版高中数学 第一章132 函数的极值与导数二学案 新人教A版选修22.docx
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版高中数学第一章132函数的极值与导数二学案新人教A版选修22
1.3.2 函数的极值与导数
(二)
学习目标
1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题.
1.极小值点与极小值
(1)特征:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,并且f′(a)=0.
(2)符号:
在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.
(3)结论:
点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2.极大值点与极大值
(1)特征:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,并且f′(b)=0.
(2)符号:
在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
(3)结论:
点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
3.用导数求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求函数y=f(x)的导数f′(x);
(3)求出方程f′(x)=0在定义域内的所有实根,并将定义域分成若干个子区间;
(4)以表格形式检查f′(x)=0的所有实根两侧的f′(x)是否异号,若异号则是极值点,否则不是极值点.
类型一 由极值的存在性求参数的范围
例1
(1)若函数f(x)=
x3-x2+ax-1有极值点,则实数a的取值范围为________.
(2)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0)B.
C.(0,1)D.(0,+∞)
考点 利用导数研究函数的极值
题点 极值存在性问题
答案
(1)(-∞,1)
(2)B
解析
(1)f′(x)=x2-2x+a,由题意,得方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1.
(2)∵f(x)=x(lnx-ax),
∴f′(x)=lnx-2ax+1,且f(x)有两个极值点,
∴f′(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点,
令f′(x)=0,则2a=
,
设g(x)=
,则g′(x)=
,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
又∵当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,
而g(x)max=g
(1)=1,
∴只需0<2a<1,即0 . 引申探究 1.若本例 (1)中函数的极大值点是-1,求a的值. 解 f′(x)=x2-2x+a, 由题意得f′(-1)=1+2+a=0, 解得a=-3,则f′(x)=x2-2x-3,经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值. 2.若本例 (1)中函数f(x)有两个极值点,均为正值,求a的取值范围. 解 由题意,得方程x2-2x+a=0有两个不等正根,设为x1,x2,则 解得0 故a的取值范围是(0,1). 反思与感悟 函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)=0根的问题. 跟踪训练1 已知函数f(x)= ,若函数在区间 (其中a>0)上存在极值,求实数a的取值范围. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 解 ∵f(x)= ,x>0, 则f′(x)=- . 当0 ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴函数f(x)在x=1处取得极大值. ∵函数f(x)在区间 (其中a>0)上存在极值, ∴ 解得 即实数a的取值范围为 . 类型二 利用函数极值解决函数零点问题 例2 (1)函数f(x)= x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点,则实数a的取值范围是________. 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 解析 ∵f(x)= x3-4x+4, ∴f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 令f′(x)=0,得x=2或x=-2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x=-2时,函数取得极大值f(-2)= ; 当x=2时,函数取得极小值f (2)=- . 且f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 根据函数单调性、极值情况,它的图象大致如图所示, 结合图象知- . (2)已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数y=f(x)的图象与y= f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围. 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 由f(x)=x3-6x2+9x+3, 可得f′(x)=3x2-12x+9, f′(x)+5x+m= (3x2-12x+9)+5x+m =x2+x+3+m. 则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点. ∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4), 令g′(x)=0,得x= 或x=4. 当x变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表: x 4 (4,+∞) g′(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则函数g(x)的极大值为g = -m,极小值为g(4)=-16-m.由y=f(x)的图象与y= f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点, 得 解得-16 . 即实数m的取值范围为 . 反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 跟踪训练2 若2ln(x+2)-x2-x+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围. 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 令g(x)=2ln(x+2)-x2-x+b, 则g′(x)= -2x-1=- (x>-2). 当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x (-2,0) 0 (0,+∞) g′(x) + 0 - g(x) ↗ 极大值 ↘ 由上表可知,函数在x=0处取得极大值,极大值为g(0)=2ln2+b. 结合图象(图略)可知,要使g(x)=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,只需 即 所以-2ln2 故实数b的取值范围是(-2ln2,2-2ln3]. 1.下列四个函数中,能在x=0处取得极值的函数是( ) ①y=x3; ②y=x2+1; ③y=|x|; ④y=2x. A.①②B.②③ C.③④D.①③ 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 B 解析 ①④为单调函数,无极值. 2.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( ) A.1,-3B.1,3 C.-1,3D.-1,-3 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 A 解析 ∵f′(x)=3ax2+b, 由题意知f′ (1)=0,f (1)=-2, ∴ ∴a=1,b=-3. 3.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( ) A.(-1,2)B.(-3,6) C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-3)∪(6,+∞) 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D 解析 f′(x)=3x2+2ax+a+6. 因为函数f(x)既有极大值又有极小值, 所以Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0, 解得a>6或a<-3. 4.若函数f(x)=x3-3ax+1在区间(0,1)内有极小值,则a的取值范围为________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 (0,1) 解析 f′(x)=3x2-3a. 当a≤0时,在区间(0,1)上无极值. 当a>0时,令f′(x)>0,解得x> 或x<- . 令f′(x)<0,解得- . 若f(x)在(0,1)内有极小值,则0< <1.解得0 5.已知函数f(x)=x3-12x+4,讨论方程f(x)=m的解的个数. 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 由题意知,f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)极小值=f (2)=-12,f(x)极大值=f(-2)=20. 又因为f(x)的定义域是R,画出函数图象(图略), 所以当m>20或m<-12时,方程f(x)=m有一个解; 当m=20或m=-12时,方程f(x)=m有两个解; 当-12 1.研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题,一般地,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标. 2.事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 一、选择题 1.函数f(x)=3x2-lnx-x的极值点的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞); f′(x)=6x- -1= = ; ∴当0 时,f′(x)<0,当x> 时,f′(x)>0; ∴x= 是f(x)的极值点; 即f(x)的极值点个数为1.故选B. 2.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( ) A.2B.3C.6D.9 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 D 解析 f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵f(x)在x=1处有极值,∴f′ (1)=12-2a-2b=0, ∴a+b=6. 又a>0,b>0,∴a+b≥2 , ∴2 ≤6 ,∴ab≤9. 3.若函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点,则a的值可能为( ) A.4B.6C.7D.8 答案 A 解析 f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 由f′(x)>0,得x<1或x>2, 由f′(x)<0,得1 所以函数f(x)在区间(-∞,1),(2,+∞)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f (1),f (2). 若函数f(x)恰好有两个不同的零点,则f (1)=0或f (2)=0,解得a=5或a=4. 4.函数f(x)=x2-alnx(a∈R)不存在极值点,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0)B.(0,+∞) C.[0,+∞)D.(-∞,0] 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D 解析 f(x)的定义域是(0,+∞), f′(x)=2x- = , 若f(x)在(0,+∞)上不存在极值点,则a≤2x2在(0,+∞)上恒成立,故a≤0,故选D. 5.若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是( ) A. B. C.(0,4e2)D.(0,+∞) 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 B 解析 令g(x)=x2ex, 则g′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2). 令g′(x)=0,得x=0或-2, ∴g(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增. ∴g(x)极大值=g(-2)= ,g(x)极小值=g(0)=0,
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