因式分解知识点分类练习doc.docx
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因式分解知识点分类练习doc
因式分解练习题(提取公因式)
专项训练一:
确定下列各多项式的公因式。
1、ayax
2、3mx
6my
3、4a210ab
4、15a2
5a
5、x2y
xy2
6、12xyz
9x2y2
7、mxynxy
8、xmnymn
2
9、abc(m
n)3
ab(m
n)
10、12x(ab)2
9m(b
a)3
专项训练二:
利用乘法分配律的逆运算填空。
1、2R
2r
____(R
r)
2、2R
2r
2(______)
3、1gt1
2
1gt2
2
___(t12
t2
2)
4、15a2
25ab2
5a(_______)
2
2
专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“-”,使等式成立。
1、x
y__(xy)
2、ba__(ab)
3、z
y
__(y
z)
4、y
2
___(xy)2
x
5、(y
x)3
__(xy)3
6、(xy)4
__(yx)4
7、(a
b)2n
___(b
a)2n(n为自然数)
8、(a
b)2n
1
___(b
a)2n1(n为自然数)
9、1
x(2
y)
___(1x)(y
2)
10、1
x(2
y)
___(x1)(y2)
11、(a
b)2(b
a)
___(ab)3
12、(a
b)2(b
a)4
___(ab)6
专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nxny2、a2ab3、4x36x24、8m2n2mn
5、25x2y315x2y26、12xyz9x2y27、3a2y3ay6y
8、a2b5ab9b9、x2xyxz10、24x2y12xy228y3
11、3ma36ma212ma12、56x3yz14x2y2z21xy2z2
13、15x3y25x2y20x2y314、16x432x356x2
专项训练五:
把下列各式分解因式。
1、x(ab)y(ab)2、5x(xy)2y(xy)
3、6q(pq)4p(pq)4、(mn)(Pq)(mn)(pq)
5、a(ab)(ab)26、x(xy)2y(xy)
7、(2ab)(2a3b)3a(2ab)8、x(xy)(xy)x(xy)2
9、p(xy)q(yx)10、m(a3)2(3a)
11、(ab)(ab)(ba)12、a(xa)b(ax)c(xa)
13、3(x1)3y(1x)3z14、ab(ab)2a(ba)2
15、mx(ab)nx(ba)16、(a2b)(2a3b)5a(2ba)(3b2a)
17、(3ab)(3ab)(ab)(b3a)18、a(xy)2b(yx)
19、x(xy)22(yx)3(yx)220、(xa)3(xb)(ax)2(bx)
21、(yx)2x(xy)3(yx)422、3(2a3b)2n1(3b2a)2n(ab)(n为自然数)
专项训练六、利用因式分解计算。
1、7.6199.84.3199.81.9199.82、2.1861.2371.2371.186
3、(3)21(3)2063194、198420032003200319841984
专项训练七:
利用因式分解证明下列各题。
1、求证:
当n为整数时,n2n必能被2整除。
2、证明:
一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置,则所得的三位数与原数之
差能被99整除。
3、证明:
320024320011032000能被7整除。
专项训练八:
利用因式分解解答列各题。
1、已知a+b=13,ab=40,求2a2b+2ab2的值。
2、已知a
b
2,ab
1,求a3b+2a2b2+ab3的值。
3
2
因式分解习题
(二)
专题训练一:
利用平方差公式分解因式
题型
(一):
把下列各式分解因式
1、x242、9y23、1a2
4、4x2y25、125b26、x2y2z2
7、4m2
0.01b2
8、a21x2
9、36m2n2
9
9
2
2
216b2
12、25p2
49q2
10、4x9y
11、0.81a
13、a2x4b2y214、x41
15、16a4
b4
16、1a4
16b4m4
81
题型
(二):
把下列各式分解因式
1、(xp)2(xq)22、(3m2n)2(mn)2
3、16(ab)29(ab)24、9(xy)24(xy)2
5、(abc)2(abc)26、4a2(bc)2
题型(三):
把下列各式分解因式
1、x5
x3
2、4ax2
ay2
3、2ab3
2ab
4、x3
16x
5、3ax2
3ay4
6、x2(2x
5)4(52x)
7、x34xy28、32x3y42x39、ma416mb4
10、8a(a1)22a311、ax416a12、16mx(ab)29mx(ab)2
题型(四):
利用因式分解解答下列各题
1、证明:
两个连续奇数的平方差是8的倍数。
2、计算
⑴75822582⑵42921712⑶3.5292.524
⑷(1
12)(1
12)(1
12)
(1
12)(1
1
2)
2
3
4
9
10
专题训练二:
利用完全平方公式分解因式
题型
(一):
把下列各式分解因式
1、x22x12、4a24a13、16y9y2
2
m22
4、1m5、x2x16、a8a16
7、14t4t28、m214m499、b222b121
10、y2
y
1
11、25m2
80m64
12、4a2
36a81
4
13、4p2
20pq25q2
14、x2
xyy2
15、4x2
y2
4xy
4
题型
(二):
把下列各式分解因式
1、(xy)26(xy)92、a22a(bc)(bc)2
3、412(xy)9(xy)24、(mn)24m(mn)4m2
5、(xy)4(xy1)
2
2
6、(a1)
4a(a1)4a
题型(三):
把下列各式分解因式
1、2xyx2
y2
2、4xy2
4x2yy3
3、a2a2
a3
题型(四):
把下列各式分解因式
1、1
x2
2xy2y2
2、x4
25x2y210x3y
2
3、ax2
2a2xa3
4、(x2
y2)2
4x2y2
5、(a2ab)2(3ab4b2)26、(xy)418(xy)281
7、(a21)24a(a21)4a28、a42a2(bc)2(bc)4
9、x48x2y216y410、(ab)28(a2b2)16(ab)2
题型(五):
利用因式分解解答下列各题
1、已知:
x12,y
8,求代数式1x2
xy
1
y2的值。
2
2
2、已知ab
2,ab
3
,求代数式a3b+ab3-2a2b2的值。
2
3、已知:
a、b、c为△ABC的三边,且a2b2c2abbcac0,
判断三角形的形状,并说明理由。
因式分解习题(三)
十字相乘法分解因式
(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2(ab)xab(xa)(xb)
方法的特征是“拆常数项,凑一次项”
当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;
当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
ax2bxca1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)
它的特征是“拆两头,凑中间”
当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;
常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意:
用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:
一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.
二、典型例题
例、分解因式:
x2
5x6
分析:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于
5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有
2×3的分解适合,即2+3=5。
1
2
解:
x2
5x
6=x2
(23)x23
1
3
=(x
2)(x3)
1×2+1×3=5
此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的和要等于一次项的系数。
例1、分解因式:
x2
7x
6
解:
原式=x2
[
(1)
(6)]x
(1)(6)
1
-1
=(x
1)(x
6)
1
-6
(-1)+(-6)=-7
练习1、分解因式
(1)x2
14x24
(2)a2
15a36
(3)x2
4x5
练习2、分解因式
(1)x2
x2
(2)y2
2y15
(3)x2
10x24
(二)二次项系数不为
1的二次三项式——
ax2
bx
c
条件:
(1)a
a1a2
a1
c1
(2)cc1c2
a2
c2
(3)ba1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
分解结果:
ax2
bx
c=(a1xc1)(a2x
c2)
例2、分解因式:
3x211x10
分析:
1
-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
解:
3x211x10=(x2)(3x5)
练习3、分解因式:
(1)5x27x6
(2)3x27x2
(3)10x217x3(4)6y211y10
(三)多字母的二次多项式
例3、分解因式:
a28ab128b2
分析:
将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解:
a2
8ab
128b2
=a2
[8b
(16b)]a
8b(16b)
=(a
8b)(a
16b)
练习4、分解因式
(1)x2
3xy
2y2
(2)m2
6mn8n2
(3)a2
ab6b2
例4、2x2
7xy
6y2
例10、x2y2
3xy
2
1
-2y
把xy看作一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=-7y
(-1)+(-2)=-3
解:
原式=(x
2y)(2x3y)
解:
原式=(xy
1)(xy2)
练习5、分解因式:
(1)15x2
7xy
4y2
(2)a2x2
6ax
8
综合练习
10、
(1)8x6
7x3
1
(2)12x2
11xy15y2
(3)(xy)23(xy)10(4)(ab)24a4b3
(5)x2y25x2y6x2(6)m24mn4n23m6n2
(7)x24xy4y22x4y3(8)5(ab)223(a2b2)10(ab)2
(9)4x24xy6x3yy210(10)12(xy)211(x2y2)2(xy)2
思考:
分解因式:
abcx2(a2b2c2)xabc
例5分解因式:
(x22x3)(x22x24)90.
例6、已知x46x2x12有一个因式是x2ax4,求a值和这个多项式的其他因式.
课后练习
一、选择题
1.如果x2
px
q
(x
a)(x
b),那么p等于
(
)
A.ab
B.a+b
C.-ab
D.-(a+b)
2.如果x2
(a
b)
x
5b
x2
x30,则b为
(
)
A.5
B.-6
C.-5
D.6
3.多项式x2
3x
a可分解为(x-5)(x-b),则a,b的值分别为
(
)
A.10和-2
B.-10和2
C.10和2
D.-10和-2
4.不能用十字相乘法分解的是
(
)
A.x2
x
2
B.3x2
10x2
3xC.4x2
x2
D.5x2
6xy8y2
5.分解结果等于(x+y-4)(2x+2y-5)的多项式是
(
)
A.2(x
y)2
13(x
y)
20
B.(2x
2y)2
13(xy)
20
C.2(x
y)2
13(x
y)
20
D.2(x
y)2
9(x
y)
20
6.将下述多项式分解后,有相同因式
x-1的多项式有
()
①x2
7x
6;
②3x2
2x1;
③x2
5x6;
④4x2
5x
9;
⑤
15x2
23x8;
⑥x4
11x2
12
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
二、填空题
7.x23x10
8.m25m6
__________.
(m+a)(m+b).a=__________,b=__________.
9.2x2
5x
3(x-3)(__________).
10.x2
____
2y2
(x-y)(__________).
11.a2
na
(_____)(________)2.
m
12.当k=______时,多项式3x27xk有一个因式为(__________).
13.若x-y=6,xy17,则代数式x3y2x2y2xy3的值为__________.
36
三、解答题
14.把下列各式分解因式:
(1)x47x26;
(2)x45x236;(3)4x465x2y216y4;
(4)a67a3b38b6;(5)6a45a34a2;(6)4a637a4b29a2b4.
15.把下列各式分解因式:
(1)(x2
3)2
4x2;
(2)x2(x2)2
9;
(3)(3x22x1)2(2x23x3)2;(4)(x2x)217(x2x)60;
(5)(x22x)27(x22x)8;(6)(2ab)214(2ab)48.
16.已知x+y=2,xy=a+4,x3y326,求a的值.
十字相乘法分解因式
题型
(一):
把下列各式分解因式
⑴x25x6⑵x25x6
⑶x25x6⑷x25x6
⑸a27a10⑹b28b20
⑺a2b22ab15⑻a4b23a2b18
题型
(二):
把下列各式分解因式
⑴a24ab3b2⑵x23xy10y2
⑶a27ab10b2⑷x28xy20y2
⑸x22xy15y2⑹x25xy6y2
⑺x24xy21y2⑻x27xy12y2
题型(三):
把下列各式分解因式
⑴(xy)24(xy)12⑵(xy)25(xy)6
⑶
⑸
⑺
(xy)28(xy)20⑷(xy)23(xy)28
(xy)29(xy)14⑹(xy)25(xy)4
(xy)26(xy)16⑻(xy)27(xy)30
题型(四):
把下列各式分解因式
⑴(x23x)22(x23x)8⑵(x22x)(x22x2)3
⑶3x318x2y48xy2⑷(x25x)22(x25x)24
⑸(x22x)(x22x7)8⑹x45x24
⑺x2y3xy210y3⑻a2b27ab310b4
因式分解习题(四)
分组分解因式
练习:
把下列各式分解因式,并说明运用了分组分解法中的什么方法.
(1)a2-ab+3b-3a;
(2)x2-6xy+9y2-1;
解
(3)am-an-m2+n2;(4)2ab-a2-b2+c2.
第
(1)题分组后,两组各提取公因式,两组之间继续提取公因式.
第
(2)题把前三项分为一组,利用完全平方公式分解因式,再与第四项运用平方差公式继续分解因式.
第(3)题把前两项分为一组,提取公因式,后两项分为一组,用平方差公式分解因式,然后两组之间再提取公因式.
第(4)题把第一、二、三项分为一组,提出一个“-”号,利用完全平方公式分解因式
,第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.
把含有四项的多项式进行因式分解时,先根据所给的多项式的特点恰当分解,再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时,要注意符号的变化.
这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.
二、新课
例1把am+bm+an-cm+bn-cn分解因式.
例2把a4b+2a3b2-a2b-2ab2分解因式.
例3把45m2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.
三、课堂练习
把下列各式分解因式:
(1)a2+2ab+b2-ac-bc;
(2)a2-2ab+b2-m2-2mn-n2;
(3)4a2+4a-4a2b+b+1;(4)ax2+16ay2-a-8axy;
五、作业
1.把下列各式分解因式:
(1)x3y-xy3;
(2)4x2-y2+2x-y;
(3)a4b-ab4;(4)x4y+2x3y2-x2y-2xy2;
(5)a4+a3+a
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