清华微积分答案.docx
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清华微积分答案
清华微积分答案
a=?
f是向量值函数,可以观察,e与a平行时,f的方向导数最大,且大小a.e=||a||,称a是f的梯度场
向量值函数的切平面、微分、偏导
f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x)),若所有fi在x0处可微,则称f在x0处可微,即
f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||),其中
a=(aij)m*n=?
f/?
x=?
(f1,f2,…,fm)/?
(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian(f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度,
aij:
=?
fi/?
xj)
f的全微分df=adx
当m=n时,f有散度div(f)和旋度curl(f)
div(f)=?
.f=?
f1/?
x1+…+?
fm/?
xm
复合函数求导
一阶偏导:
若g=g(x)在x0可微,f=f(u)(u=g(x))在g(x0)可微,则f○g在x0处可微,
j(f○g)=j(f(u))j(g(x))
具体地,对于多元函数f(u)=f(u1,…,um),其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)
?
f/?
xj
=?
f/?
u*?
u/?
xj
=sum[?
f/?
ui*?
ui/?
xj]{foreachuiinu}
高阶偏导:
不要忘记偏导数还是复合函数
例:
f(u):
=f(u1,u2),u(x):
=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))
?
2f/(?
x1)2=数学分析教程p151
隐函数、隐向量值函数
由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数
隐函数:
1.存在定理:
若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续,且?
(f)/?
(y)(x0,y0)0,则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0),使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0,即函数f在b内确定了一个隐函数y=f(x),而且这个隐函数的一阶偏导数也连续
注:
如果?
(f)/?
(y)=0,那么在x=x0超平面上,y在x0处取得了极值,
那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走,y都会减小,所以y
是双值函数,不是函数
?
?
)处,2.偏导公式:
在b内的(?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
/?
?
?
?
?
?
=?
?
?
或者说
?
?
?
?
?
?
?
?
/?
?
?
?
=?
?
?
?
?
不正式的证明:
f(x,y)≡0,所以?
f/?
xi=0,即
sum[?
f/?
xj*?
xj/?
xi]=0(把y记做xn+1)
由于x的各分量都是自变量,?
xj/?
xi=0(ij)
所以?
f/?
xi+?
f/?
y*?
y/?
xi=0
于是立即可得上述公式
隐向量值函数:
1.存在定理:
若x∈rn,y∈rm,m维n+m元向量值函数f(x,y)=0,在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c
(1)类函数,f(p0)=0,且?
f/?
y可逆,则存在p0的邻域b(x0)*b(y0),使得对于在b(x0)内的任意x,存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0,即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)
2.偏导公式:
j(f):
=?
(y1,…,ym)/?
(x1,…,xn):
=?
y/?
x
=-[?
f/?
y]-1*?
f/?
x
注:
1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法,a-1=a*/|a|,a*是a的余子矩阵的转置
2.如果只求j(f)中的一列,?
(y)/?
(xi)=-[?
(f)/?
(y)]-1*[?
(f)/?
(xi)]
3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素,问题退化成隐函数偏导的问题
4.计算?
f/?
x时,忽略y是x的函数,将y当作自变量计算
(从证明中可以看出原因,因为?
y/?
x的成分被移到了等式左侧j(f)里面),而不用偏导公式,采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时,y要看做xi的函数)
3.隐向量值函数的反函数:
函数y=f(x)将rn映射至rm,如果j(f)=?
f/?
x可逆,那么存在f的反函数x=f-1(y),且j(f-1)=[j(f)]-1
注:
1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法,a-1=a*/|a|,a*是a的余子矩阵的转置
2.|j(f-1)|=|j(f)|-1
用参数形式给出的隐函数
若有x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),则需要列方程求
曲面和曲线的切平面、法线、法向量
三维空间下,函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
如果f在点p处满足
(1)f在p处连续可微
(2)?
f在p处不为0
则称p是曲面上的正则点
如果曲面在正则点p0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz),a=(x-x0,y-y0,z-z0),则s在p点的切平
面方程为n.a=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz(约定分母为0时分子也为0)过p0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程:
(x-x0).n1=(x-x0).n2=0,
具体地:
x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0
x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0
i.曲面的显式表示法
z=f(x,y)是曲面s的显式表示
正则点p0(x0,y0,z0)处,s的法向量n=(?
f/?
x,?
f/?
y,-1)
ii.曲面的隐式表示法
f(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法
【篇二:
一元微积分习题清华大学】
ass=txt>一.函数极限(定义)
1.用定义证明:
arctan(1
)?
0;
(2)lim?
x?
?
x?
11?
?
.1?
x2
2.设函数f(x)?
0,limf(x)?
a,证明:
limx?
x0x?
x0f(x)?
a
二.函数的极限
3.讨论极限limx?
111?
21
1?
x是否存在;
1?
?
?
2?
exsinx?
4.求极限lim?
?
?
4x?
0|x|?
?
1?
ex?
?
f(x)?
limf(x)?
f
(1),求证:
5.设函数f(x)在?
0,?
?
?
上满足f(x2)?
f(x),且lim?
x?
0x?
?
?
f(x)?
f
(1),x?
(0,?
?
)。
6.设f(x)在?
0,?
?
?
单调递增,且limx?
?
?
f(2x)f(ax)?
1,求证:
?
a?
0,lim?
1。
x?
?
?
f(x)f(x)
x?
m,m,n互质n
x?
?
\?
,证明:
riemann
x?
0?
1?
n?
7.(书上p.66,23)riemann函数的定义为r(x)?
?
0?
1?
?
函数在任意点的极限均为0.
1?
x?
n,?
1,x,1?
x?
2,?
?
?
xn,n?
x?
n?
1,?
f(x)?
8.设f1(x)?
?
1?
n,x?
2,1?
?
x?
n?
1,?
x?
x?
(1)对任意固定的n,求limfn(x);x?
?
?
(2)求f(x)?
limf1(x)f2(x)?
fn(x)在[1,?
?
)上的表达式;n?
?
(3)求limf(x)。
x?
?
?
1
三.连续函数概念
9.讨论函数f(x)的连续性,若有可去间断点,将函数修正为连续函数。
?
ln?
1?
sin2
?
x?
2x2x?
0
f(x)?
?
?
?
1x?
0
?
?
1?
cosx
?
?
x2x?
0
10.考察函数y?
e1?
cos1
x的连续性。
11.对下列题目,选择出正确答案
(1)设f(x)与?
(x)在(?
?
?
?
)有定义,?
(x)在(?
?
?
?
)有间断点,f(x)在(?
?
?
?
)上连续,且f(x)?
0,则
(a)f?
?
(x)?
在(?
?
?
?
)上必有间断点;
(b)?
?
f(x)?
在(?
?
?
?
)上必有间断点;
(c)?
2(x)在(?
?
?
?
)上必有间断点;
(d)?
(x)
f(x)在(?
?
?
?
)上必有间断点.
1
(2).设f(x)?
1?
ex
2,则x?
0是f(x)的()。
2?
3ex
(a)可去间断点。
(b)跳跃间断点。
(c)无穷间断点。
(d)震荡间断点。
(3).设函数f(x)?
1
x,则()
ex?
1?
1
(a)x?
0,x?
1都是f(x)的第一类间断点。
(b)x?
0,x?
1都是f(x)的第二类间断点。
(c)x?
0是f(x)的第一类间断点,x?
1是f(x)的第二类间断点。
(d)x?
0是f(x)的第二类间断点,x?
1是f(x)的第一类间断点。
12.设f(x)?
x2n?
1?
ax2?
bx
nlim?
?
?
x2n?
1?
c(?
?
?
?
),求a,b。
2
13.设f(x),g(x)?
c[a,b].
证明:
(1)|f(x)|,max{f(x),g(x)},min{f(x),g(x)}?
c[a,b].
(2)m(x)?
minf(?
),m(x)?
maxf(?
)?
c[a,b]a?
?
?
xa?
?
?
x
14.设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点,且
f?
?
x?
y?
f(x)?
f(y)
?
2?
?
?
2,
3
【篇三:
清华大学微积分讲座__刘坤林视频讲义】
lass=txt>1.1函数与基本不等式
函数关系,定义域与值域,反函数与复合函数
四类初等性质(广义奇偶性)
1.2极限定义与性质
序列与函数极限定义与等价描述
极限性质:
唯一性,有界性,保号性及推论,比较性质
1.3三个极限存在准则
1.4两个标准极限
1.5无穷小量比阶
等价无穷小量,同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6极限相关知识点
导数概念,变限积分,级数,微分方程,广义积分等。
1.7连续函数
基本概念,定义,连续性与极限的关系,
连续性等价描述,连续性的判别
闭区间上连续函数的性质,零点定理,
最大最小值定理。
2.ys2002090702.htm
1.1函数与基本不等式
函数关系,定义域与值域,反函数与复合函数
四类初等性质(广义奇偶性)
1.2极限定义与性质
序列与函数极限定义与等价描述
极限性质:
唯一性,有界性,保号性及推论,比较性质
1.3三个极限存在准则
1.4两个标准极限
1.5无穷小量比阶
等价无穷小量,同阶无穷小量与高阶无穷小量。
1.6极限相关知识点
导数概念,变限积分,级数,微分方程,广义积分等。
1.7连续函数
基本概念,定义,连续性与极限的关系,
连续性等价描述,连续性的判别
闭区间上连续函数的性质,零点定理,
最大最小值定理。
3.ys2002090703.htm
例15.设与在有定义,在
有间断点,在上连续,且,则
(a)在上必有间断点;
(b)在上必有间断点;
(c)在上必有间断点;
(d)在上必有间断点.
例16.设,且至少存在一点,使,证明在上有正的最大值。
例17.设,,,证明
(1)存在;
(2)收敛。
例18.若,则
(a)且;(b)且;
(c)且;(d)且;
例19.若存在,则b(a)。
(b)之去心邻域,使当时,。
(c)之邻域,使当时,。
(d)。
例20.设定义在,且都在处连续,
若
则d(a)且
(b)且
(c)且
(d)且
例21.设当是比高阶的无穷小量,则a(a),(b)(c),(d)
4.ys2002090704.htm
例15.设与在有定义,在
有间断点,在上连续,且,则
(a)在上必有间断点;
(b)在上必有间断点;
(c)在上必有间断点;
(d)在上必有间断点.
例16.设,且至少存在一点,使,
证明在上有正的最大值。
例17.设,,,证明
(1)存在;
(2)收敛。
例18.若,则
(a)且;(b)且;
(c)且;(d)且;
例19.若存在,则b(a)。
(b)之去心邻域,使当时,。
(c)之邻域,使当时,。
(d)。
例20.设定义在,且都在处连续,
若
则d(a)且
(b)且
(c)且
(d)且
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