15.解:
由表格知,当x=﹣2或x=3时,x2﹣x=6成立,即该方程x2﹣x=6的根是x=﹣2或x=3.
故答案为x1=﹣2,x2=3.
16.解:
设参赛队伍有x支,则
x(x﹣1)=380.
解得x=20.
故答案是:
20.
17.解:
由题意可知:
x1+x2=6,x1x2=3,
∴原式=
=2,
故答案为:
2
18.解:
由于i4n+1=i4n•i=i,i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1.
∴i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,
∴原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+……(i2017+i2018+i2019)
=504×0﹣1
=﹣1,
故答案为:
﹣1
19.解:
∵x2﹣4x+1=0,
∴x2﹣4x+4=3,
∴(x﹣2)2=3,
∴m=﹣2,n=3,
∴原式=1,
故答案为:
1
20.解:
设池底的边长为xm.
300x2+1200x=9600,
解得x1=4,x2=﹣8(舍),
答:
池底的边长为4m.
故答案为:
4.
三.解答题(共7小题)
21.解:
(1)x2﹣4x﹣1=0
x2﹣4x+4=5
(x﹣2)2=5,
则x﹣2=±
,
解得:
x1=2+
,x2=2﹣
;
(2)2(x﹣3)2=9﹣x2.
2(x﹣3)2﹣(3﹣x)(3+x)=0,
(3﹣x)[2(3﹣x)﹣(3+x)]=0,
(3﹣x)(3﹣3x)=0,
故3﹣x=0或3﹣3x=0,
解得:
x1=3,x2=1.
22.解:
由题意可知:
x1+x2=2,x1x2=﹣3,
(1)原式=
=
.
(2)原式=x1x2﹣(x1+x2)+1
=﹣3﹣2+1
=﹣4
23.解:
(1)两边平方,得
16﹣6x=x2,
整理得:
x2+6x﹣16=0,
解得x1=﹣8,x2=2;
经检验x=﹣8是增根,
所以原方程的根为x=2;
(2)
移项得:
2
=6﹣x
两边平方,得
4x﹣12=x2﹣12x+36,
解得x1=4,x2=12(不符合题意,舍).
24.解:
(1)令t=x2+x,
原方程可化为t2﹣4t﹣12=0,
∴(t﹣6)(t+2)=0,
∴t=6或t=﹣2,
当x2+x=6时,(x+3)(x﹣2)=0,
∴x=2或x=﹣3,
当x2+x=﹣2时,方程无解,
∴原方程有两个根,x=2或x=﹣3;
(2)∵a2﹣3a+1=0,
∴a2=3a﹣1,
∴2a3﹣5a2﹣3+
=2a(3a﹣1)﹣5(3a﹣1)﹣3+
=6a2﹣17a+2+
=6(3a﹣1)﹣17a+2+
=a﹣4+
,
∵a2﹣3a+1=0,
∴a+
=3,
∴2a3﹣5a2﹣3+
=3﹣4=﹣1.
25.
(1)设x秒后,PQ=2
BP=5﹣xBQ=2x
∵BP2+BQ2=PQ2
∴(5﹣x)2+(2x)2=(2
)2
解得:
x1=3,x2=﹣1(舍去)
∴3秒后,PQ的长度等于2
;
(2)△PQB的面积不能等于7cm2,原因如下:
设t秒后,PB=5﹣tQB=2t
又∵S△PQB=
×BP×QB=7
×(5﹣t)×2t=7
∴t2﹣5t+7=0
△=52﹣4×1×7=25﹣28=﹣3<0
∴方程没有实数根
∴△PQB的面积不能等于7cm2.
26.解:
(1)设通道宽度为xm,
依题意得(50﹣2x)(40﹣2x)=1200,即x2﹣45x+200=0
解得x1=5,x2=40(舍去)
答:
通道的宽度为5m.
(2)设每次降价的百分率为x,
依题意得80(1﹣x)2=51.2
解得x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去)
答:
每次降价的百分率为20%.
27.解:
(1)设购进x台A型号暖风机,则购进(900﹣x)台B型号暖风机,
依题意,得:
600x+900(900﹣x)≥690000,
解得:
x≤400.
答:
至多购进400台A型号暖风机.
(2)依题意,得:
600(1﹣
a%)×400(1+
a%)+900(1﹣
a%)×(900﹣400)(1+a%)=690000(1+
a%),
整理,得:
150a﹣12a2=0,
解得:
a1=12.5,a2=0(不合题意,舍去).
答:
a的值为12.5.
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