北师大版中考数学专题突破六《圆的有关计算》复习方案.docx
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北师大版中考数学专题突破六《圆的有关计算》复习方案
圆中有关计算
圆的中档解答题分值为5分,难度中等偏上,是每一位考生力争满分的题型之一,所考查知识点相对稳定,主要考查学生对圆、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.从题目本身来看,一般都采取标准的两问式子.2015年随着考试改革,本题的位置调整为23题,难度等同于去年.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
题号
20
21
23
考点
①圆周角
定理;
②切线的
判定;
③相似三
角形的
性质与
判定;
④解直角
三角形
①垂径
定理;
②切线的
判定与
性质;
③相似三
角形的
性质与
判定;
④解直角
三角形
①切线长
定理;
②相似三
角形的
性质和
判定;
③勾股
定理的
应用
①切线的
性质;
②等腰三
角形的
判定;
③全等三
角形的
性质与
判定;
④勾股
定理的
应用
①切线
的性
质;
②等边
三角形
的判定
和性质;
③勾股
定理的
应用
1.[2015·北京]如图Z6-1,AB是⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且=,连接AC,AD,延长AD交BM于点E.
(1)求证:
△ACD是等边三角形;
(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.
图Z6-1
2.[2014·北京]如图Z6-2,AB是⊙O的直径,C是的中点,⊙O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的中点,CE的延长线交切线BD于点F,AF交⊙O于点H,连接BH.
(1)求证:
AC=CD;
(2)若OB=2,求BH的长.
图Z6-2
3.[2013·北京]如图Z6-3,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.
(1)求证:
∠EPD=∠EDO;
(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长.
图Z6-3
4.[2012·北京]如图Z6-4,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:
BE与⊙O相切;
(2)连接AD并延长交BE于点F,若OB=9,sin∠ABC=,求BF的长.
图Z6-4
5.[2011·北京]如图Z6-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:
直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
图Z6-5
1.[2014·东城一模]如图Z6-6,AB是⊙O的直径,点E是上的一点,∠DAC=∠AED.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)若点E是的中点,连接AE交BD于点F,当BD=5,CD=4时,求DF的值.
图Z6-6
2.[2014·海淀一模]如图Z6-7,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,DF⊥AC于点F.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若cosC=,CF=9,求AE的长.
图Z6-7
3.[2014·西城一摸]如图Z6-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,连接OD,过点D作⊙O的切线,交AB的延长线于点E,交AC于点F.
(1)求证:
OD∥AC;
(2)当AB=10,cos∠ABC=时,求AF及BE的长.
图Z6-8
4.[2015·东城一模]如图Z6-9,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,过点D,A分别作⊙O的切线交于点G,且GD与AB的延长线交于点E.
(1)求证:
∠1=∠2;
(2)已知OF∶OB=1∶3,⊙O的半径为3,求AG的长.
图Z6-9
5.[2015·海淀二模]如图Z6-10,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上不同于A,B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD.过点C作CE⊥DB,垂足为E,直线AB与CE相交于点F.
(1)求证:
CF为⊙O的切线;
(2)当BF=5,sinF=时,求BD的长.
图Z6-10
6.[2015·青山区一模]如图Z6-11,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,E是的中点,连接AE交BC于点F,∠ACB=2∠EAB.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)若cosC=,AC=6,求BF的长.
图Z6-11
7.[2015·朝阳一模]如图Z6-12,△ABC内接于⊙O,AB为直径,点D在⊙O上,过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E,ED∥BC,连接AD交BC于点F.
(1)求证:
∠BAD=∠DAE;
(2)若AB=6,AD=5,求DF的长.
图Z6-12
8.[2015·丰台一模]如图Z6-13,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点P,连接PD.
(1)判断直线PD与⊙O的位置关系,并加以证明;
(2)连接CO并延长交⊙O于点F,连接FP交CD于点G.如果CF=10,cos∠APC=,求EG的长.
图Z6-13
9.[2015·海淀一模]如图Z6-14,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,过点C作⊙O与边AB相切于点E,交BC于点F,CE为⊙O的直径.
(1)求证:
OD⊥CE;
(2)若DF=1,DC=3,求AE的长.
图Z6-14
10.[2015·西城一模]如图Z6-15,AB为⊙O的直径,M为⊙O外一点,连接MA与⊙O交于点C,连接MB并延长交⊙O于点D,经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称.作BE⊥l于点E,连接AD,DE.
(1)依题意补全图形;
(2)在不添加新的线段的条件下,写出图中与∠BED相等的角,并加以证明.
图Z6-15
参考答案
北京真题体验
1.解:
(1)证明:
∵BM是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,
∴AB⊥BM.∵BM∥CD,∴AB⊥CD,
∴=,∴AD=AC.
∵=,∴DC=AD,
∴AD=CD=AC,
∴△ACD为等边三角形.
(2)∵△ACD为等边三角形,AB⊥CD,
∴∠DAB=30°.
连接BD.
∵AB为⊙O的直径,
∴BD⊥AD,∠EBD=∠DAB=30°.
∵DE=2,
∴BE=4,BD=2,AB=4,OB=2.
在Rt△OBE中,
OE===2.
2.解:
(1)证明:
如图,连接OC.
∵C是的中点,AB是⊙O的直径,
∴OC⊥AB.
∵BD是⊙O的切线,∴BD⊥AB,
∴OC∥BD.
∵AO=BO,∴AC=CD.
(2)∵E是OB的中点,
∴OE=BE.
在△COE与△FBE中,
∠CEO=∠FEB,OE=BE,∠COE=∠FBE,
∴△COE≌△FBE(ASA),
∴CO=BF.
∵OB=2,∴BF=OC=2,
∴AF==2.
∵AB是⊙O的直径,∴BH⊥AF,
∴△ABF∽△BHF,∴AB·BF=AF·BH,
∴BH===.
3.解:
(1)证明:
∵PA,PC与⊙O分别相切于点A,C,
∴∠APO=∠EPD,PA⊥AO,即∠PAO=90°.
∵∠AOP=∠EOD,∠PAO=∠E=90°,
∴∠APO=∠EDO,
∴∠EPD=∠EDO.
(2)连接OC.
∵PA=PC=6,tan∠PDA=,
∴在Rt△PAD中,AD=8,PD=10,
∴CD=4.
∵tan∠PDA=,
∴在Rt△OCD中,OC=3,OD=5.
∵∠EPD=∠EDO,∴△OED∽△DEP,
∴===,∴DE=2OE.
在Rt△OED中,OE2+DE2=52,
∴OE=.
4.解:
(1)证明:
连接OC.
∵EC与⊙O相切,C为切点,
∴∠ECO=90°.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.
∵OD⊥BC,∴DB=DC,
∴直线OE是线段BC的垂直平分线,
∴EB=EC,∴∠ECB=∠EBC,
∴∠ECO=∠EBO,即∠EBO=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴BE与⊙O相切.
(2)过点D作DM⊥AB于点M,则DM∥FB.
在Rt△ODB中,
∵∠ODB=90°,OB=9,sin∠ABC=,
∴OD=OB·sin∠ABC=6.
由勾股定理,得BD==3.
在Rt△DMB中,同理得
DM=BD·sin∠ABC=2,
BM==5.
∵O是AB的中点,∴AB=18,
∴AM=AB-BM=13.
∵DM∥FB,∴△AMD∽△ABF,
∴=,
∴BF==.
5.解:
(1)证明:
如图,连接AE.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,∴∠1=∠CAB.
∵∠CBF=∠CAB,∴∠1=∠CBF,
∴∠CBF+∠2=90°,
即∠ABF=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)如图,过点C作CG⊥AB于点G.
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=.
∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB·sin∠1=.
∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE=2,
∴sin∠2=,cos∠2=.
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3.
∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF,∴=,
∴BF==.
北京专题训练
1.解:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠B=∠AED=∠CAD,∠C=∠C,
∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°,
∴∠BAC=∠ADC=90°.
又∵AB是⊙O的直径,
∴AC是⊙O的切线.
(2)可证△ADC∽△BAC,
∴=,即AC2=BC·CD=36.
解得AC=6.
∵E是的中点,
∴∠DAE=∠BAE.
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD,
∴CA=CF=6,
∴DF=CF-CD=2.
2.解:
(1)证明:
如图,连接OD,AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵AB=AC,
∴D为BC的中点.
又∵O为AB的中点,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD.
又∵OD为⊙O的半径,
∴DF为⊙O的切线.
(2)如图,连接BE.∵DF⊥AC,CF=9,
∴cosC=,
∴CD==9÷=15.
∵∠ADB=90°,
∴∠ADC=90°,
∴cosC=,
∴AC==15÷=25.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
又∵DF⊥AC,
∴DF∥BE,
∴==1,
∴EF=CF=9,
∴AE=AC-EF-CF=25-9-9=7.
3.解:
(1)证明:
如图,连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
又∵OA=OD,
∴∠1=∠ODA,
∴∠2=∠ODA,
∴OD∥AC.
(2)∵EF是⊙O的切线,
∴∠ODE=90°.
由
(1)知OD∥AC,∠1=∠2,∠ADB=90°,
∴∠AFE=∠ODE=90°,∠ADF=∠ABC.
在Rt△ADB中,AB=10,cos∠ABC=,
∴AD=4,BD=2,OD=5.
在Rt△AFD中,cos∠ADF=cos∠ABC=,
∴DF=4,∴AF=8.
∵OD∥AC,∴=,
即=,
∴BE=.
4.解:
(1)证明:
如图,连接OD.
∵DE为⊙O的切线,OD为⊙O的半径,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°,
即∠2+∠ODC=90°.
∵OC=OD,
∴∠C=∠ODC,
∴∠2+∠C=90°.
而OC⊥OB,
∴∠3+∠C=90°,
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3,
∴∠1=∠2.
(2)∵OF∶OB=1∶3,⊙O的半径为3,
∴OF=1.
∵∠1=∠2,∴EF=ED.
在Rt△ODE中,OD=3,设DE=x,则EF=x,OE=1+x.
∵OD2+DE2=OE2,
∴32+x2=,解得x=4,
∴DE=4,OE=5.
∵AG为⊙O的切线,OA为⊙O的半径,GD为⊙O的切线,
∴AG⊥AE,GA=GD,
∴∠GAE=90°.
在Rt△AGE中,设DG=AG=t,则GE=t+4.
∵AG2+AE2=GE2,
∴t2+82=,解得t=6,
∴AG=6.
5.
解:
(1)证明:
如图,连接OC.
∵OA=OC,∴∠1=∠2.
又∵∠3=∠1+∠2,
∴∠3=2∠1.
又∵∠4=2∠1,∴∠4=∠3,
∴OC∥DB.
∵CE⊥DB,∴OC⊥CF.
又∵OC为⊙O的半径,∴CF为⊙O的切线.
(2)如图,连接AD.
在Rt△BEF中,∠BEF=90°,BF=5,sinF=,
∴BE=3.
∵OC∥BE,∴△FBE∽△FOC,
∴=.
设⊙O的半径为r,
∴=,
解得r=.
∵AB为⊙O的直径,∴AB=15,∠ADB=90°.
∵∠4=∠EBF,∴∠F=∠BAD,
∴sin∠BAD==sinF=,
∴=,
∴BD=9.
6.解:
(1)证明:
如图,连接AD.
∵E是的中点,
∴=,
∴∠EAB=∠EAD.
∵∠ACB=2∠EAB,
∴∠ACB=∠DAB.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAC+∠ACB=90°,
∴∠DAC+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
∴AC⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径,
∴AC是⊙O的切线.
(2)如图,过点F作FH⊥AB于点H.
在Rt△ACD中,∵cosC==,AC=6,
∴CD=×6=4.
在Rt△ACB中,∵cosC==,
∴BC=×6=9,
∴BD=BC-CD=9-4=5.
∵∠EAB=∠EAD,即AF平分∠BAD,
而FD⊥AD,FH⊥AB,
∴FD=FH.
设BF=x,则DF=FH=5-x.
∵FH∥AC,
∴∠HFB=∠C.
在Rt△BFH中,∵cos∠BFH=cosC==,
∴=,解得x=3,
即BF的长为3.
7.解:
(1)如图,连接OD.
∵ED为⊙O的切线,
∴OD⊥ED.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵BC∥ED,
∴∠ACB=∠E=∠EDO=90°,
∴AE∥OD,
∴∠DAE=∠ADO.
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠BAD=∠DAE.
(2)如图,连接BD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=6,AD=5,
∴BD==.
∵∠BAD=∠DAE=∠CBD,
∴tan∠CBD=tan∠BAD=.
在Rt△BDF中,
∴DF=BD·tan∠CBD=.
8.解:
(1)PD与⊙O相切.
证明:
如图,连接OD.
∵在⊙O中,OD=OC,AB⊥CD于点E,
∴∠1=∠2.又∵OP=OP,∴△OCP≌△ODP,
∴∠OCP=∠ODP.
又∵PC切⊙O于点C,OC为⊙O的半径,
∴OC⊥PC,
∴∠OCP=90°,∴∠ODP=90°,∴OD⊥PD.
又∵点D在⊙O上,
∴PD与⊙O相切于点D.
(2)如图,过点F作FM⊥AB于点M.
∵∠OCP=90°,CE⊥OP于点E,
∴∠3+∠4=90°,∠APC+∠4=90°,
∴∠3=∠APC.
∵cos∠APC=,∴Rt△OCE中,cos∠3==.
∵CF=10,∴OF=OC=CF=5,
∴CE=4,OE=3.
又∵FM⊥AB,AB⊥CD,∴∠FMO=∠CEO=90°.
∵∠5=∠1,OF=OC,∴△OFM≌△OCE,
∴FM=CE=4,OM=OE=3.
∵在Rt△OCP中,cos∠APC==,
设PC=4k,OP=5k,∴OC=3k.
∴3k=5,解得k=.∴OP=.
∴PE=OP-OE=,PM=OP+OM=.
又∵∠FMO=∠GEP=90°,∴FM∥GE,
∴△PGE∽△PFM,∴=,即=,
∴GE=.
9.解:
(1)证明:
∵⊙O与边AB相切于点E,且CE为⊙O的直径,
∴CE⊥AB.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC.
又∵OE=OC,
∴OD∥EB,
∴OD⊥CE.
(2)如图,连接EF.
∵CE为⊙O的直径,且点F在⊙O上,
∴∠EFC=90°.
∵CE⊥AB,
∴∠BEC=90°,
∴∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°,
∴∠BEF=∠ECF,
∴tan∠BEF=tan∠ECF,
∴=.
又∵DF=1,BD=DC=3,
∴BF=2,FC=4,
∴EF=2.
∵∠EFC=90°,
∴∠BFE=90°.
由勾股定理,得BE==2.
∵EF∥AD,
∴==,
∴AE=.
10.解:
(1)依题意,补全图形如图.
(2)图中与∠BED相等的角为∠BAD.
证明:
如图,连接BC,CD.
∵直线l与直线MA关于直线MD对称,
∴∠1=∠2.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥MA.
又∵BE⊥l,∴易证△MBC≌△MBE,
∴MC=ME.
又∵C,E两点分别在直线MA与直线l上,
∴C,E两点关于直线MD对称.
∴∠3=∠BED.
又∵∠3=∠BAD,
∴∠BAD=∠BED.
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