初三知识点重难点归纳.docx
- 文档编号:13776552
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:70
- 大小:395.88KB
初三知识点重难点归纳.docx
《初三知识点重难点归纳.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初三知识点重难点归纳.docx(70页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
初三知识点重难点归纳
一、分式
初三数学知识点回顾
mnm-n
1、同底数幂相除,底数不变,指数相减;aa=a
(a0)
2、两个单项式相除,只要将系数及同底数幂分别相除;
3、形如
A(A、B是整式,且B中含有字母,B0)的式子叫做分式;
B
A
=0(A=0,B0);
B
4、分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变;约分后,分子与分母不再有公因式的分式称为最简分式;分式运算的结果一定要是最简;
5、最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的积;
6、在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去分母,有时可能产生不适合原方程的解(或根),这种根称为增根;因此,在解分式方程时必须进行检验;
7、任何不等于零的数的零次幂都等于1;a0=1(a0)
8、任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数;a-n=(
1)n=
a
1(a0)
an
9、用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a
10n的形式,其中n是正整数,1≤a<10;例
如0.000021=2.1
105
二、一元二次方程
2
1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程;一般形式:
ax+bx+c=0(a、b、
c是已知数,a
0)其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项;
2、一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法
(2)因式分解法(十字相乘法)(3)公式法
2
x=b
b4ac
(b2-4ac
0)(4)配方法(重点见P32)
2a
3、一元二次方程根的判别式(b2-4ac)当a0时
(1)>0时方程有两个不相等的实数根;
(2)=0时
方程有两不相等的实数根;(3)<0时方程没有实数根
4、一元二次方程根与系数关系(韦达定理):
ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a
0)当≥0时,设方程两根为
x1,x2则x1+x2=﹣
b,x1x2=c如xaa
1
x2=
(x1
2
x2)
4x1x2
=⋯⋯
5、以x1,x2为根的一元二次方程为:
xx1xx2
0或x2
x1x2x
x1x20
三、二次函数
1、y
ax2
bxc(a,b,c为常数,a
0),y叫做x的二次函数;
顶点为(
h,k)时,顶点式y
a(x
h)2
k;(a0)
与y轴有两个交点(
x1,0)(x2,0),交点式y
a(x
x1)(x
x2);(a0)
2、抛物线y
ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,当
a0时,开口向上,当
a0时,开口向下;
3、抛物线y
a(x
h)2
k与y
ax2形状、开口相同,位置
不同,抛物线y
a(x
h)2k特
点:
(1)对称轴是直线x
h(;
2)顶点(
h,k().
3)a
0时,开口向上;对称轴
左侧(即xh)
y随x的增大而减小;对称轴
右侧(即x
h)y随x的增大而增大;当x
h时,y有最小值
4acb2
;
4a
当a0时,开口向下;对称轴
左侧(即x
h)y随x的增大而增大;对称轴
右侧(即x
h)y随x
的增大而减小;当xh时,y有最大值k;
4、抛物线y
ax2
bxc(a
0()
1)
对称轴:
x
b;对称轴是2a
y轴,则
b0;对称轴在2a
y轴左侧,
则b0;对称轴在2a
2
y轴右侧,则
b0(;
2a
2)顶点:
(
b,4acb2a4a
);顶点在
4acb2
x轴上,0;
4a
顶点在y轴上,b
2a
0;(3)当a
b
0时,开口向上;对称轴
b
左侧(即x
b2a
4ac
)y随x的增大而减小;b2
对称轴右侧(即x
)y随x的增大而增大;当x
2a
时,y有最小值
2a
;当a
4a
0时,开
口向下;对称轴左侧(即x
b)y随x的增大而增大;对称轴2a
右侧(即x
b)y随x的增大而减2a
小;当x
b时,y有最大值2a
4acb2
;
4a
2
2
5、抛物线y
ax2向上平移b个单位得y
ax2
b;向下平移b个单位得y
ax2
b;向左平移b个单
位得y
a(x
b);向右平移b个单位得y
a(x
b);
6、抛物线y
ax2
bxc(a
0)当y
0时,
(1)
0时,x1、2
bb2
2a
4ac
与x轴有二个交点
(x1,0)
(x2,0),设x1
x2,a
0时,当x
x2,或x
x1时,y
0;当x1x
x2时,y
0;a
0时,当x
x2,或x
四、图形的
x1时,y
全等
0;当x1
xx2时,y
0;
(2)
0时,与x轴有一个交点
;(3)
0时,与
x轴无交点;
1、能够完全重合的两个图形就是全等图形;互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角;
2、全等图形的对应边相等,对应角相等;
3、全等三角形的识别
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等;简记(边边边或SSS)
(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这个三角形全等;简记为(边角边SAS)(3)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(角边角ASA)(4)如果两个三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等;简记为(HL)
4、能判断正确或是错误的句子叫做命题,命题常写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式,用“如果”开始的部分是
题设,用“那么”开始的部分是结论;能判断其它命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理;有些命题可以从公理或其它真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据,这样的真命题叫做定理;根据题设,定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的
推理过程叫做证明;五、圆
1、圆的有关概念:
(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径;
(2)连结圆上任意两点的线段叫做弦;经过圆心的弦叫做直径;圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;小于半圆周的圆弧叫做劣弧;大于半圆周的圆弧叫做优弧;在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧;顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫圆周角;经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形,外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外
接圆半径等于斜边的一半;与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆外切三角形,三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点;直角三角形内切圆半径
r满足:
abc2r;
2、圆的有关性质
(1)定理在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等;推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,
那么它们所对的其余各组量都分别相等;
(2)垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;推论1(ⅰ)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(ⅱ)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(ⅲ)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等;(3)圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半;推论1
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等;推论2半圆或直径所对的圆周
角都相等,都等于900;900的圆周角所对的弦是圆的直径;推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,
那么这个三角形是直角三角形;(4)切线的判定与性质:
判定定理:
经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线;性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切
垂直于切线的直线必经过圆心;(5)定理:
不在同一条直线上的三个点确定一个圆;(6)圆的切线上某一点与切
点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角;(7)圆内接四边形对角互补,一个外角等于内对角;圆外切四边形
对边和相等;(8)弦切角定理:
弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角;(9)和圆有关的比例线段:
相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等;如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项;切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
长的比例中项;从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等;(10)两圆相切,连心线过切点;两圆相交,连心线垂直平分公共弦;
3、与圆有关的位置关系
(1)点和圆的位置关系:
点在圆内d
r;点在圆上,d
r;点在圆外,d
r;
(2)直线和圆的位置关系:
直线与
圆相离(d>r);直线与圆相切(d
r),这条直线叫做圆的切线;直线与圆相交(
dr),这条直线叫做圆的割
线;(3)圆和圆的位置关系:
外离(d>R+r);外切d
Rr;相交(Rrd
Rr)(R
R);内切(d
Rr)
(Rr)
;内含(d
Rr)(R
nr
r);
nr21
4、圆中的计算:
l弧
180
;s扇形
360
或s扇形
l弧r
2
;圆锥侧面积=
rl母线
;圆锥侧面展开图扇形弧长
=2r
nl母线180
初三数学应知应会的知识点
一元二次方程
1.一元二次方程的一般形式:
a≠0时,ax
2
+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题
时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具体数,也
可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解法:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首
选方法;配方法使用较少.
22
3.一元二次方程根的判别式:
当ax+bx+c=0(a≠0)时,Δ=b-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等
价命题:
Δ>0<=>有两个不等的实根;Δ=0<=>有两个相等的实根;
Δ<0<=>无实根;Δ≥0<=>有两个实根(等或不等).
4.
2
一元二次方程的根系关系:
当ax+bx+c=0(a≠0)时,如Δ≥0,有下列公式:
(1)
x1,2
bb2
2a
4ac
;
(2)x1x2
bc
,x1x2.aa
2
※5.当ax+bx+c=0(a≠0)时,有以下等价命题:
(以下等价关系要求会用公式
x1x2
b
,xxa
c
;Δ2-4ac分析,不要求背记)
=b
2
a
1
(1)两根互为相反数
(2)两根互为倒数
b=0且Δ≥0b=0且Δ≥0;
a
c=1且Δ≥0a=c且Δ≥0;a
(3)只有一个零根
(4)有两个零根
c=0且
a
c=0且
a
b≠0c=0且b≠0;a
b=0c=0且b=0;a
(5)至少有一个零根
(6)两根异号
c=0c=0;
a
c<0a、c异号;
a
(7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值
(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值
c<0且a
c<0且a
b>0a、c异号且a、b异号;
a
b<0a、c异号且a、b同号;
a
(9)有两个正根
(10)有两个负根
c>0,a
c>0,a
b>0且Δ≥0a、c同号,a、b异号且Δ≥0;a
b<0且Δ≥0a、c同号,a、b同号且Δ≥0.a
6.求根法因式分解二次三项式公式:
注意:
当Δ<0时,二次三项式在实数范围内不能分解.
22
ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)或ax+bx+c=ax
bb24acbb2x
4ac.
2a2a
7.求一元二次方程的公式:
x2-(x
1+x
2)x+x
1x2
=0.注意:
所求出方程的系数应化为整数.
8.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x):
(1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程:
第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.
9.分式方程的解法:
(1)
去分母法
两边同乘最简公分母
验增根代入最简公分母
(或原方程的每个分母
),值0.
(2)换元法
凑元,设元,
验增根代入原方程每个
分母,值0.
换元.
10.二元二次方程组的解法:
(1)代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;
(2)分解降次法
方程组中含有能分解为(
())
0的方程;
(3)
(1)
(2)
注意:
(3)(4)
0
(1)
0
(2)
0
(1)
0
(2)
0
(3)
0
(4)
0
(4)
0
(3)
0
应分组为.
0
2
2
※11.几个常见转化:
x
x
1
2
12
12
(x
x)2
2xx
;(xx)2(x
12
1
(x
x
(1)22
1x2)
4x1x
;x2
1(x
x2
1)22;
x
或x21
2
x2
(x)22;
x
x1x2
2
)
(x
121
(x1
;
x2)2
4x1x2(x1x2)
x1
4
x2
3
;
因为增加次数
.
2
x)2
4x1x2
(x1
x2)
;
(x1x2)
1.分类为x1x22和x1x22
x1
(3)
4(或1
16)
(1)
x14
分类为和
x23
x
x
2
9
2
x232
(2)
两边平方一般不用,
x
2
(4)
如x1
sinA,x2
sinB且A
B90时,
由公式
sin2A
cos2A
1,cosA
sinB
x
1
可推出2
21.
注意隐含条件
:
x1
0,x20.
(5)
x1,x2
若为几何图形中线段长
时,可利用图形中的相等关
系(例如几何定理,相似形
面积
等式,公式)
推导出含有
x1,
x2的关系式
.注意隐含条件
:
x1
0,x20.
(6)
如题目中给出特殊的直
角三角形、三角函数、
比例式、等积式等条件
可把它们转化为某
些线段的比,并且
引入“辅助未知元
k”.
(7)
方程个数等于未知数个
数时,一般可求出未知数的值
;方程个数比未知数个数
少一个时,一
般求不出未知数的值
但总可求出任何两个未
知数的关系.
解三角形
1.三角函数的定义:
在RtΔABC中,如∠C=90°,那么
sinA=对
斜
tanA=对
a;cosA=c
a;cotA=
对b;
B
c
斜c
a
邻b.
邻b对a
CbA
2.余角三角函数关系------“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,那么:
sinA=cosB;cosA=sinB;tanA=cotB;cotA=tanB.
3.同角三角函数关系:
22
sinA+cosA=1;tanA·cotA=1.※tanA=
sinAcosA
※cotA=
cosAsinA
4.函数的增减性:
在锐角的条件下,正弦,正切函数随角的增大,函数值增大;余弦,余切函数随角的增大,
函数值反而减小.
5.特殊角的三角函数值:
如图:
这是两个特殊的直角三角形,通过设k,它可以推出特殊角的直角三角函数值,要熟练记忆它们.
∠A0°30°45°60
°
90°
sinA01231
222
cosA
1
tanA
0
cotA
不在
存
3210
222
A
60°
313
3
不存在
K2K
30°
130
3
3
C3KB
A
※6.函数值的取值范围:
在0°90°时.
正弦函数值范围:
01;余弦函数值范围:
10K
正切函数值范围:
0无穷大;余切函数值范围:
无穷大0.
;2K
45°
CKB
7.解直角三角形:
对于直角三角形中的五个元素,可以“知二可求三”,但“知二”中至少应该有一个是边.
※8.关于直角三角形的两个公式:
Rt△ABC中:
若∠C=90°,
rab2
c;R
cmc.2
r:
内切圆半径,
R:
外接圆半径,
mc:
斜边上中线.
9.坡度:
i=1:
m=h/l=tanα;坡角:
α.
10.方位角:
北偏西30北
hi=1:
m
a
l
东
南偏东70
11.仰角与俯角:
铅垂线
仰角
俯角水平线
12.解斜三角形:
已知“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.
※13.解符合“SSA”条件的三角形:
若三角形存在且符合“SSA”条件,则可分三种情况:
(1)∠A≥90°,图形唯一可解;
(2)∠A<90°,∠A的对边大于或等于它的已知邻边,图形唯一可解;(3)∠A<90°,
∠A的对边小于它的已知邻边,图形分两类可解.
14.解三角形的基本思路:
(1)“斜化直,一般化特殊”-------加辅助线的依据;
(2)合理设“辅助元k”,并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法转化思想;
(3)三角函数的定义,几何定理,公式,相似形等都存在着大量的相等关系,利用其列方程(或方程组)是解决数学问题的常用方法---------方程思想.
函数及其图象
一函数基本概念
1.函数定义:
设在某个变化过程中,有两个变量x,、y,如对x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.
22
※2.相同函数三个条件:
(1)自变量范围相同;
(2)函数值范围相同;(3)相同的自变量值所对应的函数值也相同.
※3.函数的确定:
对于y=kx(k≠0),如x是自变量,这个函数是二次函数;如x是自变量,这个函数是一次
..
y
--+++x
__o
函数中的正比例函数.
4.平面直角坐标系:
(1)平面上点的坐标是一对有序实数,表示为:
M(x,y),x叫横坐标,y叫纵坐标;
(2)一点,两轴,(四半轴),四象限,象限中点的坐标符号规律如右图:
(3)x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;即“x轴上的点纵为0,y轴上的点横为0”;反之也成立;
(4)象限角平分线上点M(x,y)的坐标特征:
x=y<=>M在一三象限角平分线上;x=-y<=>M在二四象限角平分线上.
(5)对称两点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标特征:
关于y轴对称的两点<=>横相反,纵相同;
关于x轴对称的两点<=>纵相反,横相同;关于原点对称的两点<=>横、纵都相反.
5.坐标系中常用的距离几个公式-------“点求距”
y
Px
MoN
Q
(1)如图,轴上两点M、N之间的距离:
MN=|x1-x2|=x大-x小,PQ=|y1-y2|=y大-y小.
(2)如图,象限上的点M(x,y):
y
到y轴距离:
dy=|x|;到x轴距离:
dx=|y|;
x
到原点的距离:
r
22
xy.
ro
M(x,y)
(3)如图,轴上的点M(0,y)、N(x,0)到原点的距离:
MO=|y|;NO=|x|.
※(4)如图,平面上任意两点M(x2,y2)、N(x2,y2)之间的距离:
N(x,0)o
M(x,y)y
y
M(0,y)
x
d(x1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初三 知识点 难点 归纳