二次函数中考综合难题自己整理1208.docx
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二次函数中考综合难题自己整理1208
初中数学二次函数组卷
一.解答题(共28小题)
1.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大(总利润=总收入﹣总成本)?
2.(2004•长沙)如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作∠APE=∠B,交DC于E.
(1)求证:
△ABP∽△PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的长;
(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:
EC=5:
3?
如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.
3.如图所示,已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点(与A、D不重合),过点P作PE⊥CP交直线AB于点E,设PD=x,AE=y,
(1)写出y与x的函数解析式,并指出自变量的取值范围;
(2)如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍,求CE的长;
(3)是否存在点P,使△APE沿PE翻折后,点A落在BC上?
证明你的结论.
4.(2007•义乌市)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
5.如图,在直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(其中A在原点左侧,B在原点右侧),C为抛物线上一点,且直线AC的解析式为y=mx+2m(m≠0),∠CAB=45°,tan∠COB=2.
(1)求A、C的坐标;
(2)求直线AC和抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在点D,使得四边形ABCD为梯形?
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图,抛物线y=﹣
x2+bx+2交x轴于A、B两点(点B在点A的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=
,O为坐标原点.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求证:
∠ACB是直角;
(3)抛物线上是否存在点P,使得∠APB为锐角?
若存在,求出点P的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
7.(A)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=2时,y的值相等.直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQOC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围.
(3)对于二次三项式x2﹣10x+36,小明同学作出如下结论:
无论x取什么实数,它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法?
说明你的理由.
8.如图,抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:
|OA|=5:
1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?
若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
9.如图1,抛物线y=nx2﹣11nx+24n(n<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),抛物线上另有一点A在第一象限内,且∠BAC=90°.
(1)填空:
点B的坐标为( _________ ),点C的坐标为( _________ );
(2)连接OA,若△OAC为等腰三角形.
①求此时抛物线的解析式;
②如图2,将△OAC沿x轴翻折后得△ODC,点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点,且点M的横坐标为m,过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N,试探究:
当m为何值时,四边形AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大值.
10.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=O和x=4时,y的值相等.直线y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是3,另一点是这条抛物线的顶点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为线段OM上一点,过点P作PQ⊥x轴于点Q.若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合,但可以与点M重合),设OQ的长为t,四边形PQCO的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)随着点P的运动,四边形PQCO的面积S有最大值吗?
如果S有最大值,请求出S的最大值,并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状;如果S没有最大值,请简要说明理由;
(4)随着点P的运动,是否存在t的某个值,能满足PO=OC?
如果存在,请求出t的值.
11.已知:
关于x的方程mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3=0.
(1)当m取何整数值时,关于x的方程mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3=0的根都是整数;
(2)若抛物线y=mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3向左平移一个单位后,过反比例函数y=
(k≠0)上的一点(﹣1,3),
①求抛物线y=mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3的解析式;
②利用函数图象求不等式
﹣kx>0的解集.
12.已知:
关于x的一元二次方程mx2﹣(2m+n)x+m+n=0①.
(1)求证:
方程①有两个实数根;
(2)求证:
方程①有一个实数根为1;
(3)设方程①的另一个根为x1,若m+n=2,m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时,确定关于x的二次函数y=mx2﹣(2m+n)x+m+n的解析式;
(4)在(3)的条件下,把Rt△ABC放在坐标系内,其中∠CAB=90°,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),BC=5,将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在抛物线上时,求△ABC平移的距离.
13.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=0和x=2时,y的值相等.直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是4,另一点是这条抛物线的顶点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
14.如图,已知抛物线C1:
y=a(x+2)2﹣5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的横坐标是1;
(1)求a的值;
(2)如图,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,抛物线C3的顶点为M,当点P、M关于点O成中心对称时,求抛物线C3的解析式.
15.如图,已知△ABC内接于半径为4的☉0,过0作BC的垂线,垂足为F,且交☉0于P、Q两点.OD、OE的长分别是抛物线y=x2+2mx+m2﹣9与x轴的两个交点的横坐标.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在直线l,使它经过抛物线与x轴的交点,并且原点到直线l的距离是2?
如果存在,请求出直线l的解析式;如果不存在,请说明理由.
16.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(﹣2,﹣1),B(0,7)两点.
(1)求该抛物线的解析式及对称轴;
(2)当x为何值时,y>0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作x轴的垂线,垂足分别为F,E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.
17.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.
18.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点D.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)若点C在该抛物线上,使△ABD≌△BAC.求点C的坐标,及直线AC的函数表达式;
(3)P是
(2)中线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值.
19.(2004•哈尔滨)已知:
抛物线y=﹣x2﹣(m+3)x+m2﹣12与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<0,x2>0,抛物线与y轴交于点C,OB=2OA.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上,点A的左侧,求一点E,使△ECO与△CAO相似,并说明直线EC经过
(1)中抛物线的顶点D;
(3)过
(2)中的点E的直线y=
x+b与
(1)中的抛物线相交于M、N两点,分别过M、N作x轴的垂线,垂足为M′、N′,点P为线段MN上一点,点P的横坐标为t,过点P作平行于y轴的直线交
(1)中所求抛物线于点Q.是否存在t值,使S梯形MM'N'N:
S△QMN=35:
12?
若存在,求出满足条件的t值;若不存在,请说明理由.
20.(2008•莆田)如图,抛物线c1:
y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点P为线段BC上一点,过点P作直线l⊥x轴于点F,交抛物线c1点E.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)当点P在线段BC上运动时,求线段PE长的最大值;
(3)当PE为最大值时,把抛物线c1向右平移得到抛物线c2,抛物线c2与线段BE交于点M,若直线CM把△BCE的面积分为1:
2两部分,则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2?
21.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,且点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,3).
(1)求抛物线及直线AC的解析式;
(2)E、F是线段AC上的两点,且∠AEO=∠ABC,过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M,交x轴于点N.当MF=DE时,在x轴上是否存在点P,使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点,试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小(直接写出结果,不要求写出求解过程,但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围).
22.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,﹣3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段PQ=
AB时,求tan∠CED的值;
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
温馨提示:
考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.
23.已知,如图,抛物线y=
x2+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点(A在B的左侧),且与y轴交于点C,O为坐标原点,OB=4.
(1)直接写出点B,C的坐标及b的值;
(2)过射线CB上一点N,作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点,设点N的横坐标为t.
①当0<t<4时,求线段MN的最大值;
②以点N为圆心,NM为半径作⊙N,当点B恰好在⊙N上时,求此时点M的坐标.
24.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是﹣1,3(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
25.如图,抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D,与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的顶点D的坐标;
(2)经过点(0,4)且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点(M在N的左侧),以MN为直径作⊙P,过点D作⊙P的切线,切点为E,求点DE的长;
(3)上下平移
(2)中的直线MN,以MN为直径的⊙P能否与x轴相切?
如果能够,求出⊙P的半径;如果不能,请说明理由.
26.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,且与x轴有两个不同的交点,其中一个交点坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的关系式;
(2)在抛物线上有一点A,其横坐标为﹣2,直线l过点A并绕着点A旋转,与抛物线的另一个交点是点B,点B的横坐标满足﹣2<xB<
,当△AOB的面积最大时,求出此时直线l的关系式;
(3)抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与
(2)中△AOB的最大面积相等?
若存在,求出点C的横坐标;若不存在说明理由.
··
27.如图1,抛物线C1:
y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A、B,直线l:
y=﹣
x+b分别交x轴、y轴于S点和C点,抛物线C1的顶点E在直线l上.
(1)求直线l的解析式;
(2)如图2,将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2,抛物线C2的顶点F在直线l上,并交x轴于M、N两点,且tan∠EAB=
•tan∠FNM,求抛物线C1平移的距离;
(3)将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3,抛物线C3与x轴交于P、G两点(点P在点G的左侧),使得△PEF为直角三角形,求抛物线C3的解析式.
28.在直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧,B的坐标是(3,0).将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C.
(1)求k的值;
(2)求直线BC和抛物线的解析式;
(3)求△ABC的面积;
(4)设抛物线顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标.
一.选择题(共2小题)
29.如图,已知动点P在函数y=
(x>0)的图象上运动,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:
y=﹣x+1交于点E,F,则AF•BE的值为( )
A.
4
B.
2
C.
1
D.
30.如图,抛物线y=x2﹣
x﹣
与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( )
A.
B.
C.
D.
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