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巧解数学中考题,支招一二
摘要:
中考是初中生毕业升学的主要评价方式,其重要性不言而喻。
本文以解答几道中考数学题为例,对如何准确、高效地解答中考题,从技巧和思维上支一两招。
关键词:
中考;基本图形;逆向思维
中考仍然是社会的热点,中考成绩是优质中学招生的重要依据,对学生的作用不言而喻。
作为教师,我们不应该仅仅关注学生的成绩,更应该关注考试的变化及蕴藏在变化中的教育规律。
基于这样的考虑,我校提出了每个科任老师都要潜心研究中考试题,为提高教学有效性提供正确导向。
解读中考题,反思我们的数学课堂,我们会更有目的、有计划地推进教学,提高教学效果。
支招1:
巧用基本图形
建构主义教学论认为,教师应当把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导他们从原有的知识经验中“生长”岀新的知识经验。
数学题海广袤,但我们在做题的过程中常会发现许多题有似曾相识的感觉,细细研究就会发现这些题往往是由以往的常见题演变而来,如果我们能抓住其变化规律,找到贯穿其中不变的本质,我们的教学就会实现举一反三的效果,大大提升教学效率。
基本图形的巧用,就是新知识点生长的助力。
例1:
(2014年台州中考?
9题)如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E,联结BE,EF,则ZEBF的度数是()
A.45°B.50°
C.60°D.不确定
这道题考查学生对正方形的性质、等腰直角三角
形、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定及全等三角形对应角相等的性质的掌握与应用。
这道题的综合程度有点高,学生做题时可能无法立即判断出这些知识块,对于解题的正确率和速度就有很大的影响。
但是如果学生能熟悉角平分线的基本图形(如图1),就会比较自然地想到要添垂线EG和EH(如图2),然后利用两直角三角形全等来解决就显得顺手多了。
解法一:
如图所示,过E点作EG垂直BC于G
点,作EH垂直CD于H点,贝lJZBGE=ZFHE=90°。
VE是ZBCD角平分线上一点,・・・E到BC和CD的距离相等,即EG二EH。
TE是BF的垂直平分线EM上的点,・・・EF二EB。
ARtABGE^RtAFHE(HL),AZBEG二ZFEH。
*.•ZFEH+ZFEG=90°,AZBEG+ZFEG=90°,AZBEF=90°o
VBE=EF,.\ZEBF=ZEFB=45°。
另外,如果把图1这个基本图形稍微变式一下,就得到图3,这也是个常见图形。
利用图3这个基本图形,我们可以连接DE(如图4)。
解法二:
连接DE,先由角平分线性质得到ZBCE二ZDCE=45°,由正方形性质得CD=CB,又CE=CE,・•・ABCE^ADCE(SAS),Z.ZEDF=ZCBE,EB=ED,VEB=EF,・:
EF二ED。
AZEDF=ZEFD,AZCBE=ZEFD0
VZEFD+ZEFC=180°,・\ZCBE+ZEFC=180°o
由四边形的内角和等于360°可得,ZBEF+Z
BCF=180°o
・*.ZBEF=90°o
TBE二EF,・・・ZEBF=ZEFB=45°。
以角平分线基本图形为媒介,秒添辅助线,证明思路清晰简洁。
一道看似较难的几何综合题就这么轻松地解决了。
其实,数学里很多图形相互间都有一定的联系,这种联系表现在图形千变万化,但是它们都可以看成由基本图形变化而来。
在教学中,若能抓住基本图形,揭示它的变化过程,深化它的条件和结论,会收到很好的教学效果。
因此在平时的教学和学习中,要注重基本图形,引导学生快速地从较复杂的图形中分解出基本图形,并得到相应的基本元素及它们间的关系,把复杂问题简单化。
在初中三年的学习中,我们碰到的基本图形不止图1中的角平分线的基本图形,还有垂直平分线的基本图形,特殊三角形的基本图形,垂径定理的基本图形等。
常见图形及常见图形的变式,也可以作为基本图形使用(如图5、图6)。
利用图6,例1的中考题还可以这样解。
解法三:
如图7,过E作HI//BC,分别交AB、CD于点H、I,则ZBHE=ZEIF=90°。
由EF二EB,BH=IC=IE,得到RtABHE^RtAEIF(HL),・*.ZHBE=ZIEF,
可得ZIEF+ZHEB=90°,・*.ZBEF=90°,也可以求得ZEBF=45°o
仔细回味,刚才解法一里也运用了图6这个基本图形。
所以说图形间都是有一定联系的。
下面就以图5、图6为例,举几个中考数学题来讲讲常见图形及变式的妙用。
例2:
如图8,在四边形ABCD中,ZADC=ZABC=90°,AD二CD,DP±AB于P,若四边形ABCD面积为16,求DP的长。
利用图6这个基本图形,将AADP绕点D逆时针旋转90°(图9),根据三个直角和PD=QD这些条件,得到四边形PBQD是正方形,•・•四边形ABCD面积为16,・•・正方形PBQD面积为16,ADP的长为4。
变式1:
如图9,在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=90°,O为BC中点。
如果点M、N分别在线段AB、AC±移动,在移动中保持AN=BM,请判断厶OMN的形状,并证明你的结论。
利用图6这个基本图形,连OA,由AC=AB,ZBAC=90°,根据等腰直角三角形的性质得OA=OB,OA平分ZBAC,ZB=45°,并且AO丄BC,则ZNAO=ZB=45°,根据全等三角形的判定得到△NAO^AMBO,得到ON二OM,ZAON=ZBOM,又ZBOM+ZAOM=90°,得到ZAON+ZAOM=90°,于是可判断AOMN是等腰直角三角形。
变式2:
如图
10,RtAABC中,ZACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接
OCo
(1)求证:
CO平分ZACB;
(2)若AC=2,BCM,求oc的长。
仔细研究题意,发现跟例1比较神似,马上利用基本图形6,过点O作OM垂直于CA于点M,作ON垂直于CB于点N,易证四边形MCNO是矩形,利用已知条件再证明△AOM^ABONo
VOM=ON,・•・矩形MCNO是正方形。
「.CO平分ZACBo
又VAAOM^ABON,AAM=BN,进而求出CN的长,根据勾股定理即可求出OC的长。
中考中有些难题是由基本图形演变复合而成,解题的基本思路和方法也非常神似。
因此,在中考复习训练中要注意基本图形的挖掘、分类、归类,熟悉基本图形,学会从复杂的图形中抽离出基本图形,抓住问题本质,快速高效地解题。
支招2:
妙用逆向思维
叶澜教授指出:
“课堂应该是向未知方向挺进的旅程,随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景,而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的旅程。
”
“学起于思,思源于疑。
”合理、恰当地运用逆向思维解题,可以提升学生的思维品质。
逆向思维也称反向思维或求异思维,是对似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。
当大家都朝一个固定的思维方向思考一个问题时,而你却另辟蹊径,独自朝一个相反的方向思考。
它能克服思维定式,破除经验和习惯造成的僵化模式,到达出奇制胜的效果。
“孔明借箭”“司马光砸缸”等历史小故事就是逆向思维妙用的典范,反其道而思,难题迎刃而解。
运用逆向思维解题,可以采取角度逆向、条件逆向、过程逆向、对立逆向、易位逆向等方法。
例3:
(2015年台州中考?
4题)若反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-1),则该反比例函数的图像在()
A.在第一、二象限B.在第一、三象限
C.在第二、三象限D.在第二、四象限
对于这个问题,出题者的意图可能是考查反比例函数的图像性质。
如果真从反比例知识运用考虑,一般来说,首先利用反比例函数图像上点的坐标特征求得k的值,k二2,然后画岀反比例函数y=-2/x的图像,由此判断出反比例函数图像经过二、四象限,再确定选项是D。
然而,如果运用逆向思维中的角度逆向法,那么对于已知点(2,-1)它也肯定位于图像所经过的某个象限,而(2,-1)经过第四象限,再纵观四个选择支所提供的信息,只有选项D含有第四象限,那毋庸置疑就是DTo这里我们只要把问题换个角度,不去思考如何1@1图像,而是考虑如何确定点(2,-1)的位置就马上能将问题简化了。
数学教学,不仅要教学生知识,还要开启学生的智慧,让学生形成较为独特的解题方法。
任何一种思想方法的习得都不是一蹴而就的。
由于学生解题能力不足,解题时往往会出现思维障碍,导致不能完整地解答问题,或者常规思维定式对学生产生的负迁移会使他们的解题步入歧途。
例4:
(2015年台州中考?
10题)某班有20位同学参加围棋、象棋比赛。
甲说“只参加一项的人数大于14人”,乙说“两项都参加的人数小于5人”。
对于甲、乙两人的说法,有下列四个命题,其中真命题的是()
A.若甲对,则乙对。
B若乙对,则甲对。
C.若乙错,则甲错。
D.若甲错,则乙对。
拿到这道题,运用常规思维,笔者第一反应就是想求出参加围棋、象棋的同学各有多少人,两项都参加的又有多少人。
这样就会使解题步入歧途。
但实际上此题根本无法求岀实际参加围棋、象棋的确定人数。
说明从条件到结论无法直接判断选项的正误。
但从结论中的四个选项看,实际上也不是叫你求出参加围棋、象棋的同学各有多少人,而是问你甲对还是乙对,根据甲乙的言语条件可以知道,甲乙两人只是在讨论参加一项活动还是两项活动的人数的取值范围。
那我们就把己知条件理解为“某班有20位同学参加了围棋、象棋比赛,一些人只参加一项比赛,剩下的参加两项比赛”。
那么我们可以设参加一项比赛的同学有x人,则参加两项比赛的有(20-x)人,甲说“x>14”,乙说:
"20-X15”,然后只需比较x>14和x>15的大小包含关系即可。
在这里我们运用条件逆向法,只需把条件和结果逆向,从结果反推现有条件,我们先不理会有什么条件,而关注自己想要得到什么样的结果。
从结果反推自己需要哪些条件,然后根据这些被需要的条件,对问题做出正确的解答。
因此在平时的解题训练中,要经常进行逆向思维这类题目的训练。
教师要积极做好引导,“导”得巧,“导”得准,为学生搭设思维跳板,帮助其开拓思路,活跃思维,使学生的数学思维向纵深发展。
培养学生的创新意识和应用意识,并让学生懂得及时地反思、总结。
例5:
关于x的方程mx2+x-m+l=0,有以下三个结论:
(1)当m=0时,方程只有一个实数解;
(2)当mHO时,方程有两个不等的实数解;
(3)无论m取何值,方程都有一个负数解。
其中正确的是(填序号)。
在解答
(1)时,直接就把ni=O代入方程,解得方程只有x=-l这一个实数解;
在解答
(2)时,当mHO时,利用根的判别式b2-4ac=12-4m(-m+1)=l+4m2-4m=(2m-l)2,大于或等于零,所以方程有两个实数根。
这两个实数根有可能相等。
在解答(3)无论m取何值,方程都有一个负数解这道题时,如果直接解答,整理方程得:
mx2-m+x+l=0,m(x2-l)+(x+1)=0,(x+1)[m(x-1)+l]=0o所以由x+l=O,解得x=-lo
如果与第一小题联系起来,猜想,直接把x=l代入方程检验,得到方程成立。
这样一比较,当然是把x=-l代入方程检验既快速又准确,让人喜出望外。
巧妙地运用逆向思维,我们就能在思考中成长,在思考中找到方法,在思考中领悟学习的快乐,在思考中提升解决问题的能力。
总之,《初中数学新课程标准》提出:
“为了适应时代发展对人才培养的需要,数学课程要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
”教师要创新教学方法,学生要探索学习捷径,巧用基本图形,创造性地运用逆向思维,对于培养学生的数学能力和数学素质有很大的作用。
拓宽学生的解题思路,激发学生思维的火花,往往会获得“巧径通幽”的奇特效果。
参考文献:
1.中华人民共和国教育部制定:
义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:
北京师范大学出版社,2012.
2.盛雪华.习题课教学中提升学生思维水平的优化方法[J].数学教学通讯,2012.5.
3.王生.数学自主学习能力培养的教学策略[J].教学月刊,2010.12.
4.吴增生.数学解题指导教学策略初探[J].中国数学教育:
初中版,2012(6):
2.
(作者单位:
浙江省温岭市温西中学)
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