高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破.docx
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高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
考纲要求:
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题
1
2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题SabsinC.
2基础知识回顾:
abc
1.===2R,其中R是三角形外接圆的半径.
sinAsinBsinC
由正弦定理可以变形:
(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
2.余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2
变形:
cosA=,cosB=,cosC=
2bc2ac2ab
4.三角形常用的面积公式
1111abc
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absinC=acsinB=bcsinA=
22224R
1
(3)S=2r(a+b+c)(r为内切圆半径).
应用举例:
类型一、利用正(余)弦定理解三角形
【例1】已知中,,点在边上,且.
(1)若,求;
(2)求的周长的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
所以:
由于:
则:
,,
由于:
,则:
,
得到:
,
所以的周长的范围是:
.
【点睛】
本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形,尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题,然后利用辅助角公式进行化简,求出范围,一定要掌握解题方法。
【例2】已知在中,所对的边分别为,.
(1)求的大小;
(2)若,求的值.
【答案】
(1)或
(2)1
又由余弦定理得,∴
,∴
时,则
时,则,
,此方程无解.
点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:
定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:
定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步:
求结果类型二、利用正(余)弦定理判断三角形形状
【例3】在中,,.
(1)求证:
是直角三角形;
(2)若点在边上,且,求.
答案】
(1)见解析;
(2)
(2)设,则,,,
所以
在中,
由正弦定理得,所以
点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形,注意角之间的表示,本题需要一定的计算
【例4】在中,角所对的边分别为,已知且
(1)判断的形状;
2)若
,求的面积
答案】
(1)见解析;
(2)
(2)由
(1)知,,则,
因为,所以由余弦定理,得
解得,所以的面积.
【点睛】
本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形,注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。
类型三、利用正(余)弦定理解决与三角形面积有关的问题
【例5】在中,角,,的对边分别为.已知,.
(1)求角;
(2)若,求的面积.
同理得
得
2)由
(1)得
点睛】本题考查三角形的解法,正弦定理的应用,两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力.
【例6】在中,角,,的对边分别是,,,若,,成等差数列
(1)求;
(2)若,,求的面积.
又,∴,
即
方法、规律归纳
1.三角形中常见的结论
(1)A+B+C=π.
(2)在△ABC中,A>B?
a>b?
sinA>sinB?
cosA (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)三角形内的诱导公式: sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC; A+BCA+BC tan(A+B)=-tanC;sin=cos;cos=sin. 2222 (6)在△ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°. (7)△ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c成等比数列. 2.判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断. 实战演练: 1.在中,角所对的边分别为,且. (1)求; (2)若,求的面积的最大值. 【答案】 (1); (2). 点睛】 在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一 决三角形问题时,注意角的限制范围. 1)若,求的面积; 2)若的面积为,求,. 3.已知中,角所对的边分别为且 (1)求角的大小; (2)若,求面积的最大值。 【答案】; (2) 解析】 分析】 1)利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简即得角的大小. (2)先证明 再求面积的最大值 详解】 1) 点睛】 (1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水 平和分析推理能力. (2)本题解题的关键是 4.已知中,内角所对的边分别为,其中, 1)若,求的值; 2)若边上的中线长为,求的面积. 详解】 (1)依题意,, 故,所以 所以, 因为,所以,故, 2)记边上的中线为CD,故 所以 所以的面积 点睛】 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力,属于基础题. 5.在中,内角的对边分别为,且满足 1)证明: 成等差数列; 详解】 即 由三角形内角和定理有由正弦定理有 成等差数列 点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式.解题中利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的转化 是解题地基本方法.当等式两边是关于边或关于角的齐次式时,可以利用正弦定理进行边角转化,如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化,化为单一关系式再进行变形求解. 6.在中,内角所对的边分别为,已知 1)求角; 2)若的周长为8,外接圆半径为,求的面积. 【答案】 (1); (2). 【详解】 (1)由, 得,即,所以 即,因为,所以.由正弦定理得, 因为,所以,所以,得. 7.的内角,,的对边分别为,,,已知 1)求; 2)若,求的面积和周长. ; (2) , 答案】 (1) 也即得. 所以 ,即 得周长. 详解: (1)由正弦定理以及又因为,所以,所以可得 和 代入 得,所以 ,且,得 2)将 由余弦定理得 点睛: 本题考查正弦定理,三角形的面积公式,考查两角和的余弦公式和诱导公式,在解三角形中边角关 系常常用正弦定理进行相互转化,解题时可根据要求的结论确定选用什么公式,从而确定解题方法.如本题求三角形面积,利用 (1)的结论可选用公式,因此可先把及代入已知求出,再求面积. 8.在中,角的对边分别是,且. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,求面积的最大值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 点睛: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用,属于中档题。 9.已知的内切圆面积为,角所对的边分别为,若. (1)求角; (2)当的值最小时,求的面积. 【答案】 (1); (2). 2) 由题意可知的内切圆半径为1,如图,设圆为三角形的内切圆,为切点,可得,则,于是化简得,所以或 又,所以,即当且仅当时,的最小值为6, 此时三角形的面积 点睛: 本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题. )求函数的最大值以及取最大值时的取值集合. )在中,角,,的对边分别为 ,,,且 ,, ,求的面积. 答案】 (1)函数的最大值为 ,此时的取值集合为 . (2) ∵为的内角, 由余弦定理得即又,,故, 得, ∴的面积 点睛: 本题综合考查平面向量的数量积公式,三角函数的正余弦倍角公式,辅助角公式,及用余弦定理解三角形和三角形面积。 解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理及面积公式。 11.△ABC的内角,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin (1)求cosB; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 【答案】 (1)cosB=. (2)b=2. 点睛: 以三角形载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考 查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦 公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心 12.已知中,,为内一点,且. (Ⅰ)当时,求的长; (Ⅱ)若,令,求的值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 由内角和定理得. 在直角中,, 在中,由正弦定理得: 解得 13. 的内角的对边分别为.已知 Ⅰ)求角; Ⅱ)的面积为,其外接圆半径为,且,求. 答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 由余弦定理得即解得: 或,又,所以. 14.已知△内角,,的对边分别为,,,. (1)求; 2)若,,求△的面积. 答案】 (1) 2) (1)若的面积为,求; (2)若,求的面积. 平方化简求值即可; 2)利用三角形的面积公式以及余弦定理转化求解即可 解析: 解: (1)由 得 得 ,即 又 ,那么 即,得到,即有.
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