南阳市中考数学试题及答案.docx
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南阳市中考数学试题及答案
南阳市 2019 年中考数学试题与答案
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。
1.﹣ 的绝对值是()
A.﹣B.C.2D.﹣2
2.成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为()
A.46×10﹣7B.4.6×10﹣7C.4.6×10﹣6D.0.46×10﹣5
3.如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D 的度数为()
A.45°B.48°C.50°D.58°
4.下列计算正确的是()
A.2a+3a=6a
C.(x﹣y)2=x2﹣y2
B.(﹣3a)2=6a2
D.3 ﹣ =2
5.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几
何体的三视图,下列说法正确的是()
A.主视图相同
C.俯视图相同
B.左视图相同
D.三种视图都不相同
6.一元二次方程(x+1)(x﹣1)=2x+3 的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
D.没有实数根
7.某超市销售 A,B,C,D 四种矿泉水,它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元.某天的销售情况如图
所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是()
A.1.95 元
B.2.15 元 C.2.25 元 D.2.75 元
8.已知抛物线 y=﹣x2+bx+4 经过(﹣2,n)和(4,n)两点,则 n 的值为()
A.﹣2B.﹣4C.2D.4
9.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点 A,C 为圆心,大于 AC 长为
半径作弧,两弧交于点 E,作射线 BE 交 AD 于点 F,交 AC 于点 O.若点 O 是 AC 的中点,则 CD 的长为()
A.2B.4C.3D.
10.如图,在△OAB 中,顶点 O(0,0),A(﹣3,4),B(3,4),将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点
O 顺时针旋转,每次旋转 90°,则第 70 次旋转结束时,点 D 的坐标为()
A.(10,3)B.(﹣3,10)C.(10,﹣3)D.(3,﹣10)
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分。
)
11.计算:
12.不等式组
﹣2﹣1= .
的解集是 .
13.现有两个不透明的袋子,一个装有 2 个红球、1 个白球,另一个装有 1 个黄球、2 个红球,这些球除
颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出 1 个球,摸出的两个球颜色相同的概率是.
14.如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=120°,半径 OC 交弦 AB 于点 D,且 OC⊥OA.若 OA=2
的面积为.
,则阴影部分
15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,点 E 在边 BC 上,且 BE= α.连接
,将 ABE 沿 AE 折叠,
若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上,则 a 的值为.
三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分)
16.(8 分)先化简,再求值:
(﹣1)÷,其中 x=.
17.(9 分)如图,在△ABC 中,BA=BC,∠ABC=90°,以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D,点 E 是
不与点 B,D 重合的任意一点,连接 AE 交 BD 于点 F,连接 BE 并延长交 AC 于点 G.
(
)求证:
ADF≌△BDG;
(2)填空:
上
①若 AB=4,且点 E 是
的中点,则 DF 的长为 ;
②取
的中点 H,当∠EAB 的度数为 时,四边形 OBEH 为菱形.
18.(9 分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取 50
名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下:
a.七年级成绩频数分布直方图:
b.七年级成绩在 70≤x<80 这一组的是:
7072747576767777777879
c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下:
年级
七
八
平均数
76.9
79.2
中位数
m
79.5
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在这次测试中,七年级在 80 分以上(含 80 分)的有人;
(2)表中 m 的值为;
(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分,请判断两位学生在各自年级的排
名谁更靠前,并说明理由;
(4)该校七年级学生有 400 人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数.
19.(9 分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像
DE 在高 55m 的小山 EC 上,在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34°,再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处,测
得塑像顶部 D 的仰角为 60°,求炎帝塑像 DE 的高度.
(精确到 1m.参考数据:
sin34°≈0.56,cos34°=0.83,tan34°≈0.67,≈1.73)
20.(9 分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120
元;购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元.
(1)求 A,B 两种奖品的单价;
(2)学校准备购买 A,B 两种奖品共 30 个,且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 .请设计出最省钱
的购买方案,并说明理由.
21.(10 分)模具厂计划生产面积为 4,周长为 m 的矩形模具.对于 m 的取值范围,小亮已经能用“代数”
的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为 x,y,由矩形的面积为 4,得 xy=4,即 y= ;由周长为 m,得 2(x+y)
=m,即 y=﹣x+ .满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.
(2)画出函数图象
函数 y= (x>0)的图象如图所示,而函数y=﹣x+ 的图象可由直线 y=﹣x 平移得到.请在同一直
角坐标系中直接画出直线 y=﹣x.
(3)平移直线 y=﹣x,观察函数图象
①当直线平移到与函数 y=(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长 m 的值为;
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?
请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为 4 的矩形模具,则周长 m 的取值范围为.
22.(10 分)在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=α .点 P 是平面内不与点 A,C 重合的任意一点.连接 AP,将
线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP,连接 AD,BD,CP.
(1)观察猜想
如图 1,当 α =60°时,
(2)类比探究
的值是 ,直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 .
如图 2,当 α =90°时,请写出
的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数,并就图 2 的情形
说明理由.
(3)解决问题
当 α =90°时,若点 E,F 分别是 CA,CB 的中点,点 P 在直线 EF 上,请直接写出点 C,P,D 在同一直
线上时的值.
23.(11 分)如图,抛物线y=ax2+ x+c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C.直线 y=﹣ x﹣2 经过点 A,
C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M,设点 P 的横坐标为 m.
①当△PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标;
②作点 B 关于点 C 的对称点 B',则平面内存在直线 l,使点 M,B,B′到该直线的距离都相等.当点 P
在 y 轴右侧的抛物线上,且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l:
y=kx+b 的解析式.(k,b 可用含 m
的式子表示)
参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。
1.B2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.D9.A10. D
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分。
)
11. 1 .12. x≤﹣2.13..14.+π.15.或.
三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分)
16.解:
原式=(﹣)÷
=•
=,
当 x=时,原式==.
17.解:
(1)证明:
如图 1,∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=45°
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ADB=∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°
∴∠DAF=∠DBG
∵∠ABD+∠BAC=90°
∴∠ABD=∠BAC=45°
∴AD=BD
∴△ADF≌△BDG(ASA);
(2)①如图 2,过 F 作 FH⊥AB 于 H,∵点 E 是的中点,
∴∠BAE=∠DAE
∵FD⊥AD,FH⊥AB
∴FH=FD
∵=sin∠ABD=sin45°=,
∴,即 BF=FD
∵AB=4,
∴BD=4cos45°=2,即 BF+FD=2,(+1)FD=2
∴FD=
故答案为
=4﹣2
.
②连接 OE,EH,∵点 H 是
的中点,
∴OH⊥AE,
∵∠AEB=90°
∴BE⊥AE
∴BE∥OH
∵四边形 OBEH 为菱形,
∴BE=OH=OB= AB
∴sin∠EAB==
∴∠EAB=30°.
故答案为:
30°
18.解:
(1)在这次测试中,七年级在 80 分以上(含 80 分)的有 15+8=23 人,
故答案为:
23;
(2)七年级 50 人成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数,而第 25、26 个数据分别为 78、79,
∴m==77.5,
故答案为:
77.5;
(3)甲学生在该年级的排名更靠前,
∵七年级学生甲的成绩大于中位数 78 分,其名次在该班 25 名之前,
八年级学生乙的成绩小于中位数 78 分,其名次在该班 25 名之后,
∴甲学生在该年级的排名更靠前.
(4)估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 400×
19.解:
∵∠ACE=90°,∠CAE=34°,CE=55m,
=224(人).
∴tan∠CAE=
∴AC=
,
= ≈82.1m,
∵AB=21m,
∴BC=AC﹣AB=61.1m,
在
BCD 中,tan60°==,
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7m,
∴DE=CD﹣EC=105.7﹣55≈51m,
答:
炎帝塑像 DE 的高度约为 51m.
20.解:
(1)设 A 的单价为 x 元,B 的单价为 y 元,
根据题意,得
,
∴,
∴A 的单价 30 元,B 的单价 15 元;
(2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品为(30﹣z)个,购买奖品的花费为 W 元,
由题意可知,z≥ (30﹣z),
∴z≥,
W=30z+15(30﹣z)=450+15z,
当 z=8 时,W 有最小值为 570 元,
即购买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少;
21.解:
(1)x,y 都是边长,因此,都是正数,
故点(x,y)在第一象限,
答案为:
一;
(2)图象如下所示:
(3)①把点(2,2)代入 y=﹣x+ 得:
2=﹣2+ ,解得:
m=8;
②在直线平移过程中,交点个数有:
0 个、1 个、2 个三种情况,
联立 y= 和 y=﹣x+ 并整理得:
x2﹣ mx+4=0,
△= m2﹣4×4≥0 时,两个函数有交点,
解得:
m≥8;
(4)由(3)得:
m≥8.
22.解:
(1)如图 1 中,延长 CP 交 BD 的延长线于 E,设 AB 交 EC 于点 O.
∵∠PAD=∠CAB=60°,
∴∠CAP=∠BAD,
∵CA=BA,PA=DA,
∴△CAP≌△BAD(SAS),
∴PC=BD,∠ACP=∠ABD,
∵∠AOC=∠BOE,
∴∠BEO=∠CAO=60°,
∴=1,线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60°,
故答案为 1,60°.
(2)如图 2 中,设 BD 交 AC 于点 O,BD 交 PC 于点 E.
∵∠PAD=∠CAB=45°,
∴∠PAC=∠DAB,
∵==,
∴△DAB∽△PAC,
∴∠PCA=∠DBA,
= = ,
∵∠EOC=∠AOB,
∴∠CEO=∠OABB=45°,
∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45°.
(3)如图 3﹣1 中,当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于 H.
∵CE=EA,CF=FB,
∴EF∥AB,
∴∠EFC=∠ABC=45°,
∵∠PAO=45°,
∴∠PAO=∠OFH,
∵∠POA=∠FOH,
∴∠H=∠APO,
∵∠APC=90°,EA=EC,
∴PE=EA=EC,
∴∠EPA=∠EAP=∠BAH,
∴∠H=∠BAH,
∴BH=BA,
∵∠ADP=∠BDC=45°,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AH,
∴∠DBA=∠DBC=22.5°,
∵∠ADB=∠ACB=90°,
∴A,D,C,B 四点共圆,
∠DAC=∠DBC=22.5°,∠DCA=∠ABD=22.5°,
∴∠DAC=∠DCA=22.5°,
∴DA=DC,设 AD=a,则 DC=AD=a,PD=
∴==2﹣.
a,
如图 3﹣2 中,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证:
DA=DC,设 AD=a,则 CD=AD=a,PD=
a,
∴PC=a﹣
∴=
a,
=2+ .
23.解:
(1)当 x=0 时,y=﹣ x﹣2=﹣2,
∴点 C 的坐标为(0,﹣2);
当 y=0 时,﹣ x﹣2=0,
解得:
x=﹣4,
∴点 A 的坐标为(﹣4,0).
将 A(﹣4,0),C(0,﹣2)代入 y=ax2+ x+c,得:
,解得:
,
∴抛物线的解析式为 y= x2+ x﹣2.
(2)①∵PM⊥x 轴,
∴∠PMC≠90°,
∴分两种情况考虑,如图 1 所示.
(i)当∠MPC=90°时,PC∥x 轴,
∴点 P 的纵坐标为﹣2.
当 y=﹣2 时, x2+ x﹣2=﹣2,
解得:
x1=﹣2,x2=0,
∴点 P 的坐标为(﹣2,﹣2);
(ii)当∠PCM=90°时,设 PC 与 x 轴交于点 D.
∵∠OAC+∠OCA=90°,∠OCA+∠OCD=90°,
∴∠OAC=∠OCD.
又∵∠AOC=∠COD=90°,
∴△AOC∽△COD,
∴=,即=,
∴OD=1,
∴点 D 的坐标为(1,0).
设直线 PC 的解析式为 y=kx+b(k≠0),
将 C(0,﹣2),D(1,0)代入 y=kx+b,得:
,解得:
,
∴直线 PC 的解析式为 y=2x﹣2.
联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组,得:
,
解得:
,,
点 P 的坐标为(6,10).
综上所述:
当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(﹣2,﹣2)或(6,10).
②当 y=0 时, x2+ x﹣2=0,
解得:
x1=﹣4,x2=2,
∴点 B 的坐标为(2,0).
∵点 P 的横坐标为 m(m>0 且 m≠0),
∴点 P 的坐标为(m, m2+ m﹣2),
∴直线 PB 的解析式为 y= (m+4)x﹣ (m+4)(可利用待定系数求出).
∵点 B,B′关于点 C 对称,点 B,B′,P 到直线 l 的距离都相等,
∴直线 l 过点 C,且直线 l∥直线 PB,
∴直线 l 的解析式为 y= (m+4)x﹣2.
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