届高考理数96抛物线及其性质.docx
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届高考理数96抛物线及其性质
§9.6 抛物线及其性质
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.抛物线的定义及其标准方程
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质
掌握
2017课标全国Ⅱ,16;
2016课标全国Ⅰ,10;2016四川,8;
2016浙江,9;2015陕西,14;
2014湖南,15;2013广东,20
选择题
解答题
★★★
2.抛物线的几何性质
掌握
2017课标全国Ⅰ,10;
2016天津,14;2015浙江,5;
2014上海,3;2013北京,7
选择题
解答题
★★★
3.直线与抛物线的位置关系
掌握
2017北京,18;2016江苏,22;
2014大纲全国,21;2014课标Ⅱ,10
选择题
解答题
★★★
分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.
五年高考
考点一 抛物线的定义及其标准方程
1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2B.4
C.6D.8
答案 B
2.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A.B.
C.D.1
答案 C
3.(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:
y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
答案 6
4.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
答案 9
教师用书专用(5—8)
5.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .
答案 2
6.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则= .
答案 1+
7.(2013广东,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:
x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
解析
(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.
因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.
由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,
所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.
所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.
8.(2013湖南,21,13分)过抛物线E:
x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0,k2>0,证明:
·<2p2;
(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.
解析
(1)由题意得,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.
由得x2-2pk1x-p2=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.
从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.
所以点M的坐标为,=(pk1,p).
同理可得点N的坐标为,=(pk2,p),
于是·=p2(k1k2+).
由题设知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,
所以0 故· (2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p. 故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2, 化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0. 同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0. 于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0. 又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M到直线l的距离 d===. 故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y. 考点二 抛物线的几何性质 1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( ) A.B. C.D. 答案 A 2.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( ) A.B.C.1D. 答案 B 3.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为 . 答案 教师用书专用(4—5) 4.(2013北京,7,5分)直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( ) A.B.2C.D. 答案 C 5.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= . 答案 6 考点三 直线与抛物线的位置关系 1.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C: y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) A.B.C.D. 答案 D 2.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C: y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( ) A.B.C.D. 答案 D 3.(2017北京,18,14分)已知抛物线C: y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证: A为线段BM的中点. 解析 (1)由抛物线C: y2=2px过点P(1,1),得p=. 所以抛物线C的方程为y2=x. 抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-. (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2). 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则x1+x2=,x1x2=. 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为. 因为y1+-2x1= = ===0, 所以y1+=2x1. 故A为线段BM的中点. 教师用书专用(4—5) 4.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l: x-y-2=0,抛物线C: y2=2px(p>0). (1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证: 线段PQ的中点坐标为(2-p,-p); ②求p的取值范围. 解析 (1)抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为, 由点在直线l: x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4. 所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0). 因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ, 于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b. ①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*) 因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2, 从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0. 方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p. 因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p. 因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p). ②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上, 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p. 由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<. 因此,p的取值范围是. 5.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程. 解析 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x.(5分) (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4), 则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E, |MN|=|y3-y4| =.(10分) 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 即4(m2+1)2++ =. 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分) 三年模拟 A组 2016—2018年模拟·基础题组 考点一 抛物线的定义及其标准方程 1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为( ) A.-2B.2C.-4D.4 答案 D 2.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C: y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D 3.(2017皖北协作区3月联考,3)已知抛物线C: x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为( ) A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y 答案 C 4.(2017河南百校联盟质检,4)已知抛物线C: y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则点A到原点的距离为( ) A.3B.4C.4D.4 答案 B 5.(2017河南新乡二模,14)已知点A(1,y1),B(9,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,y2>y1>0,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则+y2的值为 . 答案 10 考点二 抛物线的几何性质 6.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足||=||,B是抛物线的准线与x轴的交点,则·=( ) A.-4B.4 C.0D.-4或4 答案 C 7.(2018贵州贵阳一模,8)过点M作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E: y2=2px(p>0)的焦点,l与抛物线E交于A、B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为 ( ) A.B.3 C.D.4 答案 D 8.(2017江西红色七校一联,7)已知抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a的取值范围是( ) A.(1,3)B.(2,4) C.D. 答案 D 9.(2017江西九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|= . 答案 2 考点三 直线与抛物线的位置关系 10.(2018河南安阳模拟,7)已知点A(-1,-2)在抛物线C: y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于M,N两点,则线段MN的长为( ) A.4B.2C.2D.1 答案 A 11.(2018四川南充模拟,7)如图,过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p=( ) A.1B.2C.D.3 答案 B 12.(2017广东汕头一模,11)过抛物线C: x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|=( ) A.1B.2C.3D.4 答案 A 13.(人教A选2—1,二,2-4A,5,变式)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A、B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为( ) A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x 答案 A B组 2016—2018年模拟·提升题组 (满分: 40分 时间: 40分钟) 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2018河南开封一模,10)抛物线M: y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据: ≈2.24)( ) A.B.C.D. 答案 D 2.(2017山西五校3月联考,11)已知抛物线C: y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C与圆M: (x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为( ) A.2-B.2-1C.1-D.-1 答案 A 二、填空题(每小题5分,共15分) 3.(2017河北唐山调研,15)已知抛物线x2=4y与圆C: (x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)有公共点P,若抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则r= . 答案 4.(2017河南商丘模拟,16)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且两曲线交点的连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为 . 答案 -1 5.(2017湖北孝感模拟,16)已知抛物线x2=4py(p>0)的焦点为F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·+(+)·=-1-5p2,则p的值为 . 答案 三、解答题(共15分) 6.(2018辽宁大连模拟,20)如图,已知过抛物线E: x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,经过点C作抛物线E的切线为l2. (1)求证: l1∥l2; (2)求三角形ABC面积的最小值. 解析 (1)证明: 抛物线E: x2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,故设AF的方程为y=kx+1. 设A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨设x2>0), 由得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4, ∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,y1+=yD-1,∴yD=y1+2. ∴直线l1的斜率k1==, ∵x1x2=-4,∴k1==x2, 又∵y'=x,∴过C(x2,y2)的切线斜率k2=x2. 即k1=k2,∴l1∥l2. (2)由 (1)得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x++2,联立得x2-2x2x--8=0, ∴x1+xB=2x2,x1xB=-(+8). ∴|AB|=·=2·, 点C到直线l1的距离d=====, 三角形ABC的面积S=×|AB|×d=(x2-x1)3. 由 (1)可得x2-x1=4,∴当k=0时,(x2-x1)min=4, ∴当k=0时,三角形ABC的面积S=(x2-x1)3取到最小值,Smin=×43=16. C组 2016—2018年模拟·方法题组 方法1 求抛物线的标准方程的方法 1.(2018广西钦州模拟,6)已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A,若=2,则p等于( ) A.1B.2C.2D.4 答案 B 2.(2017江西赣州二模,4)抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 3.(2017福建福州模拟,14)函数y=ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是 . 答案 y2=x 方法2 抛物线定义的应用策略 4.(2018湖南长沙模拟,7)已知点A(3,0),过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为( ) A.1B.C.2D. 答案 C 5.(2018浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( ) A.4B.4或-4C.-2D.-2或2 答案 D 6.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为 . 答案 7.(2017福建四地六校4月模拟,15)已知抛物线C: y2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴于P点,则P点的坐标为 . 答案 (4,0) 8.(2016陕西西安模拟,13)如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是 . 答案 (8,12) 方法3 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 9.(2018广东汕头一模,9)过抛物线C: x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=( ) A.1B.2C.3D.4 答案 A 10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A、B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求证: y1y2为定值; (2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值? 如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由. 解析 (1)证明: 设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,为定值. (2)存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=, 因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|==,点E到直线x=a的距离d=, 所以所截弦长为2=2==. 当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.
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