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高考数学题型方法
概述(文)
第一章.集合与逻辑用语(5分)1
第一部分集合1
★题型1 集合及其关系1
★★题型2集合的基本运算1
第二部分逻辑用语1
★题型1四种命题及其关系1
★★题型2充分必要条件的判定2
★★题型3含逻辑联结词的命题的真假判断2
★题型4含有一个量词的否定2
★题型5全称命题、特称命题的真假判断3
第二章.函数与导数(22分)3
第一部分函数3
★题型1求函数的定义域3
★题型2求函数的解析式3
★题型3分段函数的应用4
★题型4确定函数的单调性4
★★题型5函数奇偶性的判断及其应用4
★★题型6函数的周期性及其应用5
★★★题型7函数的对称性及其应用5
★题型8指数函数的图象与性质6
★★题型9对数的运算6
★题型10对数函数的图像与性质6
★★题型11指数函数、对数函数的综合应用7
★题型12二次函数的图象、性质及应用7
★★题型13二次函数在给定区间上的最值7
★题型14幂函数的图象、性质及应用8
★★★题型15函数图象的辨识8
★★题型16函数图象的应用8
★★题型17函数零点的判断与求解9
★★题型18函数零点的应用9
第二部分导数9
★题型1导数的运算9
★题型2导数的几何意义及其应用10
★★题型3利用导数研究函数的单调性10
★题型4利用导数研究函数的极值和最值11
★★★题型5利用导数解决不等式问题11
★★★题型6利用导数研究函数的零点11
第三章.三角函数(15or17分)12
第一部分三角函数12
★题型1三角函数定义及其应用12
★题型2同角关系及其应用12
★题型4利用三角函数图象求解析式12
★题型5三角函数的图象变换及其应用12
★★题型6三角函数性质及其应用13
★题型7三角函数最值问题13
★★★题型8利用正、余弦定理求边角13
★★题型9判定三角形形状14
★★题型10利用正、余弦定理求有关三角形的面积14
★★题型11解三角形在实际问题中的应用14
第四章.平面向量与复数(10分)14
第一部分平面向量14
★题型1平面向量的线性运算14
★题型2共线向量定理、平面向量基本定理及应用15
★题型3平面向量坐标运算的应用15
★题型4平面向量的垂直与夹角15
★★题型5平面向量的模及其应用16
第二部分复数16
★题型1复数的概念及运算16
★★题型2复数的几何意义与模长16
第六章.数列(10分or12分)17
第一部分等差数列17
★题型1等差数列的性质及基本运算17
★★★题型2等差数列的判定17
★★题型3等差数列前n项和的最值问题18
第二部分等比数列18
★题型1等比数列基本量的求解18
★题型2等比数列的性质及应用18
★★★题型3等比数列的判定与证明18
第三部分一般数列19
★★题型1由递推公式求通项公式19
★★题型2由Sn和an的关系求通项20
★题型3数列的单调性及其应用20
★题型4公式法求和20
★★题型5错位相减法求和20
★★★题型6裂项法求和21
★★题型7等差数列与等比数列的综合问题21
★★题型8数列的实际应用21
第七章.不等式(10分)21
★题型1不等式的性质及应用22
★题型2一元二次不等式及分式不等式的解法22
★★题型3含参数的一元二次不等式问题23
★题型4一元二次不等式的恒成立问题23
★★题型5二元一次不等式(组)表示的平面区域23
★★题型6线性规划的相关问题24
★★题型7线性规划的实际应用24
★题型8利用基本不等式求最值24
★题型9基本不等式的实际应用25
第八章.立体几何(22分)25
★★题型1空间几何体的三视图与原图25
★题型2空间几何体的三视图与体积25
★★★题型3空间几何体的三视图与表面积26
★题型4空间点线面的位置关系判断26
★题型5异面直线所成角26
★★题型6线面平行的判定与性质26
★题型7面面平行的判定与性质27
★★题型8线面垂直的判定与性质27
★题型9面面垂直的判定与性质27
★★题型10线面角、二面角的求法28
第九章.解析几何(22分)28
第一部分直线与圆28
★题型1 直线及其方程28
★题型2 两直线的位置关系29
★题型3 圆的方程的确定与应用29
★★题型4 直线与圆、圆与圆的位置关系的确定与应用30
★★★题型5 直线与圆的综合问题31
第二部分椭圆31
★题型1 椭圆定义的应用31
★★题型2 求椭圆的标准方程31
★题型3 椭圆几何性质的应用32
第三部分双曲线32
★题型1 双曲线定义的应用32
★题型2 求双曲线的标准方程32
★题型3 双曲线几何性质及其应用33
第四部分抛物线33
★题型1 抛物线定义的应用33
★★题型2 抛物线的标准方程与几何性质34
★题型3 抛物线与其他曲线的综合34
第五部分直线与圆锥曲线的位置关系34
★★★题型1 与弦长、面积有关的问题34
★★题型2 弦中点问题35
★★题型3 与弦端点有关的向量问题35
★★题型4 曲线与方程35
★★★题型5 定点、定值、定线问题36
★★★题型6 最值与范围问题37
★★★题型7 存在性问题37
第十章.概率与统计(17分)37
第一部分概率37
★题型1随机事件的频率与概率37
★题型2互斥事件与对立事件的概率38
★题型3古典概型38
★题型4与长度(角度)有关的几何概型38
★★题型5与面积(体积)有关的几何概型38
第二部分统计与统计案例39
★题型1三种抽样方法及其应用39
★题型2统计图表39
★题型3用样本数字特征估计总体39
★题型4统计与概率的综合应用40
★题型5线性回归方程及其应用40
★题型6独立性检验40
第十一章.算法初步、推理证明(5分)40
★★题型1程序框图41
★题型2类比推理的应用41
★题型3归纳推理的应用41
★题型4演绎推理的运用41
★题型5分析法的应用42
★题型6综合法与分析法的综合运用42
★题型7反证法42
第十二章.坐标系与参数方程(10分)42
★题型1极坐标与直角坐标的互化42
★★题型2极坐标方程的综合应用43
★题型3参数方程与普通方程的互化43
★★题型4参数方程与极坐标方程的互化43
第十三章.不等式选讲(10分)44
★题型1绝对值不等式的解法44
★★题型2与绝对值不等式有关的最值问题44
★★★题型3证明不等式44
★★★题型4利用柯西不等式,基本不等式求最值45
第一章.集合与逻辑用语(5分)
第一部分集合
★题型1 集合及其关系
1.与集合中元素有关问题的解法
(1)确定集合的元素是什么,即是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
2.有关集合关系判断的解答策略
(1)集合中元素的互异性,可以作为解题的依据和突破口.
(2)对于解集关系问题,往往利用数轴进行分析.
(3)求解含参数的方程或不等式时,要对参数进行分类讨论.
在用数轴表示集合间的关系时,其端点能否取到一定要注意用回代检验的方法来确定.如果两个集合的端点相同,两个集合是否能同时取到端点往往决定集合之间的关系.
★★题型2集合的基本运算
解决集合运算问题的方法
在进行集合运算时,要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化.
(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算,常采用Venn图法解决,此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义.
(2)用描述法表示的数集进行运算,常采用数轴分析法解决,此时要注意“端点”能否取到.
(3)若给定的集合是点集,常采用数形结合法求解.
第二部分逻辑用语
★题型1四种命题及其关系
四种命题的关系及真假判断
(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再分析每个命题的条件与结论之间的关系,要注意四种命题关系的相对性.
(2)判断命题真假的关键:
一是识别命题的构成形式;二是将命题简化,对等价的简化命题进行判断.要判断一个命题是假命题,只需举出反例.
★★题型2充分必要条件的判定
充分、必要条件的判断方法
(1)利用定义判断:
直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.
(2)从集合的角度判断:
利用集合中包含思想判定.
(3)利用等价转化法:
条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假.
在判断充分、必要条件时需要注意:
(1)确定条件是什么、结论是什么;
(2)尝试从条件推导结论,从结论推导条件;(3)确定条件是结论的什么条件.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分必要性的问题.
★★题型3含逻辑联结词的命题的真假判断
1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断命题p,q的真假;
(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假.
(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(綈p)∧(綈q)真.
(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(綈p)∨(綈q)假.
(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真.
(5)綈p真⇔p假;綈p假⇔p真.
★题型4含有一个量词的否定
对含有一个量词的命题进行否定的方法
(1)全称命题“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x∈M,綈p(x)”;特称命题“∃x∈M,p(x)”的否定为“∀x∈M,綈p(x)”.
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作:
①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词;②将结论加以否定.
这类问题常见的错误是没有变换量词,或者对于结论没给予否定.有些命题中的量词不明显,应注意挖掘其隐含的量词.
★题型5全称命题、特称命题的真假判断
1.判定全称命题真假的方法
(1)定义法:
对给定的集合中的每一个元素x,p(x)都为真,则全称命题为真.
(2)特值法:
在给定的集合内找到一个x0,使p(x0)为假,则全称命题为假.
2.判定特称命题真假的方法
特值法:
在给定的集合中找到一个x0,使p(x0)为真,则特称命题为真,否则命题为假.
第2章.函数与导数(22分)
第一部分函数
★题型1求函数的定义域
求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式:
构建使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
(3)实际问题:
既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
(1)求定义域时对于解析式先不要化简;
(2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.
★题型2求函数的解析式
求函数解析式的常见方法
(1)待定系数法:
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),根据函数类型设出函数解析式,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可.
(2)换元法:
已知f(h(x))=g(x)求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,求出f(t)的解析式,再将t替换为x即可.
(3)转化法:
已知某区间上的解析式,求其他区间上的解析式,将待求变量转化到已知区间上,利用函数满足的等量关系间接获得其解析式.
(4)解方程组法:
已知关于f(x)与f
(或f(-x))的表达式,可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x).
★题型3分段函数的应用
分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数的解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)
应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.
当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.
★题型4确定函数的单调性
判断函数单调性(单调区间)的常用方法
(1)定义法:
先求定义域,再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论.
(2)图象法:
若函数是以图象形式给出的,或者函数的图象可作出,可由图象的升、降写出它的单调性(区间).
(3)复合函数法:
适用于形如y=f(φ(x))的复合函数,具体规则如下表:
函数
增减情况
内函数t=φ(x)
增
增
减
减
外函数y=f(t)
增
减
增
减
y=f(φ(x))
增
减
减
增
y=f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断,即内外函数的单调性相同时,为增函数;单调性不同时为减函数.
(4)导数法:
先求导,再确定导数值的正负,由导数的正负得函数的单调性(区间).
(5)性质法:
利用函数单调性的有关结论,确定简单的初等函数的单调性.
★★题型5函数奇偶性的判断及其应用
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
①对于较复杂的解析式,可先对其进行化简,再利用定义进行判断,同时应注意化简前后的等价性.
②所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.
(2)图象法
2.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
★★题型6函数的周期性及其应用
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:
若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
★★★题型7函数的对称性及其应用
函数的对称性常见的结论
(1)函数y=f(x)关于x=
对称⇔f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)=f(b+a-x).
特殊:
函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x);
函数y=f(x)关于x=0对称⇔f(x)=f(-x)(即为偶函数).
(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a+x)+f(-x)=2b.
特殊:
函数y=f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=0⇔f(2a+x)+f(-x)=0;
函数y=f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)+f(-x)=0(即为奇函数).
(3)y=f(x+a)是偶函数⇔函数y=f(x)关于直线x=a对称;
y=f(x+a)是奇函数⇔函数y=f(x)关于点(a,0)对称.
★题型8指数函数的图象与性质
与指数函数有关问题的解题思路
(1)求解指数型函数的图象与性质问题
对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.
(2)求解指数型方程、不等式问题
一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题时,首先,要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.
指数函数的单调性是由底数a决定的,因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.
★★题型9对数的运算
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
★题型10对数函数的图像与性质
1.利用对数函数的图象可求解的两类问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
2.与对数函数有关的复合函数问题的求解策略
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题,首先要确定函数的定义域,所有问题必须在定义域内讨论;其次分析底数与1的大小关系,底数大于1与底数小于1的两个函数的性质截然不同;最后考虑复合函数的构成,分析它是由哪些基本初等函数复合而成的.
★★题型11指数函数、对数函数的综合应用
1.对数值大小比较的主要方法
(1)化同底数后利用函数的单调性;
(2)化同真数后利用图象比较;
(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.
2.解决不等式有解或恒成立问题的方法
对于较复杂的不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体做法为:
(1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x);
(2)在同一坐标系下作出两函数y=f(x)及y=g(x)的图象;
(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况.
★题型12二次函数的图象、性质及应用
与二次函数图象有关问题的求解策略
(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手.
(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时,要尽量规范作图,尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚,这样在解题时才不易出错.
★★题型13二次函数在给定区间上的最值
求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数f(x)=ax2+bx+c(不妨设a>0)在区间[m,n]上的最大或最小值的求法如下:
(1)当-
∈[m,n],即对称轴在所给区间内时,f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f
=
;若-
≤
,f(x)的最大值为f(n);若-
≥
,f(x)的最大值为f(m).
(2)当-
∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时,f(x)在[m,n]上是单调函数.若-
,f(x)在[m,n]上是减函数,f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m). (3)当不能确定对称轴- 是否属于区间[m,n]时,则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述 (1) (2)两种情形求最值. ★题型14幂函数的图象、性质及应用 幂函数的图象与性质问题的解题策略 (1)关于图象辨识问题,关键是熟悉各类幂函数的图象特征,如过特殊点、凹凸性等. (2)关于比较幂值大小问题,结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较或应用. (3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时,常用数形结合的思想方法,即在同一坐标系下画出两函数的图象,数形结合求解. ★★★题型15函数图象的辨识 辨识函数图象的两种方法 (1)直接根据函数解析式作出函数图象,或者是根据图象变换作出函数的图象; (2)利用间接法,排除、筛选错误与正确的选项,可以从如下几个方面入手: ①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; ②从函数的单调性,判断图象的变化趋势; ③从函数的奇偶性,判断图象的对称性: 如奇函数在对称的区间上单调性一致,偶函数在对称的区间上单调性相反; ④从函数的周期性,判断图象的循环往复; ⑤从特殊点出发,排除不符合要求的选项. 灵活应用上述方法,可以很快判断出函数的图象. ★★题型16函数图象的应用 函数图象在方程、不等式中的应用策略 (1)研究两函数图象的交点个数: 在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解; (2)确定方程根的个数: 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标; (3)研究不等式的解: 当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解. 利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合,因此作出的函数图象一定要准确. ★★题型17函数零点的判断与求解 1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程: 当函数对应的方程易求解时,可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.判断函数零点个数的方法 (1)直接法: 解方程f(x)=0,方程有几个解,函数f(x)就有几个零点; (2)图象法: 画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数; (3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差,从而f(x)=0⇔h(x)-g(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数即为函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式Δ来判断. ★★题型18函数零点的应用 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法: 直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法: 先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决; (3)数形结合法: 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 第二部分导数 ★题型1导数的运算 导数运算
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