北师大版八年级数学下册第一二章提高练习有答案.docx
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北师大版八年级数学下册第一二章提高练习有答案
第一二章提高练习
解答题
1.作图题:
在∠ABC内找一点P,使它到∠ABC的两边的距离相等,
并且到点A、C的距离也相等.(写出作法,保留作图痕迹)
2.a,b分别代表铁路和公路,点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场.现要建中转站O点,使O点到铁路、公路距离相等,且到两市场距离相等.请用尺规画出O点位置,不写作法,保留痕迹.
3.如图,直线m表示一条公路,A、B表示两所大学.要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等,请在图上找出这点P.
4.已知方程组
的解满足x为非正数,y为负数.
(1)求m的取值范围;
(2)化简:
|m﹣3|﹣|m+2|;
(3)在m的取值范围内,当m为何整数时,不等式2mx+x<2m+1的解为x>1.
5.解不等式
﹣
≥x﹣
,并把它的解集在数轴上表示出来.
6.解不等式组:
并将解集在数轴上表示.
7.已知,如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.
求证:
①BM=DM;②MN⊥BD.
8.如图,△ABC中,∠BAC=110°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,E、G分别为垂足.
(1)求∠DAF的度数;
(2)如果BC=10cm,求△DAF的周长.
9.如图,已知直线y1=﹣
x+1与x轴交于点A,与直线y2=﹣
x交于点B.
(1)求△AOB的面积;
(2)求y1>y2时x的取值范围.
10.已知y1=6﹣x,y2=2+7x,若①y1=2y2,求x的值;②当x取何值时,y1比y2小﹣3;③当x取何值时,y1与y2互为相反数?
11.若关于x的不等式组
恰有三个整数解,求实数a的取值范围.
12.小明解不等式
﹣
≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
13.数学课上,张老师举了下面的例题:
例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:
35°)
例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数,(答案:
40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解
(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
14.已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:
PM=PN.
15.如图,△ABC中,CF⊥AB,垂足为F,M为BC的中点,E为AC上一点,且ME=MF.
(1)求证:
BE⊥AC;
(2)若∠A=50°,求∠FME的度数.
16.在△ABC中,MP,NO分别垂直平分AB,AC.
(1)若BC=10cm,试求出△PAO的周长.(不用写过程,直接写出答案)
(2)若AB=AC,∠BAC=110°,试求∠PAO的度数.(不用写过程,直接写出答案)
(3)在
(2)中,若无AB=AC的条件,你能求出∠PAO的度数吗?
若能,请求出来;若不能,请说明理由.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;
(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:
AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?
若是请给出证明;若不是,请说明理由.
18.如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE.
(1)若∠BAE=40°,求∠C的度数;
(2)若△ABC周长13cm,AC=6cm,求DC长.
19.某商店从厂家选购甲、乙两种商品,乙商品每件进价比甲商品每件进价少20元,若购进甲商品5件和乙商品4件共需要1000元;
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)若甲种商品的售价为每件145元,乙种商品的售价为每件120元,该商店准备购进甲、乙两种商品共40件,且这两种商品全部售出后总利润不少于870元,则甲种商品至少可购进多少件?
20.某电器超市销售每台进价分别为200元,170元的A、B联众型号的电风扇,表中是近两周的销售情况:
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入﹣进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价;
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在
(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?
若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
21.为加快“智慧校园”建设,某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机.经过市场调查发现,今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元,且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.
(1)求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元?
(2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套,考虑物价因素,预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%,每套B型一体机的价格不变,若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用,那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划?
22.某公司有A、B两种型号的客车,它们的载客量、每天的租金如表所示:
A型号客车
B型号客车
载客量(人/辆)
45
30
租金(元/辆)
600
450
已知某中学计划租用A、B两种型号的客车共10辆,同时送七年级师生到沙家参加社会实践活动,已知该中学租车的总费用不超过5600元.
(1)求最多能租用多少辆A型号客车?
(2)若七年级的师生共有380人,请写出所有可能的租车方案.
23.如图,已知直线y=kx+b交x轴于点A,交y轴于点B,直线y=2x﹣4交x轴于点D,与直线AB相交于点C(3,2).
(1)根据图象,写出关于x的不等式2x﹣4>kx+b的解集;
(2)若点A的坐标为(5,0),求直线AB的解析式;
(3)在
(2)的条件下,求四边形BODC的面积.
24.某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机,若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机,共需要资金2800元;若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机,共需要资金4600元.
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元?
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售,预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台,请问有几种进货方案?
请写出进货方案;
(3)售出一部甲种型号手机,利润率为40%,乙型号手机的售价为1280元.为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金m元,而甲型号手机售价不变,要使
(2)中所有方案获利相同,求m的值.
25.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=115°时,∠BAD= °;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形.
26.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分.
(2)当t为何值时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,并求出此时CP的长;
(3)当t为何值时,△BCP为等腰三角形?
参考答案
1.解:
①以B为圆心,以任意长为半径画弧,分别交BC、AB于D、E两点;
②分别以D、E为圆心,以大于
DE为半径画圆,两圆相交于F点;
③连接BF,则直线BF即为∠ABC的角平分线;
⑤连接AC,分别以A、C为圆心,以大于
AC为半径画圆,两圆相交于H,G两点;
⑥连接GH交BF延长线于点P,则P点即为所求.
2.解:
①以A为圆心,以任意长为半径画圆,分别交铁路a和公路b于点B、C;
②分别以B、C为圆心,以大于
BC为半径画圆,两圆相交于点D,连接AD,则直线AD即为∠BAC的平分线
③连接MN,分别以M、N为圆心,以大于
MN为半径画圆,两圆相交于E、F,连接EF,则直线EF即为线段MN的垂直平分线;
④直线EF与直线AD相交于点O,则点O即为所求点.
同法点O′也满足条件.
故答案为O或O′处.
3.解:
如图所示,点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点.
4.解:
(1)解原方程组得:
,
∵x≤0,y<0,∴
,解得﹣2<m≤3;
(2)|m﹣3|﹣|m+2|=3﹣m﹣m﹣2=1﹣2m;
(3)解不等式2mx+x<2m+1得(2m+1)x<2m+1,
∵x>1,∴2m+1<0,∴m<﹣
,∴﹣2<m<﹣
,∴m=﹣1.
5.解:
原不等式去分母得:
2x﹣4﹣9x﹣15≥6x﹣4+2x,
移项得:
2x﹣9x﹣6x﹣2x≥﹣4+4+15,
合并同类项的:
﹣15x≥15,
解得x≤﹣1.解集在数轴上表示为:
6.解:
,
解①得x≥﹣4,解②得x<1,所以不等式组的解集为﹣4≤x<1,
用数轴表示为
.
7.
(1)证明:
如图,连接BM、DM,
∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,∴BM=DM=
AC,∴BM=DM;
(2)∵点N是BD的中点,BM=DM,∴MN⊥BD.
8.解:
(1)设∠B=x,∠C=y.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴110°+∠B+∠C=180°,∴x+y=70°.
∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,∴DA=BD,FA=FC,
∴∠EAD=∠B,∠FAC=∠C.∴∠DAF=∠BAC﹣(x+y)=110°﹣70°=40°.
(2)∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,∴DA=BD,FA=FC,
∴△DAF的周长为:
AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10(cm).
9.解:
(1)由y1=﹣
x+1,可知当y=0时,x=2,∴点A的坐标是(2,0),∴AO=2,
∵y1=﹣
x+1与直线y2=﹣
x交于点B,∴B点的坐标是(﹣1,1.5),
∴△AOB的面积=
×2×1.5=1.5;
(2)由
(1)可知交点B的坐标是(﹣1,1.5),
由函数图象可知y1>y2时x>﹣1.
10.解:
①根据y1=2y2,∴6﹣x=2×2+14x,解得:
x=
.
②由y1比y2小﹣3,∴y1=y2﹣(﹣3),∴6﹣x=2+7x﹣(﹣3),解得:
x=
.
③由y1与y2互为相反数,∴y1+y2=0,∴6﹣x+7x+2=0,解得:
x=
.
11.解:
,
由①得:
x>﹣
,由②得:
x<2a,则不等式组的解集为:
﹣
<x<2a,
∵不等式组只有3个整数解为0、1、2,∴2<2a≤3,∴1<a≤
,
故答案为:
1<a≤
.
12.解:
错误的是①②⑤,正确解答过程如下:
去分母,得3(1+x)﹣2(2x+1)≤6,
去括号,得3+3x﹣4x﹣2≤6,
移项,得3x﹣4x≤6﹣3+2,
合并同类项,得﹣x≤5,
两边都除以﹣1,得x≥﹣5.
13.解:
(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°﹣∠A)÷2=50°;
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°﹣2×80°=20°;
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°;
故∠B=50°或20°或80°;
(2)分两种情况:
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,∴∠B的度数只有一个;
②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B=(
)°;
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180﹣2x)°;
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.
当
≠180﹣2x且180﹣2x≠x且
≠x,
即x≠60时,∠B有三个不同的度数.
综上所述,可知当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
14.证明:
∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
15.
(1)证明:
∵CF⊥AB,垂足为F,M为BC的中点,∴MF=BM=CM=
BC,
∵ME=MF,∴ME=BM=CM=
BC,∴BE⊥AC;
(2)解:
∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,
∵ME=MF=BM=CM,
∴∠BMF+∠CME=(180°﹣2∠ABC)+(180°﹣2∠ACB)
=360°﹣2(∠ABC+∠ACB)
=360°﹣2×130°
=100°,
在△MEF中,∠FME=180°﹣100°=80°.
16.解:
(1)∵MP,NO分别垂直平分AB,AC,∴AP=BP,AO=CO,
∴△PAO的周长=AP+PO+AO=BO+PO+OC=BC,
∵BC=1Ocm,∴△PAO的周长10cm;
(2)∵AB=AC,∠BAC=110°,∴∠B=∠C=
(180°﹣110°)=35°,
∵MP,NO分别垂直平分AB,AC,∴AP=BP,AO=CO,
∴∠BAP=∠B=35°,∠CAO=∠C=35°,
∴∠PAO=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAO=110°﹣35°﹣35°=40°;
(3)能.理由如下:
∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°,
∵MP,NO分别垂直平分AB,AC,∴AP=BP,AO=CO,
∴∠BAP=∠B,∠CAO=∠C,
∴∠PAO=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAO=∠BAC﹣(∠B+∠C)=110°﹣70°=40°.
17.
(1)证明:
∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACE中,
∵
,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠ACE.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下:
同
(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,
∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.
18.解:
(1)∵AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE,
∵∠BAE=40°,∴∠AED=70°,∴∠C=
∠AED=35°;
(2)∵△ABC周长13cm,AC=6cm,∴AB+BE+EC=7cm,
即2DE+2EC=7cm,∴DE+EC=DC=3.5cm.
19.解:
(1)设甲种商品每件的进价是x元,乙两种商品每件的进y元.
,解得:
,
答:
甲种商品每件的进价是120元,乙两种商品每件的进100元;
(2)设甲种商品可购进a件.(145﹣120)a+(120﹣100)(40﹣a)≥870
解得:
a≥14,
答:
甲种商品至少可购进14件.
20.解:
(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,
依题意得:
,解得:
,
答:
A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元;
(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30﹣a)台.
依题意得:
200a+170(30﹣a)≤5400,解得:
a≤10.
答:
超市最多采购A种型号电风扇10台时,采购金额不多于5400元;
(3)依题意有:
(250﹣200)a+(210﹣170)(30﹣a)=1400,解得:
a=20,
∵a≤10,∴在
(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标.
21.解:
(1)设今年每套A型一体机的价格为x万元,每套B型一体机的价格为y万元,
由题意可得:
,解得:
,
答:
今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元;
(2)设该市明年购买A型一体机m套,则购买B型一体机(1100﹣m)套,
由题意可得:
1.8(1100﹣m)≥1.2(1+25%)m,解得:
m≤600,
设明年需投入W万元,
W=1.2×(1+25%)m+1.8(1100﹣m)=﹣0.3m+1980,
∵﹣0.3<0,∴W随m的增大而减小,
∵m≤600,∴当m=600时,W有最小值﹣0.3×600+1980=1800,
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.
22.解:
(1)设租用A型号客车x辆,则租用B型号客车(10﹣x)辆,
依题意,得:
600x+450(10﹣x)≤5600,解得:
x≤7
.
又∵x为整数,∴x的最大值为7.
答:
最多能租用7辆A型号客车.
(2)设租用A型号客车x辆,则租用B型号客车(10﹣x)辆,
依题意,得:
45x+30(10﹣x)≥380,解得:
x≥5
.
又∵x为整数,且x≤7
,∴x=6,7.
∴有两种租车方案,方案一:
组A型号客车6辆、B型号客车4辆;方案二:
组A型号客车7辆、B型号客车3辆.
23.解:
(1)根据图象可得不等式2x﹣4>kx+b的解集为:
x>3;
(2)把点A(5,0),C(3,2)代入y=kx+b可得:
,解得:
,
所以解析式为:
y=﹣x+5;
(3)把x=0代入y=﹣x+5得:
y=5,所以点B(0,5),
把y=0代入y=﹣x+5得:
x=2,所以点A(5,0),
把y=0代入y=2x﹣4得:
x=2,所以点D(2,0),所以DA=3,
所以四边形BODC的面积=
.
24.解:
(1)设甲种型号手机每部进价为x元,乙种型号手机每部进价为y元
,解得
,
答:
甲型号手机每部进价为1000元,乙型号手机每部进价为800元;
(2)设购进甲种型号手机a部,则购进乙种型号手机(20﹣a)部,
17400≤1000a+800(20﹣a)≤18000,解得7≤a≤10,
共有四种方案,
方案一:
购进甲手机7部、乙手机13部;
方案二:
购进甲手机8部、乙手机12部;
方案三:
购进甲手机9部、乙手机11部;
方案四:
购进甲手机10部、乙手机10部.
(3)甲种型号手机每部利润为1000×40%=400,
w=400a+(1280﹣800﹣m)(20﹣a)=(m﹣80)a+9600﹣20m
当m=80时,w始终等于8000,取值与a无关.
25.解:
(1)∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°;
从图中可以得知,点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小;
故答案为:
25°;小.
(2∵∠EDC+∠EDA=∠DAB+∠B,∠B=∠EDA=40°,∴∠EDC=∠DAB.,
∵∠B=∠C,∴当DC=AB=2时,△ABD≌△DCE,
(3)∵AB=AC,∴∠B=∠C=40°,
①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=40°,
∵∠AED>∠C,
∴此时不符合;
②当DA=DE时,即∠DAE=∠DEA=
(180°﹣40°)=70°,
∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°,
∴∠BAD=100°﹣70°=30°;
∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°;
③当EA=ED时,∠ADE=∠DAE=40°,
∴∠BAD=100°﹣40°=60°,
∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°;
∴当∠ADB=110°或80°时,△ADE是等腰三角形.
26.解:
(1)△ABC中,∵∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm,
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时,点P在AB上,此时CA+AP=BP+BC=12cm,
∴t=12÷2=6(秒);
(2)当点P在AB中点时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分,此时CA+AP=8+5=13(cm),
∴t=13÷2=6.5(秒),
∴CP=
AB=
×10=5cm;
(3)△BCP为等腰三角形时,分三种情况:
①如果CP=CB,那么点P在AC上,CP=6cm,此时t=6÷2=3(秒);
如果CP=CB,那么点P在AB上,CP=6cm,此时t=5.4(秒)
(点P还可以在AB上,此时,作AB边上的高CD,利用等面积法求得CD=4.8,再利用勾股定理求得DP=3.6,所以BP=7.2,AP=2.8,所以t=(8+2.8)÷2=5.4(秒))
②如果BC=BP,那么点P在AB上,BP=6cm,CA+AP=8+10﹣6=12(cm),此时t=12÷2=6(秒);
③如果PB=PC,那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处,即在AB的中点,此时CA+AP=8+5=13(cm),
t=13÷2=6.5(秒);
综上可知,当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时,△BCP为等腰三角形.
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- 北师大 八年 级数 下册 第一 提高 练习 答案
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