第四次作业+Baumgarte违约修正.docx
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第四次作业+Baumgarte违约修正
弹簧阻尼四连杆机构动力学分析
——Baumgarte违约修正
使用ADAMS建立如图1所示的四连杆机构,二杆长100mm,三杆长282.84mm,四杆长300mm,二杆所受的转矩为10000
;三个杆都受重力,二杆初始角度为90度;在四杆的质心和地面之间加上弹簧和阻尼,弹簧原长为200mm,弹簧刚度为3N/mm,阻尼为0.4N/(mm/s)。
运用欧拉法,并加入Baumgarte违约修正法,用Matlab对该系统进行动力学分析,并与ADAMS仿真结果进行对比。
通过Baumgarte违约修正法可以明显看到各仿真曲线更接近于ADAMS的仿真曲线,通过改变不同的
时修正效果最好,基本与ADAMS结果重合,只有放大很多倍后才会看到细微差别。
二杆
三杆
图1加弹簧阻尼四杆机构
一、动力学分析
1、外力矢量
(1)弹簧力为:
fs=k*(sqrt((q(7,i)-400)^2+(q(8,i)-150)^2)-L0);
(2)阻尼力为:
fc=-c*q_v(7,i)*(400-q(7,i))/sqrt((q(7,i)-400)^2+(q(8,i)-150)^2)+c*q_v(8,i)*(q(8,i)-150)/sqrt((q(7,i)-400)^2+(q(8,i)-150)^2);
(3)四杆质心x轴方向所受的外力:
fs*(400-q(7,i))/sqrt((q(7,i)-400)^2+(q(8,i)-150)^2)+fc*(400-q(7,i))/sqrt((q(7,i)-400)^2+(q(8,i)-150)^2);
(4)四杆质心y轴方向所受的外力:
-fs*(q(8,i)-150)/sqrt((q(7,i)-400)^2+(q(8,i)-150)^2)-fc*(q(8,i)-150)/sqrt((q(7,i)-400)^2+(q(8,i)-150)^2);
2、外力所做的虚功
3、系统的约束方程
4、雅克比矩阵
由系统的约束方程,求雅克比矩阵得
。
具体程序见附录一,可得雅克比矩阵
:
5、
具体程序见附录二,可得
:
6、系统的动力学方程
其中:
7、Baumgarte违约修正法
在上述系统的动力学方程中加入Baumgarte违约修正法,如下式。
为系统的约束方程,
为对
求雅克比矩阵,再乘以
。
为系统约束方程
直接对时间求导。
系统的约束方程为:
即
为:
x4-l2/2*cos(x6);
x5-l2/2*sin(x6);
x4+l2/2*cos(x6)-x7+l3/2*cos(x9);
x5+l2/2*sin(x6)-x8+l3/2*sin(x9);
x7+l3/2*cos(x9)-x10+l4/2*cos(x12);
x8+l3/2*sin(x9)-x11+l4/2*sin(x12);
x10+l4/2*cos(x12)-l5;
x11+l4/2*sin(x12);
x4x5x6x7x8x9x10x11x12分别代表二杆、三杆、四杆的位移量。
为:
y4y5y6y7y8y9y10y11y12分别代表二杆、三杆、四杆的速度量。
将x、y转化成编程所用的数组q(i)、q_v(i)得到:
为:
q(1,i)-l2/2*cos(q(3,i));
q(2,i)-l2/2*sin(q(3,i));
q(1,i)+l2/2*cos(q(3,i))-q(4,i)+l3/2*cos(q(6,i));
q(2,i)+l2/2*sin(q(3,i))-q(5,i)+l3/2*sin(q(6,i));
q(4,i)+l3/2*cos(q(6,i))-q(7,i)+l4/2*cos(q(9,i));
q(5,i)+l3/2*sin(q(6,i))-q(8,i)+l4/2*sin(q(9,i));
q(7,i)+l4/2*cos(q(9,i))-l5;
q(8,i)+l4/2*sin(q(9,i));
为:
q_v(1,i)+q_v(3,i)*l2/2*sin(q(3,i));
q_v(2,i)-q_v(3,i)*l2/2*cos(q(3,i));
q_v(1,i)-q_v(3,i)*l2/2*sin(q(3,i))-q_v(4,i)-q_v(6,i)*l3/2*sin(q(6,i));
q_v(2,i)+q_v(3,i)*l2/2*cos(q(3,i))-q_v(5,i)+q_v(6,i)*l3/2*cos(q(6,i));
q_v(4,i)-q_v(6,i)*l3/2*sin(q(6,i))-q_v(7,i)-q_v(9,i)*l4/2*sin(q(9,i));
q_v(5,i)+q_v(6,i)*l3/2*cos(q(6,i))-q_v(8,i)+q_v(9,i)*l4/2*cos(q(9,i));
q_v(7,i)-q_v(9,i)*l4/2*sin(q(9,i));
q_v(8,i)+q_v(9,i)*l4/2*cos(q(9,i))
分别乘以
和
加到
-(l2*q_v(3,i)^2*cos(q(3,i)))/2-2*a*(q_v(1,i)+q_v(3,i)*l2/2*sin(q(3,i)))-b^2*(q(1,i)-l2/2*cos(q(3,i)));
-(l2*q_v(3,i)^2*sin(q(3,i)))/2-2*a*(q_v(2,i)-q_v(3,i)*l2/2*cos(q(3,i)))-b^2*(q(2,i)-l2/2*sin(q(3,i)));
(l2*cos(q(3,i))*q_v(3,i)^2)/2+(l3*cos(q(6,i))*q_v(6,i)^2)/2-2*a*(q_v(1,i)-q_v(3,i)*l2/2*sin(q(3,i))-q_v(4,i)-q_v(6,i)*l3/2*sin(q(6,i)))-b^2*(q(1,i)+l2/2*cos(q(3,i))-q(4,i)+l3/2*cos(q(6,i)));
(l2*sin(q(3,i))*q_v(3,i)^2)/2+(l3*sin(q(6,i))*q_v(6,i)^2)/2-2*a*(q_v(2,i)+q_v(3,i)*l2/2*cos(q(3,i))-q_v(5,i)+q_v(6,i)*l3/2*cos(q(6,i)))-b^2*(q(2,i)+l2/2*sin(q(3,i))-q(5,i)+l3/2*sin(q(6,i)));
(l3*cos(q(6,i))*q_v(6,i)^2)/2+(l4*cos(q(9,i))*q_v(9,i)^2)/2-2*a*(q_v(4,i)-q_v(6,i)*l3/2*sin(q(6,i))-q_v(7,i)-q_v(9,i)*l4/2*sin(q(9,i)))-b^2*(q(4,i)+l3/2*cos(q(6,i))-q(7,i)+l4/2*cos(q(9,i)));
(l3*sin(q(6,i))*q_v(6,i)^2)/2+(l4*sin(q(9,i))*q_v(9,i)^2)/2-2*a*(q_v(5,i)+q_v(6,i)*l3/2*cos(q(6,i))-q_v(8,i)+q_v(9,i)*l4/2*cos(q(9,i)))-b^2*(q(5,i)+l3/2*sin(q(6,i))-q(8,i)+l4/2*sin(q(9,i)));
(l4*q_v(9,i)^2*cos(q(9,i)))/2-2*a*(q_v(7,i)-q_v(9,i)*l4/2*sin(q(9,i)))-b^2*(q(7,i)+l4/2*cos(q(9,i))-l5);
(l4*q_v(9,i)^2*sin(q(9,i)))/2-2*a*(q_v(8,i)+q_v(9,i)*l4/2*cos(q(9,i)))-b^2*(q(8,i)+l4/2*sin(q(9,i)));];
使用欧拉迭代法加Baumgarte违约修正法就可以计算出各个曲线,并改变不同的
。
二、说明
1、由于本程序采用欧拉迭代法求解,所以计算过程有误差。
当仿真时间越长时,与ADAMS曲线相差越大,但曲线形状一致,只有相位滞后。
通过Baumgarte违约修正法可以明显看到各仿真曲线更接近于ADAMS的仿真曲线,改变不同的
,可以得到不同的修正结果。
通过观察发现
仿真结果基本与ADAMS完全重合。
2、由于在ADAMS中用常规方法无法测量三杆的角度。
所以再建立两个辅助杆,并设这两个辅助杆的质量和转动惯量都为零,用于测量三杆的角度,如图2中辅助杆1和辅助杆2。
再就可以测量由E、F、G点组成的角度作为三杆的角度。
点F
点G
点E
图2辅助测量杆
三、Matlab与ADAMS仿真曲线对比
局部放大
图3弹簧阻尼器所受的力
图4上图局部放大的曲线对比
局部放大
图5铰链2处作用力变化曲线
图6上图局部放大的曲线对比
仿真分析
由图4、6可以看出:
1、当
时的蓝色曲线与ADAMS最接近;
2、无修正的绿色曲线与ADAMS相差最大;
可以得出结论Baumgarte违约修正法,如果选取
恰当可以得到很好地修正结果。
图7铰链2处作用力变化曲线
图8铰链3处作用力变化曲线
图9铰链4处作用力变化曲线
图10三杆质心位置变化曲线
图11四杆质心位置变化曲线
图12二杆质心速度变化曲线
图13三杆质心速度变化曲线
图14四杆质心速度变化曲线
图15二杆质心加速度变化曲线
图16三杆质心加速度变化曲线
图17四杆质心加速度变化曲线
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- 第四 作业 Baumgarte 违约 修正