高中数学苏教版选修21第1章《常用逻辑用语》31word学案.docx
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高中数学苏教版选修21第1章《常用逻辑用语》31word学案
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量 词
[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
[知识链接]
下列语句是命题吗?
(1)与(3),
(2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
答:
语句
(1)
(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,因而不是命题.语句(3)在
(1)的基础上,用短语“对所有的”对变量x进行限定;语句(4)在
(2)的基础上,用短语“对任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题.
[预习导引]
1.全称量词和全称命题
(1)全称量词:
短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)全称命题:
含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
2.存在量词和存在性命题
(1)存在量词:
短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)存在性命题:
含有存在量词的命题叫做存在性命题.存在性命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0),读作“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”.
要点一 全称量词与全称命题
例1 试判断下列全称命题的真假:
(1)∀x∈R,x2+2>0;
(2)∀x∈N,x4≥1;(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
解
(1)由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.
(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.
(3)由于∀α∈R,sin2α+cos2α=1成立.所以命题“对任意角α,都有sin2α+cos2α=1”是真命题.
规律方法 判断全称命题为真时,要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时,可以用反例进行否定.
跟踪演练1 判断下列全称命题的真假:
(1)所有的素数是奇数;
(2)∀x∈R,x2+1≥1;
(3)对每一个无理数x,x2也是无理数.
解
(1)2是素数,但2不是奇数.
所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.
(2)∀x∈R,总有x2≥0,因而x2+1≥1.
所以,全称命题“∀x∈R,x2+1≥1”是真命题.
(3)
是无理数,但(
)2=2是有理数.
所以,全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.
要点二 存在量词与存在性命题
例2 判断下列命题的真假:
(1)∃x0∈Z,x
<1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)有一个实数α,使tanα无意义;
(4)∃x0∈R,cosx0=
.
解
(1)∵-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
∴“∃x0∈Z,x
<1”是真命题.
(2)真命题,如梯形.
(3)真命题,当α=
时,tanα无意义.
(4)∵当x∈R时,cosx∈[-1,1],而
>1,
∴不存在x0∈R,使cosx0=
,
∴原命题是假命题.
规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题,判定一个存在性命题为真,只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.
跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假:
(1)有一个实数x0,使x
+2x0+3=0;
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;
(3)有些整数只有两个正因数.
解
(1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在性命题“有一个实数x0,使x
+2x0+3=0”是假命题.
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以,存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.
要点三 全称命题、存在性命题的应用
例3
(1)对于任意实数x,不等式sinx+cosx>m恒成立.求实数m的取值范围;
(2)存在实数x,不等式sinx+cosx>m有解,求实数m的取值范围.
解
(1)令y=sinx+cosx,x∈R,
∵y=sinx+cosx=
sin(x+
)≥-
,
又∵∀x∈R,sinx+cosx>m恒成立,
∴只要m<-
即可.
∴所求m的取值范围是(-∞,-
).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R,
∵y=sinx+cosx=
sin(x+
)∈[-
,
].
又∵∃x∈R,sinx+cosx>m有解,
∴只要m<
即可,
∴所求m的取值范围是(-∞,
).
规律方法 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用,注意二者的区别.
跟踪演练3
(1)已知关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,求实数a的取值范围;
(2)若命题p:
=sinx-cosx是真命题,求实数x的取值范围.
解
(1)关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,
解得a≥
,∴实数a的取值范围为[
,+∞).
(2)由
=sinx-cosx,
得
=sinx-cosx,
∴
=sinx-cosx,
即|sinx-cosx|=sinx-cosx,
∴sinx≥cosx.
结合三角函数图象,得2kπ+
≤x≤2kπ+
(k∈Z),此即为所求x的取值范围.
即p:
∀x∈[2kπ+
,2kπ+
](k∈Z),有
=sinx-cosx是真命题.
1.给出四个命题:
①末位数是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数x,x>0;④对于任意实数x,2x+1是奇数.
下列说法正确的是________.
①是假命题 ②是存在性命题 ③是真命题 ④是真命题
答案 ②③
解析 ①④为全称命题;②③为存在性命题;①②③为真命题;④为假命题.
2.下列命题中,不是全称命题的是________.
①任何一个实数乘以0都等于0;②自然数都是正整数;③每一个向量都有大小;④一定存在没有最大值的二次函数.
答案 ④
解析 ④是存在性命题.
3.下列存在性命题是假命题的是________.
①存在x∈Q,使2x-x3=0;②存在x∈R,使x2+x+1=0;③有的素数是偶数;④有的有理数没有倒数.
答案 ②
解析 对于任意的x∈R,x2+x+1=(x+
)2+
>0恒成立.
4.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题:
(1)凸n边形的外角和等于2π;
(2)有一个有理数x0满足x
=3.
解
(1)∀x∈{x|x是凸n边形},x的外角和是2π.
(2)∃x0∈Q,x
=3.
1.判断命题是全称命题还是存在性命题,主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词,可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
3.要确定一个存在性命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在性命题是假命题.
一、基础达标
1.下列命题:
①中国公民都有受教育的权利;
②每一个中学生都要接受爱国主义教育;
③有人既能写小说,也能搞发明创造;
④任何一个数除0,都等于0.
其中全称命题的个数是________.
答案 3
解析 命题①②④都是全称命题.
2.下列命题中的假命题是________.
①∃x∈R,lgx=0;②∃x∈R,tanx=1;③∀x∈R,x3>0;④∀x∈R,2x>0.
答案 ③
解析 对于①,当x=1时,lgx=0,正确;对于②,当x=
时,tanx=1,正确;对于③,当x<0时,x3<0,错误;对于④,∀x∈R,2x>0,正确.
3.下列命题中存在性命题的个数是________.
①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sinx|≤1.
答案 1
解析 命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”,是全称命题;而命题④是全称命题.故有一个存在性命题.
4.下列全称命题中真命题的个数为________.
①负数没有对数;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;
④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
答案 3
解析 ①②③为真命题,当x=y=0时,x2+|y|=0,故④为假命题.
5.给出以下命题:
①∀x∈R,有x4>x2;
②∃α∈R,使得sin3α=3sinα;
③∃a∈R,对∀x∈R,使得x2+2x+a<0.
其中真命题的个数为________.
答案 1
解析 ①中,当x=0时,x4=x2,故为假命题;②中,当α=kπ(k∈Z)时,sin3α=3sinα成立,故为真命题;③中,由于抛物线开口向上,一定存在x∈R,使x2+2x+a≥0,显然为假命题.
6.下列命题中,既是真命题又是存在性命题的是________.
①存在一个α,使tan(90°-α)=tanα;②存在实数x0,使sinx0=
;③对一切α,sin(180°-α)=sinα;④sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
答案 ①
解析 只有①、②两个选项中的命题是存在性命题,而由于|sinx|≤1,所以sinx0=
不成立,故②为假命题.
又因为当α=45°时,tan(90°-α)=tanα,故①为真命题.
7.判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)存在一条直线,其斜率不存在;
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有惟一解;
(3)存在实数x0,使得
=2.
解
(1)是存在性命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.
(2)是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax+b=0都有惟一解”,是假命题.
(3)是存在性命题,用符号表示为“∃x0∈R,
=2”,是假命题.
二、能力提升
8.给出下列四个命题:
①a⊥b⇔a·b=0;②矩形都不是梯形;
③∃x,y∈R,x2+y2≤1;
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.
其中全称命题是________.
答案 ①②④
解析 ①②省略了量词“所有的”,④含有量词“任意”.
9.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,3]
解析 对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,∴a≤3.
10.下面四个命题:
①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2=2;
③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.
其中真命题的个数为________.
答案 0
解析 x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,∴①为假命题.
当且仅当x=±
时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题.
对∀x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题.
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
11.已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:
∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0.若命题“p∧q”是真命题,求实数a的取值范围.
解 ∀x∈[1,2],x2-a≥0,即a≤x2,
当x∈[1,2]时恒成立,∴a≤1.
∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0,
即方程x2+2ax+2-a=0有实根,
∴Δ=4a2-4(2-a)≥0.∴a≤-2或a≥1.
又p∧q为真,故p、q都为真,∴
即a≤-2或a=1,
∴实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.
12.已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?
并说明理由;
(2)若存在实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围.
解
(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.故存在实数m使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时m>-4.
(2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x).
若存在实数x使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m>4.
故所求实数m的取值范围是(4,+∞).
三、探究与创新
13.若∀x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
解
(1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R;
(2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立.
又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1.
综上所述,当m=0时,a∈R;
当m≠0时,a∈[-1,1].
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