高中数学空间立体几何讲义.docx
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高中数学空间立体几何讲义.docx
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高中数学空间立体几何讲义
第1讲空间几何体
高考《考试大纲》的要求:
1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.
3会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
4会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求)
5了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).
一)例题选讲:
CD上,且CD=2,AB=3,在外接球面上两点A、B间的球面距离
例4.如图所示,等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3,点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC
边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE
的体积.
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线
二)基础训练:
A)3R(B)
面距离为()
52
R(C)R(D)R6
3.若一个底面边长为6,棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积
2
为.
4.已知A,B,C三点在球心为O,半径为R的球面上,ACBC,且ABR,那么A,B两点的球面距离为,球心到平面ABC的距离为
5.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=43,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°.
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积;(Ⅱ)证明PA⊥BD.
(三)巩固练习:
1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为(A)3(B)33(C)6(D)
2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
3,则这个圆锥的全面积是(
9
4,体积为16,则这个球的表面积是(
A.16B.20C.24D.32
3.一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,角的余弦值是()
34
A.B.C.
45
那么,这个圆锥轴截面顶
4.已知球O的半径为
的距离为(
(A)13
5.表面积为23
2
A.
3
35D.
1,A、B、
C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为
,则球心O到平面ABC
2
B)33
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为()
222
C.D.33
12,底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等于
C)23
D)36
1B.
33
6.已知正四棱锥的体积为
7.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)。
试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时,帐篷的体积最大?
8.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CDBCD。
(I)证明:
C1C⊥BD;
CD
(II)当CD的值为多少时,能使A1C平面C1BD?
请给出证明。
CC1
第2讲空间直线和平面高考《考试大纲》的要求:
①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
◆公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内.
◆公理2:
过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
◆公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
◆公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
◆定理:
空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
2以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定理解以下判定定理:
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明:
◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直
3
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
(一)例题选讲:
例1.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则以下结论中不成立的是()
A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面
例2.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角ππ
分别为4和6,过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,
则AB∶A′B′=()
(A)2∶1(B)3∶1(C)3∶2(D)4∶3
例3.在平面几何里,有勾股定理:
“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:
“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则
平面SAC⊥平
例4.在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,面ABC,SA=SC=22,M、N分别为AB、SB的中点。
(Ⅰ)证明:
AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小;(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.
(二)基础训练:
1.已知两条直线m,n,两个平面,,给出下面四个命题:
①m//n,mn
②
//
m,n
m//n
③m//n,m//n//
④
//
m//n,m
n
其中正确命题的序号是(
)
A.①③B.②④C
.①④
D
.②③
2.已知P为平面a外一点,直线
la,点Q∈l,
记点P到平面
a的距离为a,点P到直线l的距离为b,
点P、Q之间的距离为c,则()
(A)abc(B)cab
(C)acb(D)bca3、给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是()
A.4B.3C.2D.1
4、下列命题中,正确的是()A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行
5.已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于0的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是.
;⑤//
6.已知平面,和直线,给出条件:
①m//;②m;③m
(i)当满足条件时,有m//;
(ii)当满足条件时,有m.(填所选条件的序号)
7.三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.
(1)求证AB⊥BC;
(2)如果AB=BC=23,求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小
三)巩固练习:
A.若
C.若
2.设a,
A.若
C.若
,则mB.若m,m∥,则
,则D.若Im,In,
,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是a,b与所成的角相等,则a∥ba,b
m,
,⊥b为两条直线,
B.若a∥,b∥,D.若a,b,,则这三个平面把空间分成(
D.8部分
m∥
()
∥
n,则
,a∥b,则∥
且三条交线互相平行
部分C.7部分
:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
,则a
,则a
∥b
b
3.若三个平面两两相交
A.5部分B.64.给出下列四个命题②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.其中假.命题的个数是(
(A)1(B)2(C)3(D)4
5.设m、n是两条不同的直线,,n,mn,m,n//P-ABC中,D,
A.m
C.
6.在正四面体
是两个不同的平面.考查下列命题,B.//,m,n//nD.,m,n
其中正确的命题是(
mn
mn
m
F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立
(B)DF⊥平面PAED)平面PAE⊥平面n、l为直线,则ml,ml(B),m(D)与,给定下列条件:
β都垂直于;②存在平面,使得l//m;,l//,m//D.4个内一点,PA4,PB2,则AB的长为:
(
A23B10.已知直线、m,
(1)若(3)若,则其中正确命题的个数是(
A.111.已知①若//③若m上面命题中,真命题的序号是12.在直三棱柱ABC—A1B1C1棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为
E,
的是(
A)BC//平面PDF
C)平面PDF⊥平面ABC
m、
7.设、、为平面,
(A),
(C),
8.对于不重合的两个平面①存在平面,使得α、
ABC
的一个充分条件是()
n
m,
m
,使得α、β都平等于
③存在直线l,直线m④存在异面直线l、m,使得l//A.1个B.2个C.3个9.设P是60o的二面角l
平面
(2)
(4)
)
m//.
PA平面
其中,可以判定α与β平行的条件有
PB平面,A,B为垂足,
27
,且
42,给出下列四个命题。
D.4个
C.3个
是不重合的平面,给出下列命题:
B.2
m、n是不同的直线,,m,n,则m//n②若m,n,m//,n//,则//,n,m//n,则//④m、n是两条异面直线,若m//,m//,n//,n//,则
(写出所有真命的序号)
//
中,AB=BC=2,BB1=2,ABC90,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿
13.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是
直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号)
14.已知平面α和平面β交于直线l,P是空间一点,PA⊥α,垂足为A,PB⊥β,垂足为B,且PA=1,PB=2,若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合,则点P到l的距离为。
15.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.②若两条直线没有共点,则这两条直
①两条平行
线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是.(把符合要求的命题序号都填上)
16.如图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧
面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°(I)求点P到平面ABCD的距离;
(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小
第3讲空间向量与立体几何高考《考试大纲》的要求:
(1)空间向量及其运算
1了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
(2)空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量.
2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.
(一)基础知识回顾:
rrrurrrrrrr
1.向量的数量积:
已知非零向量ra,rb,则arubr|ar||rb|cosar,br叫做ar与br的数量积。
rr
2.两向量夹角的求法:
cosa,brabr=a1b1a2b2a3b3,立体几何中有关夹角的
cosa,b|a||b|=a12a22a32b12b22b32,立体几何中有关夹角的
问题,一般用此式解决
rr
3.a⊥baba1b1a2b2a3b30(可证明两直线垂直)
4.已知两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则向量AB(x2x1,y2y1,z2z1),线段AB的中点M的坐标是x1x2,y1y2,z1z2,
222
A,B两点间的距离是|AB|(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2
rr
5.若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则abx1x2y1y2z1z2.
6.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”
(1)化为向量问题
(2)进行向量运算
(3)回到向量问题
建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面;通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题;把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
7.设A,B,平面α的法向量是n,直线AB与平面α所成的角是θ,则sin|cosAB,n|
ur
二面角
8.设A
urr
l的平面角arccosumrnr或arccosumrnr(m,n为平面,
|m||n||m||n|
uuuruuurr
,B,平面α的法向量是n,点A到平面α的距离d|AB|cosAB,n
的法向量)
uuurr
|ABrn|
|nr|
异面直线间的距离
uuuruur
d|CDrn|(l1,l2是两异面直线,其公垂向量为|n|12
r
n,C、D分别是l1,l2上任
一点,d为l1,l2间的距离).
二)例题选讲:
π
例1.如图,在Rt△AOB中,OAB,斜边AB4.Rt△AOC可以6
通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角BAOC是直二面角.动点D的斜边AB上.
(I)求证:
平面COD平面AOB;
(II)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的大小;
(III)求CD与平面AOB所成角的最大值.
A
例2.如图,正三棱柱
(1)求证:
AB1⊥面A1BD;
(2)求二面角A-A1D-B的大小;
(3)求点C到平面A1BD的距离。
ABC-A1B1C1的所有棱长都为
(三)基础训练:
1.如图5所示,AF、DE分别世eO、eO1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD8.BC是eO的直径,ABAC6,OE//AD.
(I)求二面角BADF的大小;(II)求直线BD与EF所成的角.
B图5
2.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求:
(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的大小.
C1
(四)巩固练习:
1.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DCDD12AD2AB,ADDC,AB∥DC.
Ⅰ)设E是DC的中点,求证:
D1E∥平面A1BD1;
3、如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=3,
BD=CD=1,另一个侧面是正三角形
1)求证:
ADBC
(2)求二面角B-AC-D的大小
3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角?
若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由。
典型问题分析
一、求二面角的方法
例1.如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD//BC,ABCPA3,AD2,AB23,BC=6.求二面角PBDA的大
例2.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,PAAB2,点E是棱PB的中点.若AD1,求二面角BECD的平面角的余弦值.
AB
二、求直线与平面所成的角、以及点到平面的距离的方法
1
例4.如图,已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB=2,
2
N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)求SN与平面CMN所成角的大小;(Ⅱ)求点S到平面CMN的距离.
例5.如图,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥
CD,AC⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.若APB=ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成
角的正弦值.
例6.如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°。
1)求DP与CC1所成角的大小;
2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小。
例7、如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=,1AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
(1)求证:
PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离。
例8.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。
(1)证明PA//平面EDB;
2)证明PB⊥平面EFD;
3)求二面角C—PB—D的大小。
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