文科一轮学案83平面的基本性质与推论.docx
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文科一轮学案83平面的基本性质与推论
学案8.3平面的基本性质与推论
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.平面的基本性质及推论
(1)平面的基本性质
基本性质1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2:
经过的三点,有且只有一个平面.
基本性质3:
如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们过这个点的公共直线.
(2)平面基本性质的推论
推论1:
经过一条直线和的一点,有且只有一个平面.
推论2:
经过两条,有且只有一个平面.
推论3:
经过两条,有且只有一个平面.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)判断两直线异面:
与一平面相交于一点的直线与的直线是异面直线.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( )
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β=A.( )
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )
(5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( )
(6)没有公共点的两条直线是异面直线.( )
考点探究案典例剖析考点突破
考点一平面基本性质的应用
例1
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
变式训练:
如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=
AD,BE∥AF且BE=
AF,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
考点二判断空间两直线的位置关系
例2
(1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
(3)在图中,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
变式训练:
如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN共面;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
当堂达标:
1.下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0B.1C.2D.3
2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( )
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
3.
如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
4.(教材改编)两两平行的三条直线可确定______个平面.
5.已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断:
①MN≥
(AC+BD);②MN>
(AC+BD);③MN=
(AC+BD);④MN<
(AC+BD).
其中正确的是________.
巩固提高案日积月累提高自我
1.在下列命题中,不是基本性质的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2.(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
3.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
4.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,
和a,且长为a的棱与长为
的棱异面,则a的取值范围是( )
A.(0,
)B.(0,
)
C.(1,
)D.(1,
)
5.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
A.①②B.②③C.①④D.③④
6.(教材改编)如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a与c,b与c的位置关系是________.
7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
8.
如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、H分别是边AB、AD的中点,点F、G分别是边BC、CD上的点,且
=
=
,则_________________________________________________________.
①EF与GH平行;
②EF与GH异面;
③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;
④EF与GH的交点M一定在直线AC上.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
10.
如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:
EH、FG、BD三线共点.
学案8.3平面的基本性质与推论
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.平面的基本性质及推论
(1)平面的基本性质
基本性质1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2:
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
基本性质3:
如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
(2)平面基本性质的推论
推论1:
经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2:
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)判断两直线异面:
与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( √ )
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( × )
(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β=A.( × )
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )
(5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ )
(6)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
考点探究案典例剖析考点突破
考点一平面基本性质的应用
例1
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
证明
(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E、C、D1、F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交, 设交点为P,如图所示. 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点. 变式训练: 如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC= AD,BE∥AF且BE= AF,G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明: 四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面? 为什么? (1)证明 由已知FG=GA,FH=HD, 可得GH綊 AD. 又BC綊 AD,∴GH綊BC. ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)解 ∵BE綊 AF,G是FA的中点,∴BE綊FG, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG. 由 (1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面. 考点二判断空间两直线的位置关系 例2 (1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 (2) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( ) A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 (3)在图中,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) 答案 (1)D (2)D (3)②④ 解析 (1)若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,∴l1∥l2,这与l1和l2异面矛盾,∴l至少与l1,l2中的一条相交. (2)连接B1C,B1D1,则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,∴MN∥B1D1, ∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1, ∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交, ∴MN与A1B1不平行,故选D. (3)图①中,直线GH∥MN; 图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN, 因此直线GH与MN异面; 图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面; 图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN, 因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面. 变式训练: 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中, ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN共面; ④DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 把正四面体的平面展开还原如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN相交,DE⊥MN. 当堂达标: 1.下列命题正确的个数为( ) ①梯形可以确定一个平面; ②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确. 2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( ) A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 答案 C 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾. 3. 如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( ) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 答案 D 解析 ∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ. 又α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据基本性质3可知,M在γ与β的交线上. 同理可知,点C也在γ与β的交线上. 4.(教材改编)两两平行的三条直线可确定______个平面. 答案 1或3 解析 三直线共面确定1个, 三直线不共面,每两条确定1个,可确定3个. 5.已知空间四边形ABCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列判断: ①MN≥ (AC+BD);②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD);④MN< (AC+BD). 其中正确的是________. 答案 ④ 解析 如图,取BC的中点O, 连接MO、NO, 则OM= AC,ON= BD, 在△MON中,MN = (AC+BD),∴④正确. 巩固提高案日积月累提高自我 1.在下列命题中,不是基本性质的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A 解析 选项A是面面平行的性质定理,是由基本性质推证出来的,而基本性质是不需要证明的. 2.(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 答案 D 解析 在如图所示的长方体中, 不妨设l2为直线AA1,l3为直线CC1, 则直线l1,l4可以是AB,BC; 也可以是AB,CD;也可以是AB,B1C1; 这三组直线相交,平行,垂直,异面,故选D. 3.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( ) A.相交或平行B.相交或异面 C.平行或异面D.相交、平行或异面 答案 D 解析 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,故选D. 4.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1, 和a,且长为a的棱与长为 的棱异面,则a的取值范围是( ) A.(0, )B.(0, ) C.(1, )D.(1, ) 答案 A 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为a的棱长一定大于0且小于 .故选A. 5.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ) ①P∈a,P∈α⇒a⊂α; ②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β; ③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α; ④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b. A.①②B.②③C.①④D.③④ 答案 D 解析 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;a∩β=P时,②错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a, ∴由直线a与点P确定唯一平面α, 又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 6.(教材改编)如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a与c,b与c的位置关系是________. 答案 a∥b∥c 解析 ∵a∥b,a⊂α,b⊄α,∴b∥α. 又∵b⊂β,α∩β=c,∴b∥c.∴a∥b∥c. 7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. 答案 4 解析 EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个. 8. 如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、H分别是边AB、AD的中点,点F、G分别是边BC、CD上的点,且 = = ,则_________________________________________________________. ①EF与GH平行; ②EF与GH异面; ③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上; ④EF与GH的交点M一定在直线AC上. 答案 ④ 解析 依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E、F、G、H共面.因为EH= BD,FG= BD,故EH≠FG,所以EHGF是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,即点M是平面ACB与平面ACD的交点,而AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条. 答案 无数 解析 方法一 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示. 方法二 在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交. 10. 如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于点H. (1)求AH∶HD; (2)求证: EH、FG、BD三线共点. (1)解 ∵ = =2,∴EF∥AC, ∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH, 平面EFGH∩平面ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴ = =3.∴AH∶HD=3∶1. (2)证明 ∵EF∥GH,且 = , = , ∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD, 又P∈FG,FG⊂平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
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