北师大版初中数学定理知识点汇总.docx
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北师大版初中数学定理知识点汇总
北师大版初中数学定理知识点汇总[八年级(上册)
第一章勾股定理
※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。
即:
(由直角三角形得到边的关系),<如图1所示>
如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。
满足条件的三个正整数,称为勾股数。
常见的勾股数组有:
(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(20,21,29);(9,40,41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)
第二章 实数
※算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作。
0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a≥0时,a才有算术平方根。
※平方根:
一般地,如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根。
※正数有两个平方根(一正一负);0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。
※正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
第三章 图形的平移与旋转
平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定距离,这样的图形运动称为平移。
平移的基本性质:
经过平移,对应线段、对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等。
旋转:
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫旋转中心,转动的角度叫旋转角。
旋转的性质:
旋转后的图形与原图形的大小和形状相同;
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;
对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。
(例:
如图2所示,点D、E、F分别为点A、B、C的对应点,经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。
)
第四章四平边形性质探索
※平行四边的定义:
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
※平行四边形的性质:
平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:
具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:
具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)
※矩形的判定:
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义:
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)
※正方形常用的判定:
有一个内角是直角的菱形是正方形;
邻边相等的矩形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):
※梯形定义:
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※多边形内角和:
n边形的内角和等于(n-2)•180°
※多边形的外角和都等于360°
※在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图开叫做中心对称图形。
※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。
第五章位置的确定
※平面直角坐标系概念:
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,水平的数轴叫x轴或横轴;铅垂的数轴叫y轴或纵轴,两数轴的交点O称为原点。
※点的坐标:
在平面内一点P,过P向x轴、y轴分别作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标,则有序实数对(a、b)叫做P点的坐标。
※在直角坐标系中如何根据点的坐标,找出这个点(如图4所示),方法是由P(a、b),在x轴上找到坐标为a的点A,过A作x轴的垂线,再在y轴上找到坐标为b的点B,过B作y轴的垂线,两垂线的交点即为所找的P点。
※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系?
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便,一般地没有明确的方法,但有以下几条常用的方法:
①以某已知点为原点,使它坐标为(0,0);②以图形中某线段所在直线为x轴(或y轴);③以已知线段中点为原点;④以两直线交点为原点;⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。
※图形“纵横向伸缩”的变化规律:
A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别变成原来的n倍时,所得的图形比原来的图形在横向:
①当n>1时,伸长为原来的n倍;②当0 B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别变成原来的n倍时,所得的图形比原来的图形在纵向: ①当n>1时,伸长为原来的n倍;②当0 ※图形“纵横向位置”的变化规律: A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别加上a,所得的图形形状、大小不变,而位置向右(a>0)或向左(a<0)平移了|a|个单位。 B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别加上b,所得的图形形状、大小不变,而位置向上(b>0)或向下(b<0)平移了|b|个单位。 ※图形“倒转与对称”的变化规律: A、将图形上各个点的横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,所得的图形与原来的图形关于x轴对称。 B、将图形上各个点的纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,所得的图形与原来的图形关于y轴对称。 ※图形“扩大与缩小”的变化规律: 将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍(n>0),所得的图形与原图形相比,形状不变;①当n>1时,对应线段大小扩大到原来的n倍;②当0 第六章 一次函数 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。 特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。 ※正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线。 ※在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。 第七章二元一次方程组 ※含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。 ※解二元一次方程组: ①代入消元法; ②加减消元法(无论是代入消元法还是加减消元法,其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”,所谓之“消元”) ※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤: ①设未知数(在设未知数时,大多数情况只要设问题为x或y;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);②寻找等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程)。 ※处理问题的过程可以进一步概括为: 第八章数据的代表 ※加权平均数: 一组数据的权分加为,则称为这n个数的加权平均数。 (如: 对某同学的数学、语文、科学三科的考查,成绩分别为72,50,88,而三项成绩的“权”分别为4、3、1,则加权平均数为: ) ※一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 ※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 ※众数着眼于对各数据出现次数的考察,中位数首先要将数据按大小顺序排列,而且要注意当数据个数为奇数时,中间的那个数据就是中位数;当数据个数为偶数时,居于中间的两个数据的平均数才是中位数,特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的,但众数则不一定是唯一的。 因式分解总复习 一、知识结构 因式分解 二、注意事项: 1.因式分解与整式乘法 (1)因式分解与整式乘法互为逆运算。 如 又如: (2)什么时候用整式乘法,什么时候用因式分解,是根据需要而决定的。 如把(x-1)(x-2)-6分解因式,必须先做乘法,得 (x-1)(x-2)-6=(x2-3x+2)-6=x2-3x-4=(x-4)(x+1) 又如,计算(x+y)2-(x-y)2,一般不是按照运算顺序先做整式乘法,而是先因式分解,得 (x+y)2-(x-y)2 =[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)] =2x·2y =4xy 2.关于因式分解的要求: (1)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 例如x4-1=(x2+1)(x2-1),就不符合因式分解的要求,因为(x2-1)还能分解成(x+1)(x-1)。 (2)在没有特别规定的情况下,因式分解是在有理数范围内进行的。 3.因式分解的一般步骤: 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。 (1)一“提”: 先看多项式的各项是否有公因式,若有必须先提出来。 (2)二“套”: 若多项式的各项无公因式(或已提出公因式),第二步则看能不能用公式法或按x2+(p+q)x+pq型分解。 (3)三“分”: 若以上两步都不行,则应考虑分组分解法,将能用上述方法进行分解的项分到一组,使之分组后能“提”或能“套”。 (4)四“查”: 可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。 只有养成良好的思维习惯,解题时才能少走弯路。 因式分解综合测试 一、填空题 (1)x2+2x-15=(x-3)(_____) (2)6xy-x2-5y2=-(x-y)(_____). (3)________=(x+2)(x-3). (4)分解因式x2+6x-7=__________. (5)若多项式x2+bx+c可分解为(x+3)(x-4),则b=_____,c=_____. (6)若x2+7x=18成立,则x值为_____。 (7)若x2-3xy-4y2=0,且x+y≠0,则x=_____. (8)(x-y)2+15(x-y)+14=(_____+1)(x-y+_____). (9)多项式x2+3x+2,x2-2x-8,x2+x-2的公因式为_____。 (10)已知a,b为整数,且m2-5m-6=(m+a)(m+b),则a=_____,b=_____. 二、选择题 (1)若x2+2x+y2-6y+10=0,则下列结果正确的是( )。 A、x=1,y=3 B、x=-1,y=-3 C、x=-1,y=3 D、x=1,y=-3 (2)若x2-ax-15=(x+1)(x-15),则a的值是( )。 A、15 B、-15 C、14 D、-14 (3)如果3a-b=2,那么9a2-6ab+b2等于( )。 A、2 B、4 C、6 D、8 (4)若x+y=4,x2+y2=6,则xy的值是( )。 A、10 B、5 C、8 D、4 (5)分解因式(x2+2x)2+2(x2+2x)+1的正确结果是( )。 A、(x2+2x+1)2 B、(x2-2x+1)2 C、(x+1)4 D、(x-1)4 (6)-(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果( )。 A、4x2-y2 B、4x2+y2 C、-4x2-y2 D、-4x2+y2 (7)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值应为( )。 A、-5 B、7 C、-1 D、7或-1 (8)已知x3-12x+16有一个因式为x+4,把它分解因式后应当是( )。 A、(x+4)(x-2)2 B、(x+4)(x2+x+1) C、(x+4)(x+2)2 D、(x+4)(x2-x+1) 三、因式分解 (1)x(x+y+z)+yz (2)x2m+xm+ (3)a2b2-a2-b2-4ab+1 (4)a2(x-y)2-2a(x-y)3+(x-y)4 (5)x4-6x2+5 (6)x4-7x2+1 (7)3a8-48b8 (8)x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz 四、解答题 1.已知a2+9b2-2a+6b+2=0,求a,b的值。 2.求证: 不论x取什么有理数,多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数。 3.已知n为正整数,试证明(n+5)2-(n-1)2的值一定被12整除。 4.已知x+y=4,xy=3,求 (1)3x2+3y2; (2)(x-y)2. 5.设a>0,b>0,c>0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数,求证: a2-b2-c2-2bc<0. 五、利用因式分解计算: (1)已知长方形的周长是16cm,它的两边长a、b是整数,满足a-b-a2+2ab-b2+2=0,求长方形面积。 (2)如图1,一条水渠,其横断面为梯形,根据图中的长度,求出横断面面积的代数式,并计算出当a=2,b=0.8时的面积。 (3)如图2,在半径为R的圆形钢板上,冲去半径为r的四个小圆,利用因式分解计算当R=7.8cm,r=1.1cm时剩余部分的面积(π取3.14,结果保留三位有效数字)。 答案: 一、 (1)x+5 (2)x-5y (3)x2-x-6 (4)(x+7)(x-1) (5)-1,-12 (6)-9或2 (7)4y (8)x-y,14 (9)x+2 (10)-6或1,1或-6 二、 (1)C (2)C (3)B (4)B (5)C (6)D (7)D (8)A 三、 (1)(x+y)(x+z) (2)(xm+)2 (3)(ab-1-a-b)(ab-1+a+b) (4)(x-y)2(a-x+y)2 (5)(x+1)(x-1)(x2-5) (6)(x2+3x+1)(x2-3x+1) (7)3(a4+4b4)(a2+2b2)(a2-2b2) (8)(x-2y-3z)2 四、1、a=1,b=- 2、证明: -2x4+12x3-18x2=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2≤0. 3、证明: (n+5)2-(n-1)2=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+2). ∴(n+5)2-(n-1)2能被12整除。 4、 (1)30 (2)4 5、提示: 将求证左边分组分解成四个整式乘积,然后利用已知条件对每个因式的符号进行讨论。 五、 (1)由题意得 a+b=8,(a-b+1)(a-b-2)=0, ∴a-b=-1或a-b=2. ∵a与b是整数, ∴a-b=-1不合题意。 ∵a-b=2, ∴a=5,b=3. ∴ab=15,即长方形的面积为15cm2。 (2)3.36 (3)176cm2 因式分解综合检测 1.填空(每题2分,共10分): (1)用简便方法计算: 5652×24-4352×24=( ) (2)0.25x2-( )y2=(0.5x+4y)(0.5x-4y) (3)x2+ x+16=(x+ )(x+8) (4)a2+ab+ =( )2 (5)( )( )( )(a4+b4)=a8-b8 2.判断正误(每小题2分,共14分): (1)因式分解: ①5m+5n-7=5(m+n)-7; ( ) ②3x(x+y)(x-y)-6x=3x(x2-y2-2). ( ) (2)把2ax+10ay+5by+bx分解因式,按下列方法分组,进行分解: ①原式=(2ax+10ay)+(5by+bx); ( ) ②原式=(2ax+5by)+(10ay+bx); ( ) ③原式=(2ax+bx)+(10ay+5by). ( ) (3)a2+b2-2ab+4a-4b+3=(a-b)2+4(a-b)+3=(a-b+1)(a-b+3). ( ) (4)已知x+y=,xy=5,求9x2+9y2的值。 解: ∵x+y=,xy=5, ∴(x+y)2=,x2+y2=(x+y)2-2xy=-2×5=. 则9x2+9y2=9(x2+y2)=9×=106. ( ) 3.选择(每题3分,共12分): (1)若(x-4)(x+7)是二次三项式x2+ax-28,那么a的值是( )。 A、3 B、-3 C、11 D、-11 (2)代数式x4-81,x2-6x+9的公因式( )。 A、(x+3) B、(x+3)2 C、x-3 D、x2+9 (3)81-xk=(9+x2)(3+x)(3-x),那么k的值是( )。 A、k=2; B、k=3; C、k=4; D、k=6 (4)9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,那么m的值是( )。 A、12 B、-12 C、±12 D、±24 4.把下列各式分解因式(每题5分,共25分): (1)8a2-2b2 (2)a3-2a2b+ab2 (3)4xy2-4x2y-y3 (4)x2-x-12 (5)1+ 5.分解下列各式(每题5分,共20分) (1)(x-y)2-5(x-y)-14; (2)a2-b2+2(ax-by)+x2-y2 (3)x2+6xy+9y2-4m2+4mn-n2 (4)(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 6.(本题4分)已知: x+y=,x+3y=1,求3x2+12xy+9y2的值。 (本题5分)已知: x=,y=,求(x+y)2-(x-y)2的值。 (本题5分)已知: xy=5,a-b=6,求xya2+xyb2-2abxy的值。 (共14分) 7.(本题5分)试证明523-521能被120整除。 [本章综合检测题答案] 1. (1)3120000 (2)16 (3)10.2 (4),a+ (5)a+b,a-b,a2+b2. 2. (1)①×②√ (2)①√ ②× ③√ (3)√ (4)√ 3. (1)A; (2)C; (3)C; (4)D. 4. (1)2(2a-b)(2a+b) (2)a(a-b)2 (3)-y(2x-y)2 (4)(x-4)(x+3) (5)(1-)2 5. (1)(x-y-7)(x-y+2) (2)(a+x+b+y)(a+x-b-y) 提示: 按照(a2+2ax+x2)-(b2+2by+y2)分组 (3)(x+3y+2m-n)(x+3y-2m+n) 提示: 前后三项各按照完全平方分解,再利用平方差公式。 (4)(x2+3x+6)(x+4)(x-1) 提示: 将(x2+3x)看成一个整体,先乘开,再分解。 6. (1), (2), (3)180 7.523-521=521(25-1)=24×521=120×520. 一次函数练习题 一、选择题 1、已知直线y=kx经过(2,-6),则k的值是( ) A、3 B、-3 C、1/3 D、-1/3 2、把直线y=-3x向下平移5个单位,得到的直线所对应的函数解析式是( ) A、y=-3x+5 B、y=3x+5 C、y=3x-5 D、y=-3X-5 3、在圆周长公式C=2πr中,变量个数是( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4、不论b取什么值,直线y=3x+b必经过( ) A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限 5、若点A(2,4)在函数y=kx-2的图象上,则下列各点在此函数图象上的是( ) A、(0,-2) B、(3/2,0) C、(8,20) D、(1/2,1/2) 6、若函数y=kx-4,y随x增大而减小的图象大致是( ) A B C D 7、已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是( ) (A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0 8、已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( ) (A) (B) (C) (D) 9、已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则的值是( ) (A)4 (B)-2 (C)12 (D)-12 10、无论m为何值时,直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 答案: BDBBA BDABC 二、填空题 1.已知一个正比例函数的图象经过点(-2,4),则这个正比例函数的表达式是( ). 答案: y=-2x; 2.已知一次函数y=kx+5的图象经过点(-1,2),则k=( ). 一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是( ),与y轴交点坐标是( )。 答案: 3;(2,0);(0,4)。 3。 下列三个函数y=-2x, y=-14x, y=(2-3)x共同点是 (1)( ); (2)( );(3)(
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