中考数学选择填空压轴题汇编二次函数图像与系数.docx
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中考数学选择填空压轴题汇编二次函数图像与系数
2020年中考数学选择填空压轴题汇编:
二次函数图像与系数
1.(2020福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2﹣2ax上的点,下列命题正确的是( )
A.若|x1﹣1|>|x2﹣1|,则y1>y2B.若|x1﹣1|>|x2﹣1|,则y1<y2
C.若|x1﹣1|=|x2﹣1|,则y1=y2D.若y1=y2,则x1=x2
【解答】解:
∵抛物线y=ax2﹣2ax=a(x﹣1)2﹣a,
∴该抛物线的对称轴是直线x=1,
当a>0时,若|x1﹣1|>|x2﹣1|,则y1>y2,故选项B错误;
当a<0时,若|x1﹣1|>|x2﹣1|,则y1<y2,故选项A错误;
若|x1﹣1|=|x2﹣1|,则y1=y2,故选项C正确;
若y1=y2,则|x1﹣1|=|x2﹣1|,故选项D错误;
故选:
C.
2.(2020广东)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,下列结论:
①abc>0;②b2﹣4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0,
正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【解答】解:
由抛物线的开口向下可得:
a<0,
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得:
a,b异号,所以b>0,
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:
c>0,
∴abc<0,故①错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,故②正确;
∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,所以
1,可得b=﹣2a,
由图象可知,当x=﹣2时,y<0,即4a﹣2b+c<0,
∴4a﹣2×(﹣2a)+c<0,
即8a+c<0,故③正确;
由图象可知,当x=2时,y=4a+2b+c>0;当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
两式相加得,5a+b+2c>0,故④正确;
∴结论正确的是②③④3个,
故选:
B.
3.(2020贵州黔西南)如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,交过点A且平行于x轴的直线于另一点B,交x轴于C,D两点(点C在点D右边),对称轴为直线x
,连接AC,AD,BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,下列结论中错误的是( )
A.点B坐标为(5,4)B.AB=AD
C.a
D.OC•OD=16
【解答】解:
∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,
∴A(0,4),
∵对称轴为直线x
,AB∥x轴,
∴B(5,4).
故A无误;
如图,过点B作BE⊥x轴于点E,
则BE=4,AB=5,
∵AB∥x轴,
∴∠BAC=∠ACO,
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上,
∴∠ACO=∠ACB,
∴∠BAC=∠ACB,
∴BC=AB=5,
∴在Rt△BCE中,由勾股定理得:
EC=3,
∴C(8,0),
∵对称轴为直线x
,
∴D(﹣3,0)
∵在Rt△ADO中,OA=4,OD=3,
∴AD=5,
∴AB=AD,
故B无误;
设y=ax2+bx+4=a(x+3)(x﹣8),
将A(0,4)代入得:
4=a(0+3)(0﹣8),
∴a
,
故C无误;
∵OC=8,OD=3,
∴OC•OD=24,
故D错误.
综上,错误的只有D.
故选:
D.
4.(2020贵州遵义)抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点(﹣4,0)和点(﹣3,0)之间,其部分图象如图所示,下列结论中正确的个数有( )
①4a﹣b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根;④b2+2b>4ac.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:
∵抛物线的对称轴为直线x
2,
∴4a﹣b=0,所以①正确;
∵与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,
∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(﹣1,0)和(0,0)之间,
∴x=﹣1时y>0,且b=4a,
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,
∴c>3a,所以②错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,且顶点为(﹣2,3),
∴抛物线与直线y=2有两个交点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根,所以③正确;
∵抛物线的顶点坐标为(﹣2,3),
∴
3,
∴b2+12a=4ac,
∵4a﹣b=0,
∴b=4a,
∴b2+3b=4ac,
∵a<0,
∴b=4a<0,
∴b2+2b>4ac,所以④正确;
故选:
C.
5.(2020黑龙江大兴安岭)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:
①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③当x>2时,y随x的增大而增大;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:
抛物线开口向上,因此a>0,与y轴交于负半轴,因此c<0,故ac<0,所以①正确;
抛物线对称轴为x=1,与x轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于是有4a﹣2b+c=0,所以②不正确;
x>1时,y随x的增大而增大,所以③正确;
抛物线与x轴有两个不同交点,因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,所以④正确;
综上所述,正确的结论有:
①③④,
故选:
C.
6.(2020黑龙江牡丹江)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A,B两点,与y轴负半轴交于点C.若点B(4,0),则下列结论中,正确的个数是( )
①abc>0;
②4a+b>0;
③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,若0<x1<x2,则y1>y2;
④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数,则a(m﹣3)(m+3)≤b(3﹣m);⑤若AB≥3,则4b+3c>0.
A.5B.4C.3D.2
【解答】解:
如图,抛物线开口向下,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,
∴a<0,c<0,
,∴b>0,
∴abc>0,故①正确;
如图,∵抛物线过点B(4,0),点A在x轴正半轴,
∴对称轴在直线x=2右侧,即
,
∴
,又a<0,∴4a+b>0,故②正确;
∵M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,0<x1<x2,
可得:
抛物线y=ax2+bx+c在
上,y随x的增大而增大,
在
上,y随x的增大而减小,
∴y1>y2不一定成立,故③错误;
若抛物线对称轴为直线x=3,则
,即b=﹣6a,
则a(m﹣3)(m+3)﹣b(3﹣m)=a(m﹣3)2≤0,
∴a(m﹣3)(m+3)≤b(3﹣m),故④正确;∵AB≥3,则点A的横坐标大于0或小于等于1,
当x=1时,代入,y=a+b+c≥0,
当x=4时,16a+4b+c=0,
∴a
,
则
,整理得:
4b+5c≥0,则4b+3c≥﹣2c,又c<0,
﹣2c>0,
∴4b+3c>0,故⑤正确,
故正确的有4个.
故选:
B.
7.(2020黑龙江齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:
①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③当x>2时,y随x的增大而增大;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:
抛物线开口向上,因此a>0,与y轴交于负半轴,因此c<0,故ac<0,所以①正确;
抛物线对称轴为x=1,与x轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于是有4a﹣2b+c=0,所以②不正确;
x>1时,y随x的增大而增大,所以③正确;
抛物线与x轴有两个不同交点,因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,所以④正确;
综上所述,正确的结论有:
①③④,
故选:
C.
8.(2020湖北荆门)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B,顶点为C,对称轴为直线x=1,给出下列结论:
①abc<0;②若点C的坐标为(1,2),则△ABC的面积可以等于2;③M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点(x1<x2),若x1+x2>2,则y1<y2;④若抛物线经过点(3,﹣1),则方程ax2+bx+c+1=0的两根为﹣l,3.其中正确结论的序号为 ①④ .
【解答】解:
①抛物线的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c>0,故abc<0,正确,符合题意;
②△ABC的面积
AB•yC
AB×2=2,解得:
AB=2,则点A(0,0),即c=0与图象不符,故②错误,不符合题意;
③函数的对称轴为x=1,若x1+x2>2,则
(x1+x2)>1,则点N离函数对称轴远,故y1>y2,故②错误,不符合题意;
④抛物线经过点(3,﹣1),则y′=ax2+bx+c+1过点(3,0),
根据函数的对称轴该抛物线也过点(﹣1,0),故方程ax2+bx+c+1=0的两根为﹣l,3,故④正确,符合题意;
故答案为:
①④.
9.(2020湖北随州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,则下列结论:
①2a+b=0;
②2c<3b;
③当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个;
④当△BCD是直角三角形时,a
.
其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴对称轴为直线x
1,
∴b=﹣2a,
∴2a+b=0,故①正确,
当x=1时,0=a﹣b+c,
∴a+2a+c=0,
∴c=﹣3a,
∴2c=3b,故②错误;
∵二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a,(a<0)
∴点C(0,﹣3a),
当BC=AB时,4
,
∴a
,
当AC=BC时,4
,
∴a
,
∴当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个,故③正确;
∵二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
∴顶点D(1,4a),
∴BD2=4+16a2,BC2=9+9a2,CD2=a2+1,
若∠BDC=90°,可得BC2=BD2+CD2,
∴9+9a2=4+16a2+a2+1,
∴a
,
若∠DCB=90°,可得BD2=CD2+BC2,
∴4+16a2=9+9a2+a2+1,
∴a=﹣1,
∴当△BCD是直角三角形时,a=﹣1或
,故④错误.
故选:
B.
10.(2020湖南湘西州)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1,其图象如图所示,现有下列结论:
①abc>0,
②b﹣2a<0,
③a﹣b+c>0,
④a+b>n(an+b),(n≠1),
⑤2c<3b.
正确的是( )
A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤
【解答】解:
①由图象可知:
a<0,b>0,c>0,abc<0,故此选项错误;
②由于a<0,所以﹣2a>0.
又b>0,
所以b﹣2a>0,
故此选项错误;
③当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,故此选项错误;
④当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=n时,y=an2+bn+c,
所以a+b+c>an2+bn+c,
故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b),故此选项正确;
⑤当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且该抛物线对称轴是直线x
1,即a
,代入得9(
)+3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;
故④⑤正确.
故选:
D.
11.(2020江苏南京)下列关于二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1(m为常数)的结论:
①该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 ①②④ .
【解答】解:
①∵二次函数y=﹣(x﹣m)2+m+1(m为常数)与函数y=﹣x2的二次项系数相同,
∴该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同,故结论①正确;
②∵在函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1中,令x=0,则y=﹣m2+m2+1=1,
∴该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确;
③∵y=﹣(x﹣m)2+m2+1,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论③错误;
④∵抛物线开口向下,当x=m时,函数y有最大值m2+1,
∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.故结论④正确,
故答案为①②④.
12.(2020山东青岛)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y
的图象如图所示,则一次函数y
x﹣b的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
∵二次函数开口向下,
∴a<0;
∵二次函数的对称轴在y轴右侧,左同右异,
∴b符号与a相异,b>0;
∵反比例函数图象经过一三象限,∴c>0,
∴
0,﹣b<0,
∴一次函数y
x﹣b的图象经过二三四象限.
故选:
B.
13.(2020四川南充)关于二次函数y=ax2﹣4ax﹣5(a≠0)的三个结论:
①对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2﹣m对应的函数值相等;②若3≤x≤4,对应的y的整数值有4个,则
a≤﹣1或1≤a
;③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,则a
或a≥1.其中正确的结论是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【解答】解:
∵二次函数y=ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x
,
∴x1=2+m与x2=2﹣m关于直线x=2对称,
∴对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2﹣m对应的函数值相等;
故①正确;
当x=3时,y=﹣3a﹣5,当x=4时,y=﹣5,
若a>0时,当3≤x≤4时,﹣3a﹣5<y≤﹣5,
∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,
∴1≤a
,
若a<0时,当3≤x≤4时,﹣5≤y<﹣3a﹣5,
∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,
∴
a≤﹣1,
故②正确;
若a>0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,
∴△>0,25a﹣20a﹣5≥0,
∴
,
∴a≥1,
若a<0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,
∴△>0,25a﹣20a﹣5≤0,
∴
,
∴a
,
综上所述:
当a
或a≥1时,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6.
故选:
D.
14.(2020•宜宾)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(﹣1,n),其中n>0.以下结论正确的是( )
①abc>0;
②函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=1和x=﹣2处的函数值相等;
③函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象总有两个不同交点;
④函数y=ax2+bx+c(a≠0)在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值.
A.①③B.①②③C.①④D.②③④
【解答】解:
依照题意,画出图形如下:
∵函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(﹣1,n),其中n>0.
∴a<0,c>0,对称轴为x
1,
∴b=2a<0,
∴abc>0,故①正确,
∵对称轴为x=﹣1,
∴x=1与x=﹣3的函数值是相等的,故②错误;
∵顶点为(﹣1,n),
∴抛物线解析式为;y=a(x+1)2+n=ax2+2ax+a+n,
联立方程组可得:
,
可得ax2+(2a﹣k)x+a+n﹣1=0,
∴△=(2a﹣k)2﹣4a(a+n﹣1)=k2﹣4ak+4a﹣4an,
∵无法判断△是否大于0,
∴无法判断函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象的交点个数,故③错误;
当﹣3≤x≤3时,
当x=﹣1时,y有最大值为n,当x=3时,y有最小值为16a+n,故④正确,
故选:
C.
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