小学奥数数论专题知识总结全面完整版.docx
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小学奥数数论专题知识总结全面完整版
数论基础知识
小学数论问题,起因于除法算式:
被除数÷除数=商……余数
1.能整除:
整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等;
2.不能整除:
余数,余数的性质与计算(余数),同余问题(除数),物不知数问题(被除数)。
一、因数与倍数
1、因数与倍数
(1)定义:
定义1:
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
定义2:
如果非零自然数a、b、c之间存在a×b=c,或者c÷a=b,那么称a、b是c的因数,c是a、b的倍数。
注意:
倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。
(a、b是因数,c是倍数)
一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
(2)一个数的因数的特点:
1最小的因数是1,第二小的因数一定是质数;
2最大的因数是它本身,第二大的因数是:
原数÷第二小的因数
(3)完全平方数的因数特征:
1完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。
2完全平方数的质因数出现次数都是偶数次;
31000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。
(312=961,442=1936,542=2916)
2、数的整除(数的倍数)
(1)定义:
定义1:
一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b=c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。
定义2:
如果一个整数a,除以一个整数b(b≠0),得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
(a≥b)
(2)整除的性质:
如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
(3)一些常见数的整除特征(倍数特征):
①末位判别法
2、5的倍数特征:
末位上的数字是2、5的倍数。
4、25的倍数特征:
末两位上的数字是4、25的倍数。
8、125的倍数特征:
末三位上的数字是8、125的倍数。
②截断求和法(从右开始截)
9(及其因数3)的倍数特征:
一位截断求和
99(及其因数3、9、11、33)的倍数特征:
两位截断求和
999(及其因数3、9、27、37、111、333)的倍数特征:
三位截断求和
③截断求差法(从右开始截)
11的倍数特征:
一位截断求差
101的倍数特征:
两位截断求差
1001(及其因数7、11、13、77、91、143)的倍数特征:
三位截断求差
④公倍数法
6的倍数特征:
2和3的公倍数。
先判断是否2的倍数,再判断是否3的倍数。
12的倍数特征:
4和3的公倍数。
先判断是否4的倍数,再判断是否3的倍数。
3、奇数与偶数(自然数按是否能被2整除分类)
(1)定义:
奇数:
不是2的倍数的数。
在自然数中,最小的奇数是1。
偶数:
是2的倍数的数。
在自然数中,最小的偶数是0。
(2)数的奇偶性质:
1奇偶相连,奇偶相间,偶数个连续自然数中,奇偶各半。
2奇数个奇数的和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数;
3两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数;
4若a、b为整数,则a+b与a-b有相同的奇偶性;
5n个奇数的乘积是奇数,n个偶数的乘积是2n的倍数;算式中有一个是偶数,则乘积必是偶数。
6连续的奇数或偶数差为2。
如,与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。
7奇偶分析:
奇+奇=偶奇-奇=偶奇×奇=奇
奇+偶=奇偶-偶=偶奇×偶=偶
偶+偶=偶奇-偶=奇偶×偶=偶
4、质数与合数(非0自然数按因数个数分类)
(1)定义:
质数:
只有1和它本身两个因数的数。
(因数个数:
2个)
合数:
除了1和它本身还有其它因数的数。
(因数个数:
3个或3个以上)
(2)常见质数特征:
1既不是质数,也不是合数(1只有1个因数);
2是最小的质数;4是最小的合数;
2是质数中唯一的偶数,也是偶数中唯一的质数(除2外,其它质数都是奇数)。
(3)100以内质数表(25个):
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
(4)分解质因数
1唯一分解定理:
任何一个大于1的自然数 N,如果N不是质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。
2质因数:
如果某个质数是某个数的因数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
3分解质因数:
把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。
如:
28=2×2×7=2²×7
4通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
5要求出乘积中末尾0的个数,只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数,不用考虑其它质因数。
(5)互质数:
公因数只有1的两个数为互质数。
常见的互质数:
1相邻自然数:
8和9
2相邻奇数:
21和23
32与任意奇数:
2和15
4不同的两个质数:
11和17
51与任意非零自然数:
1和4
6当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质:
3和14
7公因数只有1的两个合数:
6和25
8如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质:
3、5、7
5、最大公因数与最小公倍数
(1)定义:
最大公因数:
几个数公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个叫做最大公因数,用(a,b)表示。
最小公倍数:
几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做最小公倍数,用[a,b]表示。
(2)最大公因数的性质:
1几个数都除以它们的最大公因数,所得的几个商是互质数。
2几个数的最大公因数都是这几个数的因数。
3几个数的公因数,都是这几个数的最大公因数的因数。
4几个数都乘一个自然数m,所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。
(3)最小公倍数的性质:
1两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
即(a,b)×[a,b]=a×b
(4)求最大公因数的方法:
1列举法
2短除法
3分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
4辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公因数。
(5)求最小公倍数基本方法:
1列举法
2短除法
3分解质因数法
(6)分类求最大公因数和最小公倍数:
1倍数关系:
a是b的倍数,(a,b)=b,[a,b]=a
2互质关系:
a与b互质,(a,b)=1,[a,b]=a×b
3一般关系:
a与b不互质也不倍数,用短除法。
(a,b)=左侧除数连乘积,[a,b]=除数和商连乘积
6、分解质因数的运用:
(1)求一个数因数的个数
1列举法:
2个一组列举
2分解质因数法:
①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积(指数加1再相乘)
如:
360=2³×3²×5,360的因数个数:
(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24(个)
(2)求一个数的所有因数的和
步骤:
①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。
如:
180=2²×3²×5,180的所有因数之和:
(20+21+22)×(30+31+32)(50+51)=7×13×6=546
二、余数性质与同余问题
1、余数的性质
(1)余数小于除数。
(2)若a、b除以c的余数相同,则(a-b)或(b-a)可以被c整除。
(3)a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。
(和的余数=余数的和)
(4)a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。
(差的余数=余数的差)
(5)a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
(积的余数=余数的积)
2、余数的计算(求余数)
(1)末位判断法:
2,5,4,25,8,125
(2)数字求和法:
3,9
各个数位上数字之和除以3或9的余数=某数除以3或9的余数。
如:
234569。
2+3+4+5+6+9=29,因为29÷9=3…2,所以234569÷9=?
…2,即234569≡29(mod9)
(3)截断求和法:
99,999及其因数
99(3、9、11、33):
两位截断求和,得到的和除以99余数,即原数除以99的余数。
999(3、9、27、37、111、333):
三位截断求和,得到的和除以999余数,即原数除以999的余数。
如:
12345。
345+12=357,357<999,所以12345÷999余357。
(4)截断求差法:
从右开始截断,奇段和-偶段和。
11,101,1001及其因数7、11、13、77、91、143。
①11:
一位截断作差。
从右开始,1位截断,(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)÷11的余数,即为原数÷11的余数;如不够减,求出的负数+11。
如:
234569。
奇数位数字之和3+5+9=17,偶数位数字之和2+4+6=12,17-12=5,所以234569÷11余5,即234569≡5(mod11)
如:
98,(奇数位8<偶数位9)8-9=-1,-1+11=10,则98÷11=8……10,即98≡10(mod11)
②101:
两位截断作差。
从右开始,2位截断,(奇位和)-(偶位和)÷101的余数,即为原数÷101的余数;如不够减,求出的负数+101。
③1001(7、11、13、77、91、143):
三位截断作差。
从右开始,3位截断,(奇位和)-(偶位和)÷1001的余数,即为原数÷1001的余数;如不够减,求出的负数+1001。
3、费马小定理
如果p是质数,a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。
即:
假如a是自然数,p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
如:
a是自然数2,p是质数5,2和5互质,2(5-1)÷5余1。
a是自然数10,p是质数3,10和3互质,10(3-1)÷3余1。
4、同余问题(求除数)
同余的定义:
(1)若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
(2)已知三个整数a、b、m,如果m能被(a-b)整除,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
5、中国剩余定理(物不知数问题:
求被除数)
在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题:
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。
问物几何?
物不知数问题,又叫孙子问题、韩信点兵问题。
方法:
1最小公倍数法:
和同加和,余同加余,差同减差(缺同减缺)。
2列举法(逐步满足条件法)
3口诀法(仅适应于3、5、7):
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝;七子团圆正半月,除百零五便得知。
口诀法解释(只看数字即可):
将除以3的余数乘70,将除以5的余数乘21,将除以7的余数乘15,全部加起来后除以105,得到的余数就是答案。
步骤:
2×70+3×21+2×15=140+63+30=233,233÷105=2……23
三、完全平方数
完全平方数:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484…
完全平方数特征:
(1)末位数字只能是:
0、1、4、5、6、9;(个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方数)
(2)奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数,如25,49,81。
(个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数)
(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,它的十位数字一定是奇数。
如16,36,196,256。
(个位数是6,十位数是偶数的一定不是平方数)
(4)偶数的平方是4的倍数,奇数的平方是4的倍数加1。
(5)奇数的平方是8n+1型,偶数的平方是8n或8n+4型。
(形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的一定不是完全平方数)
(6)完全平方数的形式一定是3k或3k+1,即除以3余0或1。
(形如3k+2的一定不是完全平方数)
(7)完全平方数的形式一定是4k或4k+1,即除以4余0或1。
(形如4k+2和4k+3的一定不是平方数)
(8)能被5整除的数的平方是5k型,不能被5整除的数的平方是5k±1型。
(9)完全平方数对的形式具有:
16m,16m+1,16m+4,16m+9。
(10)完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。
(各数位数字和是2、3、5、6、8的一定不是平方数)
(11)若质数p能整除完全平方数a,则p²也能整除a。
(12)两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。
(13)一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数。
(因数个数为奇数个的自然数是平方数)
(14)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。
平方差公式:
X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:
(X-Y)2=X2-2XY+Y2
三年级奥数教学计划
课程目标:
1.提高学生学习数学的兴趣和积极性,提高他们的学习质量。
2.训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
3.锻炼学生优良的意志品质。
4.培养学生扎实的数学基本功,给予学生发挥创新精神和创造力的最大空间。
实施措施:
1.循儿童身心发展的特征,以及教育教学规律,要根据不同学生的实际情况,数学性与趣味性相结合。
努力让孩子们体验到学习数学的意义和快乐
2.展学生的思维水平,在学习过程中提高学生的发现、比较、判断和推理能力,训练学生有条理地思考问题。
要使经过奥数训练的学生,思维更敏捷,考虑问题比别人更深层次。
我们教奥数不要只教一些技巧性的东西,要注重提高学生的数学能力。
3.鼓励和帮助学生拥有一个良好的心态,要培养学生持之以恒的耐心和克服困难的信心,以及战胜难题的勇气。
4.注重理解,举一反三和灵活运用。
解决问题要鼓励学生求异思维,要最大限度发挥学生的创造力,不要急于提供解题方法和答案束缚学生的思维。
课程内容:
(专项例题+随堂练习+课后巩固+智慧岛+小小侦探+脑筋急转弯+数学笑话)
课程周次
课程内容
课程课时
第一讲
智力趣题
2课时
第二讲
加减法巧算
3课时
第三讲
乘除法巧算
3课时
第四讲
思维大考验
3课时
第五讲
和倍问题
3课时
第六讲
和差问题
3课时
第七讲
和差问题
3课时
第八讲
简单的周期问题
3课时
第九讲
简单的年龄问题
3课时
第十讲
简单的时间问题
3课时
2、使学生明白“正确的思维
2021-9-19
第一讲巧算加减法
教学目标:
1学会“化零为整”的思想。
2加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
3加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者,先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。
教学重点:
加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数,再将各组的结果求和。
教学难点:
有些题目直观上凑整不明显,这时可“借数”凑整。
教学过程
学习例1:
凑整法
23+54+18+47+82;
解:
23+54+18+47+82
=(23+47)+(18+82)+54
=70+100+54=224;
学习例2:
借数凑整法
有些题目直观上凑整不明显,这时可“借数”凑整。
例如,计算976+85,可在85中借出24,即把85拆分成24+61,这样就可以先用976加上24,“凑”成1000,然后再加61。
(1350+49+68)+(51+32+1650)。
解:
(1350+49+68)+(51+32+1650)
=1350+49+68+51+32+1650
=(1350+1650)+(49+51)+(68+32)
=3000+100+100=3200
学习例3:
分组凑整法
计算:
(1)875-364-236;
(2)1847-1928+628-136-64;
解:
(1)875-364-236
=875-(364+236)
=875-600=275;
(2)1847-1928+628-136-64
=1847-(1928-628)-(136+64)
=1847-1300-200=347;
4.加补凑整法
学习例4计算:
(1)512-382;
(2)6854-876-97;
解:
(1)512-382=(500+12)-(400-18)
=500+12-400+18
=(500-400)+(12+18)
=100+30=130;
(2)6854-876-97
=6854-(1000-124)-(100-3)
=6854-1000+124-100+3
=5854+24+3=5881;
习题:
1.(1350+49+68)+(51+32+1650)。
2.4993+3996+5997+848。
3.1348-234-76+2234-48-24。
4.397-146+288-339。
课时二和倍问题
教学目标:
1学会运用画图线的方法表示和倍关系中两个量,以更方便的找到解题的思路。
2熟练掌握解答和倍问题的方法,理解和倍问题中各个量之间的关系。
教学重点:
运用画图线的方法,准确分析各量之间的关系。
教学难点:
能够理解和倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。
教学过程:
学习例1:
甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
集体讨论:
甲班和已班各占多少分,你能不能画出倍数图线?
分析与解答:
设乙班的图书本数为1份,则甲班图书为乙班的3倍,那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本,求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数,然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系:
解:
乙班:
160÷(3+1)=40(本)
甲班:
40×3=120(本)
或160-40=120(本)
答:
甲班有图书120本,乙班有图书40本。
这道应用题解答完了,怎样验算呢?
可把求出的甲班本数和乙班本数相加,看和是不是160本;再把甲班的本数除以乙班本数,看是不是等于3倍.如果与条件相符,表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。
验算:
120+40=160(本)
120÷40=3(倍)。
学习例2:
甲班有图书120本,乙班有图书30本,甲班给乙班多少本,甲班的图书是乙班图书的2倍?
集体讨论:
你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗?
分析与解答:
解这题的关键是找出哪个量是变量,哪个量是不变量从已知条件中得出,不管甲班给乙班多少本书,还是乙班从甲班得到多少本书,甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍,那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法,先求出乙班现有图书多少本,再与原有图书本数相比较,可以求出甲班给乙班多少本书(见上图)。
解:
①甲、乙两班共有图书的本数是:
30+120=150(本)
②甲班给乙班若干本图书后,甲、乙两班共有的倍数是:
2+1=3(倍)
③乙班现有的图书本数是:
150÷3=50(本)
④甲班给乙班图书本数是:
50-30=20(本)
综合算式:
(30+120)÷(2+1)=50(本)
50-30=20(本)
答:
甲班给乙班20本图书后,甲班图书是乙班图书的2倍。
验算:
(120-20)÷(30+20)=2(倍)
(120-20)+(30+20)=150(本)。
学习例3:
光明小学有学生760人,其中男生比女生的3倍少40人,男、女生各有多少人?
分析与解答:
把女生人数看作一份,由于男生人数比女生人数的3倍还少40人,如果用男、女生人数总和760人再加上40人,就等于女生人数的4倍(见下图)。
解:
①女生人数:
(760+40)÷(3+1)=200(人)
②男生人数:
200×3-40=560(人)
或760-200=560(人)
答:
男生有560人,女生有200人。
验算:
560+200=760(人)
(560+40)÷200=3(倍)。
学习例4:
果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,求桃树、梨树和苹果树各有多少棵?
分析与解答:
下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵,那么就和梨树同样多了;再从桃树里减少12棵,那么就相当于梨树的2倍了,而总棵树则变为552+20-12=560(棵),相当于梨树棵数的4倍。
解:
①梨树的棵数:
(552+20-12)÷(1+1+2)
=560÷4=140(棵)
②桃树的棵数:
140×2+12=292(棵)
③苹果树的棵数:
140-20=120(棵)
答:
桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
学习例5:
549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2,丁数除以2以后,则4个数相等.求4个数各是多少?
分析与解答:
上图可以看出,丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等,也就是丙数的2倍和丁数的一半相等,即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍,甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系,可以先求出丙数,再分别求出其他各数。
解:
①丙数是:
(549+2-2)÷(2+2+1+4)
=549÷9
=61
②甲数是:
61×2-2=120
③乙数是:
61×2+2=124
④丁数是:
61×4=244
验算:
120+124+61+244=549
120+2=122124-2=122
61×2=122244÷2=122
答:
甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.
习题:
1.小明和小强共有图书120本,小强的图书本数是小明的2
倍,他们两人各有图书多少本?
2.果园里一共种340棵桃树和杏树,其中桃树的棵数比杏树
的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?
课时三差倍问题
教学目标:
1进一步掌握运用画图线的方法表示差倍关系中的两个量。
2比较和倍问题的阶梯方法的基础上,熟练掌握解答差倍问题的方法,理解和倍问题中各个量之间的关系。
教学重点:
运用画图线的方法,准确分析差倍关系中各量之间的关系。
教学难点:
能够理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。
教学过程:
前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题,这种方法使分析的问题具体、形象,使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。
“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系,求这两个数。
学习例1:
甲班的图书本数比乙班多80本,甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
分析与解答:
上图把乙班的图书本数看作1倍,甲班的图书本数是乙班的3倍,那么甲
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