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完整版相交线与平行线最全知识点
、本章共分4大节共14个课时;(2.16〜3.7第1、4周)
章节
内容
课时
第五章
相交线与平行线
14
5.1
相交线
3
5.2
平行线及其判定
3
5.3
平行线的性质
4
5.4
平移
2
单元小结
2
二、本章有四个数学基本事实
1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直;
3.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行;
4.两直线平行,同位角相等.
三、本章共有19个概念
1.对顶角2.邻补角3.垂直4.垂线5.垂足6.垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角
10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题
17.定理18.证明19.平移
P14
四、转化的数学思想
遇到新问题时,常常把它转化为已知(或已解决)的问题五、平移
1.找规律
2.转化求面积
3.作图
(2009年安徽中考)学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一
个菱形图案,纹饰长度就增加dem,如图所示.已知每个菱形图案的边长10/3cm,其一个
内角为60°.
更爻^<〉爻〉
hl=_——L
第19题图
(1)若d=26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L;
【解】
(2)当d=20时,若保持
(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案?
【解】
相交线与平行线知识点
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
/1与/2
有公共顶点
/1的两边与/2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即/1=/2
邻补角
4/"3^
有公共顶点
/3与/4有一条边公共,另一边互为反向延长线.
/3+/4=180°
/
/3与/4
=/B;反之如果/a=/3,那么/a与/
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果/a与是对顶角,那么一定有/a
B不一定是对顶角
+/3=180°;反之如果/a+/3=180°,
⑶如果/a与互为邻补角,则一定有/a则/a与不一定是邻补角.
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个
2、垂线
就说这两条直线互相垂直,
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足符号语言记作:
如图所示:
AB丄CD,垂足为0
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;
②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,
⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,
⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线
4、点到直线的距离
?
P
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆.
如图,P0丄AB,同P到直线AB的距离是PO的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量
长度.联系:
具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离
是点与直线之间.联系:
都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂
足)间距离.
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同.
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a//b.
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这
里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
1有且只有一个公共点,两直线相交;
2无公共点,则两直线平行;
3两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理一一平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,•••b//a,c//a
•••b//c
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才
会结论,这两条直线都平行.
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角
如图,直线a,b被直线I所截
①/1与/5在截线I的同侧,
叫做同位角(位置相同)
内且交错)
注意:
图中/2与/9,它们是同位角吗?
不是,因为/2与/9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成
•平行线
常
.上述平
平行线的判定方法还有两种:
,那么两直线平行•那么这两条直线平行•
几何符号语言:
•••/3=/2
•••AB//CD(同位角相等,两直线平行)
•••/1=/2
•••AB//CD(内错角相等,两直线平行)
•//4+/2=180°
•••AB//CD(同旁内角互补,两直线平行)请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行的判定是写角相等,然后写平行•
注意:
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”判定两直线“平行”这种“位置关系”.
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,
1如果两条直线没有交点(不相交)
2
如果两条直线都平行于第三条直线,
两直线平行•
5.3平行线的性质
<=>同位角相等;<^=>内错角相等;
几何符号语言:
•/AB//CD
•••/1=/2(两直线平行,内错角相等)
•/AB//CD
•/3=/2(两直线平行,同位角相等)
•/AB//CD
•••/4+/2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
E,EF丄CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB
如图,直线AB//CD,EF丄AB于与CD间的距离.
A
1G
E
B
C
1H
1D
F
注意:
直线AB//CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离.
3、命题:
⑴命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.命
题常写成“如果……,那么……”的形式.具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分
是题设,用“那么”开始的部分是结论.
有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显.对于这样的命
那么
题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式.
注意:
命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行
两直线平行
同旁内角互补.
两直线平行
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线
的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质
典型例题:
已知/1=/B,求证:
/2=/C
证明:
•••/1=/B(已知)
•••DE//BC(同位角相等,
两直线平行)
•••/2=/C(两直线平行
同位角相等)
注意,在了DE//BC,不需要再写一次了,得到了
典型例题:
如图,AB//DF,DE//BC,/1=65求/2、/3的度数
解答:
•••DE//BC(已知)
(两直线平行,内错角相等)
•••/2=/1=65°
•/AB//DF(已知)
•••AB//DF(已知)
(两直线平行,同旁内角互补)
2=180°-65°=115°
•••/3+/2=180°
•••/3=180°-/
5.4平移
1、平移变换
1
新图形与原图形的形状和大小
把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,
完全相同.
2新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
3连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
1
(或在同一直线上)且相等,对应角
经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行
相等,图形的形状与大小都没有发生变化.
2经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等
那么:
B的对应点是点
典型例题:
如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,
⑴点A的对应点是点;⑵点
A
/
/
y
\
/
/
\
B
E
C
F
对应点的连线段平行或在同一直线上解
⑶点的对应点是点F;⑷线段AB
的对应线段是线段;
⑸线段BC的对应线段是线段;
⑹/A的对应角是.
⑺的对应角是/F.
解答:
⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹/D;⑺/ACB.思维方式:
利用平移特征:
平移前后对应线段相等,答.
考点一:
对相关概念的理解
对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公理的区别等
例1:
判断下列说法的正误。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
D、过一点有且只有一条直
C、两条直线相交,有一对对顶角互补,则两条直线互相垂直。
1
(7)如图
(1),•//AOC=—/AOD,/AOC+/AOD=180
2
线与已知直线平行
(1)•••a//c,b//c(已知)•••
//
(
)
(2)•••/1=/2,/2=/3(已知)
=
(
)
(3)•••/1+/2=180°
/2=30°
(已知)
•••/1=
(
)
(4)•••/1+/2=90°
/2=22°
(已知)
•••/1=
(
)
(5)女口图
(1),•••
/AOC=55°
(已知)
•••/BOD=
(
一)
(6)如图
(1),•••
/AOC=55°
(已知)
•••/BOC=
(
)
考点二:
相关推理(识记)
(已知)
(1)
•••/BOC=_
(2)
-|1
a
b
(8)如图
(2),•••a丄b(已知)•••/1=
(9)如图
(2),•••/1=
(已知)
•••a丄b(
(10)如图(3),•••点C为线段AB的中点
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
如图(3),•/AC=BC.点C为线段如图(4),如图(4),如图(4),
如图(4),如图(4),
如图(4),
•••a//b(已知)•••a//b(已知)•••a//b(已知)
•••/仁/2(已知)•••/仁/3(已知)
•••/1+/4=
(已知)
1+/4=_•••a//b(•••a//b(
••a//b(
)
A
•••AC=__
AB的中点(•••/1=/2(_•••/1=/3(
•••/
GE)
g]
)
考点三:
对顶角、邻补角的判断、相关计算
例题1:
如图5-1,直线AB、CD相交于点0,对顶角有
对,它们分别是
/AOD的邻补角是
例题2:
女匚图5—2,直线li,12和13相交构成8个角,已知/仁/5,那么,/5是
的对顶角,与/5相等的角有/1、
,与/5互补的角有
例题3:
如图5—3,直线AB、CD相交于点O,射线OE为/BOD的平分线,/BOE=30,则/AOE为
O
考点四:
例题1:
图5—1
同位角、内错角、同旁内角的识别如图2-44,/1和/4是AB_
图5—3
所截得的
.角,/3和/
所截得的
角,/2和/5是
所截得的
角,ACBC被AB所截得的同旁内角是
例题2:
如图2-45,ABDC被BD所截得的内错角是
ABCD被AC所截是的内
错角是
ADBC被BD所截得的内错角是
ADBC被AC所截得
的内错角是
E
D
ffl2-⑸
例题3:
如图1—26所示.AE//BD,/1=3/2,/2=25
,求/C.
考点五:
平行线的判定、性质的综合应用(逻辑推理训练)例题1:
如图9,已知DF//AC,/C=/D,要证/AMBM2,请完善证明过程,?
并在括号内填上相
应依据:
•/DF/AC(已知),•••/D=/1(
•//C=/D(已知),•••/1=/C(•••DB//EC(•••/AMB/2(
与/G相等吗?
说明你的理由.
考点六:
特殊平行线相关结论
例题1:
已知,如图:
AB//CD,试探究下列各图形中
B,D,BPD的关系.
A
D
B
C
(1)
A
C⑵
P
C⑷
考点七:
探究、操作题
例题:
(阅读理解题)直线AC//BD连结AB直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构
成/PAC/APB/PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角.)
(1)当动点
(2)当动点
(3)当动点
0°
P落在第①部分时,求证:
/APB=/PAC+/PBD
P落在第②部分时,/APB=/PAC+/PBD是否成立(直接回答成立或不成立)P在第③部分时,全面探究/PAC/APB
的具体位置和相应的结论.
/PBD之间的关系,并写出动点
选择其中一种结论加以证明.
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