吉林省安图一中高二上学期期中考试数学试题.docx
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吉林省安图一中高二上学期期中考试数学试题
2015-2016学年上学期期中考试
高二数学试卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分。
只填结果,不要过程!
)
1、过点
且与直线
垂直的直线的方程为▲;
2、过三点
和原点
的圆的标准方程为▲;
3、已知
中,
则
边上的高
的长为▲;
4、已知两条直线
若直线
与直线
平行,则实数
▲;
5、已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题:
①若l∥α,m⊂α,则l∥m;②若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;
③若l∥m,m⊂α,,则l∥α;④若l⊥α,m∥α,则l⊥m.
其中真命题是▲(写出所有真命题的序号).
6、若两圆
,
相外切,则实数
▲;
7、若
满足约束条件
则
的最小值是▲;
8、过平面区域
内一点
作圆
的两条切线,
切点分别为
记
当
最小时,此时点
坐标为▲;
9、右图是抛物线形拱桥,当水面在
时,拱顶离水面2米,
水面宽4米,水位下降1米后,水面宽▲米;
10、已知双曲线
的一条渐近线经过点
,
则该双曲线的离心率的值为▲;
11、已知点
在抛物线
上运动,
为抛物线的焦点,点的坐标为,
若的最小值为此时点的纵坐标的值为则▲;
12、在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上
至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆有公共点,
则的最大值是▲;
13、已知等腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是▲;
14、已知椭圆,是椭圆的左右焦点,是右准线,
若椭圆上存在点,使是到直线的距离的倍,
则该椭圆离心率的取值范围是▲;
二、解答题(共6题,90分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15、(14分)如图,已知斜三棱柱中,,为的中点.
(1)(7分)若,求证:
;
(2)(7分)求证:
//平面
16、(14分)如图,在四棱锥中,∥,,
为的中点.
求证:
(1)(7分)∥平面;
(2)(7分)⊥平面.
17、(14分)
(1)(7分)已知椭圆的焦点在轴上,长轴长为,焦距为,
求椭圆的标准方程;
(2)(7分)已知双曲线的渐近线方程为,准线方程为,
求该双曲线的标准方程.
18、(16分)已知三个顶点坐标分别为:
,
直线经过点.
(1)(5分)求外接圆的方程;
(2)(5分)若直线与相切,求直线的方程;
(3)(6分)若直线与相交于两点,且,求直线的方程.
19、(16分)已知直线与圆相交于两点,
弦的中点为,
(1)(4分)求实数的取值范围以及直线的方程;
(2)(4分)若圆上存在四个点到直线的距离为,求实数的取值范围;
(3)(8分)已知,若圆上存在两个不同的点,使,求实数的取值范围.
20、(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:
的
离心率,且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
(1)(6分)求椭圆的方程;
(2)(10分)在椭圆上,是否存在点,使得直线:
与圆:
相交于不同的两点,且的面积最大?
若存在,求出点的坐标及对应的的面积;
若不存在,请说明理由.
高二数学期中考试数学参考答
1、2、3、4、
5、②、④6、7、-38、9、10、
11、12、13、14、
15、【答案】证明:
(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.……2分
因为,,所以,……4分
,所以平面BCC1B1,……6分
因为DC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥DC1……7分
(2)连结A1C,交AC1于点O,连结OD,则O为A1C的中点.
因为D为BC的中点,所以OD//A1B……9分
因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1,……12分
所以A1B//平面ADC1……14分
16、证明:
(1)取中点,连结,,∵为中点,∴∥且=.……2分
∵∥且,∴∥且=.
∴四边形为平行四边形.∴∥.……4分
∵平面,平面,∴∥平面.……7分
(2)∵⊥,⊥,,∴平面.……9分
∵平面,∴.……10分
∵,为的中点,∴.……12分
∵,∴⊥平面.……14分
17.解:
(1)设椭圆的标准方程为:
,
由题意得,……………3分
所以所求椭圆的标准方程为.……………7分(选修1—135页5
(1)!
(2)由题意知双曲线标准方程为:
,
所以,,……………9分
又,解得,……………11分
所以所求双曲线标准方程为.……………14分
18.解:
(1)解法1:
设的方程为:
则由题意得解得
的方程为,或.…………5分
解法2:
的横坐标相同,故可设,
由得,解得,
的方程为,或.
解法3:
,,
,则是等腰直角三角形,
因而圆心为,半径为,
的方程为.
(2)当直线与轴垂直时,显然不合题意,因而直线的斜率存在,设,
由题意知,解得或,…………8分
故直线的方程为或.…………10分
(3)当直线与轴垂直时,方程为,它截得弦长恰为;…12分
当直线的斜率存在时,设,
∵圆心到直线的距离,
由勾股定理得,解得,……14分
故直线的方程为或.…………16分
19、课本必修—2—15改编!
解:
(1)圆……1分
据题意:
……2分
因为
所以直线的方程为……4分
(2)与直线平行且距离为的直线为:
过圆心,有两个交点,……6分
与圆相交,……8分
(3)设……12分
据题意:
两个圆相交:
……14分
且,所以:
……16分
20.解析:
(1)因为,所以,于是.…………1分
设椭圆上任一点,
则().…2分
当时,在时取到最大值,且最大值为,
由解得,与假设不符合,舍去.…………4分
当时,在时取到最大值,且最大值为,
由解得.于是,椭圆的方程是.…………6分
(2)圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积
为,于是.…………8分
而是椭圆上的点,所以,即,
于是,而,所以,,
所以,…………10分
于是当时,取到最大值,此时取到最大值,
此时,.…………12分
综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为.
(每一个点坐标写出各1分,计4分!
)…………16分
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