抛物线的标准方程高中数学知识点讲解含答案.docx
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抛物线的标准方程高中数学知识点讲解含答案
抛物线的标准方程(北京习题集)(教师版)
一.选择题(共6小题)
1.(2019秋•怀柔区期末)过点(1,1)的抛物线的标准方程为( )
A.B.C.D.或
yxy2xx2yy2xx2y
2
2.(2015秋•海淀区校级期末)已知是经过抛物线的焦点的弦,若点、的横坐标分别为1和,则
ABy22pxAB1
4
该抛物线的准线方程为( )
A.1B.C.D.x
xx1x11
22
3.(2015秋•房山区期末)抛物线y22x的准线方程是( )
1
A.B.C.D.y
xy1x11
2222
4.(2013•大兴区一模)抛物线yx2(2„x„2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入
一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是( )
A.1B.8C.82D.162
5.(2011秋•西城区校级期末)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点,若
线段AB的长为8,则p的值是( )
816
A.2B.4C.D.
59
6.(2012秋•海淀区校级期中)顶点为原点,焦点为F(0,1)的抛物线方程是( )
A.y22xB.y24xC.x22yD.x24y
二.填空题(共7小题)
7.(2019秋•通州区期末)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为y2,那么该抛物线的标准方程是 .
1
8.(2020•东城区模拟)若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1),(2,),(2,1),(4,2)中的2个点,则该抛物线的标
2
第1页(共10页)
准方程可以是 .
9.(2018秋•东城区期末)已知抛物线C的顶点在原点,准线方程为y2,则抛物线C的标准方程为 .
10.(2018•海淀区二模)已知抛物线C的焦点为F(0,1),则抛物线C的标准方程为 .
x
2
11.(2017•石景山区一模)若抛物线y22px的焦点与双曲线y21的右顶点重合,则p .
4
12.(2016秋•西城区期末)学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线
围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方程,决定把抛物线的顶点确定为原点,对称轴确定为x轴,建立
如图所示的平面直角坐标系,但是他无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过对碗的相关数据的测量以及进一
步的计算,帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是 (所有测量数据用小写英文字母表示),算出的
抛物线标准方程为 .
13.(2013秋•昌平区期末)抛物线yax的准线方程是x1,则实数a的值为 .
2
三.解答题(共2小题)
14.(2012秋•海淀区期末)已知直线l交抛物线C:
y22px(p0)于A,B两点,且AOB90,其中,点O为坐
标原点,点的坐标为.
A(1,2)
(I)求抛物线C的方程;
(II)求点B的坐标.
15.(2011秋•西城区期末)已知抛物线:
2(0)的焦点在直线上
Cx2pypFl:
xy10
(I)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于P,Q两点,求线段PQ中点M的坐标.
第2页(共10页)
抛物线的标准方程(北京习题集)(教师版)
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.(2019秋•怀柔区期末)过点(1,1)的抛物线的标准方程为( )
A.B.C.D.或
y2xy2xx2yy2xx2y
【分析】由题意设出抛物线方程为或,结合抛物线过点分类求得的值得答案.
yaxx2ay(1,1)a
2
【解答】解:
由题意可设抛物线方程为或,
yaxx2ay
2
Q(1,1)
抛物线过点,
y2axa1
当抛物线方程为时,得;
当抛物线方程为时,得.
x2aya1
y2xx2y
抛物线的标准方程是或.
故选:
D.
【点评】本题考查抛物线标准方程的求法,考查了分类讨论的数学思想方法,是中档题.
2.(2015秋•海淀区校级期末)已知是经过抛物线的焦点的弦,若点、的横坐标分别为1和,则
ABy22pxAB1
4
该抛物线的准线方程为( )
A.1B.C.D.x
xx1x11
22
【分析】求出A,B的坐标,利用两点间的距离公式结合弦长公式,即可得出结论.
1p【解答】解:
由题意,A(1,2p),B(,),42
1p99
|AB|
(1)(2p)p
22
42162
,
991
p1p
1624
,
p1,
1
抛物线的准线方程为x.
2
故选:
D.
【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查抛物线的弦长公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
第3页(共10页)
3.(2015秋•房山区期末)抛物线的准线方程是
y22x()
A.B.C.D.y
x1y1x11
2222
p
【分析】利用抛物线y22px的准线方程为x即可得出.
2
【解答】解:
由抛物线22,可得准线方程,即x.
yxx21
42
故选:
C.
【点评】本题考查了抛物线的直线方程,属于基础题.
4.(2013•大兴区一模)抛物线yx2(2„x„2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入
一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是( )
A.1B.8C.82D.162
【分析】根据题意过正方体的一个对角面作一截面,得到抛物线的一个截面图,如图.阴影部分就是正方体的对角
面,AC是正方体的对角线,设正方体的棱长为a,得出A的坐标,代入抛物线,能求出a的值,即可求出答案.
【解答】解:
根据题意,过正方体的一个对角面作一截面,得到抛物线的一个截面图,如图.阴影部分就是正方体
的对角面,是正方体的对角线,设正方体的棱长为,则,,
ACaAB2aADa
2
点A的坐标为(,,
a4a)
2
2a
将点A的坐标代入抛物线方程,得4a()2,解得a2,
2
即正方体的棱长为2,故体积为8.
故选:
B.
第4页(共10页)
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质的应用,通过做此题能培养学生分析问题的能力,
同时培养了学生观察能力和计算能力,是一道比较好的计算题.
5.(2011秋•西城区校级期末)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点,若
线段AB的长为8,则p的值是( )
816
A.2B.4C.D.
59
p
【分析】由题意得直线AB的方程为yx,与抛物线方程消去y关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系和
2
抛物线的定义得出,从而解出的值.
|AB|4p8p
p
【解答】解:
直线AB的方程为yx,与抛物线方程消去y,得
2
212
x3pxp0
4
设A(x,y1),(,
Bx
12
y
2)
根据抛物线的定义,得
|AB|xxp4p8
12
解之得2
p
故选:
.
A
【点评】本题给出直线与抛物线相交,在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值.着重考查了抛物线的标准方程
和直线与圆锥曲线位置关系等知识,属于中档题.
6.(2012秋•海淀区校级期中)顶点为原点,焦点为F(0,1)的抛物线方程是( )
A.y22xB.y24xC.x22yD.x24y
【分析】由题意可知抛物线的方程形式为,依题意求得即可.
x22pyp
【解答】解:
设抛物线的方程为x22py,
第5页(共10页)
QF(0,1)
焦点为,
p1
,2
p2
,
x24y
抛物线的方程为.
故选:
D.
【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查理解与运算能力,属于基础题.
二.填空题(共7小题)
7.(2019秋•通州区期末)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为y2,那么该抛物线的标准方程是
x28y
.
p
【分析】根据题意,要求抛物线的方程为x22py,由抛物线的准线方程可得2,解可得p的值,即可得答
2
案.
【解答】解:
根据题意,抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的焦点在轴正半轴上,
y2y
设要求抛物线的方程为,
x22py
p
则有2,解可得,
p4
2
则抛物线的标准方程为:
x28y;
故答案为:
x28y.
【点评】本题考查抛物线的标准方程以及抛物线的准线方程,注意抛物线标准方程的形式,属于基础题.
1
8.(2020•东城区模拟)若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1),(2,),(2,1),(4,2)中的2个点,则该抛物线的标
2
准方程可以是 或 .
x28yy2x
【分析】由题意可设抛物线方程为或,然后分类求解得答案.
y22px(p0)x22py(p0)
【解答】解:
由题意可得,抛物线方程为或.
y22px(p0)x22py(p0)
若抛物线方程为22(0),代入,得p,
ypxp(1,1)1
2
则抛物线方程为,此时在抛物线上,符合题意;
y2x(4,2)
若抛物线方程为,代入,得,
x22py(p0)(2,1)p2
则抛物线方程为28,此时在抛物线上,符合题意.
xy(2,1)
2
第6页(共10页)
x28yy2x
抛物线的标准方程可以是或.
故答案为:
或.
x28yy2x
【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查分类讨论的数学思想方法,是基础题.
9.(2018秋•东城区期末)已知抛物线C的顶点在原点,准线方程为y2,则抛物线C的标准方程为
x28y
.
【分析】由题意可设抛物线的方程为,,由已知准线方程为可解得,则抛物线方程可
Cx22py(p0)y2p
求.
【解答】解:
由题意可设抛物线的方程为,,
Cx22py(p0)
p
Qy22p4
准线方程为,,解得.
2
Cx28y
抛物线的标准方程为.
故答案为:
x28y.
【点评】本题考查抛物线标准方程的求法,是基础的计算题.
10.(2018•海淀区二模)已知抛物线C的焦点为F(0,1),则抛物线C的标准方程为 x24y .
【分析】由已知可设抛物线方程为x22py,再由焦点坐标求得p,则抛物线方程可求.
【解答】解:
由题意可得抛物线方程为x22py,
pp2又1,得,
2
Cx24y
抛物线的标准方程为.
故答案为:
x24y.
【点评】本题考查抛物线标准方程的求法,是基础题.
x
2
11.(2017•石景山区一模)若抛物线y22px的焦点与双曲线y21的右顶点重合,则p 4 .
4
x
2
【分析】确定双曲线y21的右顶点坐标,从而可得抛物线y22px的焦点坐标,由此可得结论.
4
x
2
【解答】解:
双曲线y21的右顶点坐标为(2,0),
4
x
2
Qy22pxy21
抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合,
4
p
2
2
,
p4
.
第7页(共10页)
故答案为:
4.
【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质,确定双曲线的右焦点坐标是关键.
12.(2016秋•西城区期末)学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线
围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方程,决定把抛物线的顶点确定为原点,对称轴确定为x轴,建立
如图所示的平面直角坐标系,但是他无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过对碗的相关数据的测量以及进一
步的计算,帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是 碗底的直径2m,碗口的直径2n,碗的高度h (所
有测量数据用小写英文字母表示),算出的抛物线标准方程为 .
【分析】碗底的直径,碗口的直径,碗的高度;设方程为,则将点,,即可
2m2nhy22px(p0)(a,m)(ah,n)
得出结论.
【解答】解:
碗底的直径2m,碗口的直径2n,碗的高度h;
设方程为,则将点,
y22px(p0)(a,m)(ah,n)
nm
22
代入抛物线方程可得22,,可得2p,
mpan22p(ah)
h
2nm
22
抛物线方程为.
yx
h
2nm
22
故答案为碗底的直径2m,碗口的直径2n,碗的高度h;yx.
h
【点评】本题考查抛物线的方程,考查利用数学知识解决实际问题,属于中档题.
13.(2013秋•昌平区期末)抛物线的准线方程是,则实数的值为 4 .
y2axx1a
pa2p4【分析】根据题意,可知抛物线的开口向上,焦点坐标为F(0,1),由此可得1,从而算出.
2
【解答】解:
抛物线的准线方程是,
Qy2axx1
抛物线顶点在原点,开口向上.
pa2p4可得抛物线的焦点为F(0,1),1,解得.
2
故答案为:
4
【点评】本题已知抛物线的准线方程,求参数a的值.考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础
题.
三.解答题(共2小题)
14.(2012秋•海淀区期末)已知直线l交抛物线C:
y22px(p0)于A,B两点,且AOB90,其中,点O为坐
第8页(共10页)
标原点,点的坐标为.
A(1,2)
(I)求抛物线C的方程;
(II)B
求点的坐标.
【分析】因为点在抛物线上,将点的坐标代入方程即可求出值,从而得到抛物线的方程;
(I)A(1,2)y22pxpC
(II)B(x
设点的坐标为,y0),利用垂直关系得出B点坐标的一个关系式,再与抛物线的方程联立方程,解出B的
0
坐标即得.
【解答】解:
因为点在抛物线上,
(I)A(1,2)y22px
所以,(2分)
222p
解得p2,(3分)
故抛物线C的方程为y24x.(4分)
(II)设点B的坐标为,0),由题意可知x,
(xy
000
y
直线OA的斜率k2,直线OB的斜率k0,
OAOB
x
0
2y
因为90,所以g1,(6分)
AOBkk0
OAOB
x
0
又因为点B(x,y在抛物线y24x上,
0)0
所以040,(7分)
y2x
yxx16x
4
联立解得或(舍),(9分)
0000
yxy8y0
2
0000
所以点B的坐标为(16,8).(10分)
【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质,两直线垂直的性质,属于基础题.
15.(2011秋•西城区期末)已知抛物线:
2(0)的焦点在直线上
Cx2pypFl:
xy10
(I)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于P,Q两点,求线段PQ中点M的坐标.
1
【分析】(I)根据抛物线的标准方程,将焦点F(0,p)代入直线l方程算出p2,即可得到抛物线C的方程;
2
1
(II)将直线l方程与抛物线C消去y,得x2x10.由根与系数的关系和中点坐标公式,即可算出线段PQ中点
4
M
的坐标.
第9页(共10页)
【解答】解:
抛物线的焦点为Fp
(I)QC:
x22py(p0)(0,1)
2
1
p2
0p10,可得,
2
因此抛物线的方程是;
Cx24y
(II)
10
xy1
由,消去y得2
xx10
x4y4
2
设P(x,1),Q(x,
y
12
y
2)
124M
xx,可得中点的横坐标为
1
2
2(xx)2
12
代入直线l方程,得纵坐标为yx13
MM
即线段PQ中点M的坐标(2,3).
【点评】本题给出直线与抛物线相交,求抛物线方程并求截得弦的中点坐标.着重考查了抛物线的标准方程和直线
与圆锥曲线的关系等知识,属于基础题.
第10页(共10页)
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