高中数学 第三章函数的概念与性质奇偶性讲义 新人教A版必修一第一册.docx
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高中数学第三章函数的概念与性质奇偶性讲义新人教A版必修一第一册
3.2.2 奇偶性
最新课程标准:
结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
知识点 偶、奇函数
1.偶函数的概念
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).
2.奇函数的概念
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction).
3.奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
(2)偶函数的图象关于y轴对称;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
奇偶函数的定义域关于原点对称,反之,若定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.
[教材解难]
教材P85思考
(1)利用定义判断奇偶性,函数f(x)=x3+x的定义域为R,对每一个x,都有f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象.如图所示.
(3)我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性,只不过它是一种特殊的对称性,是关于原点或y轴对称的问题.
[基础自测]
1.设f(x)是定义在R上的偶函数,下列结论中正确的是( )
A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0
C.f(x)·f(-x)<0D.f(0)=0
解析:
由偶函数的定义知f(-x)=f(x),
所以f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0不一定成立.
f(-x)·f(x)=[f(x)]2≥0,
f(0)=0不一定成立.故选B.
答案:
B
2.下列函数为奇函数的是( )
A.y=|x|B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+14
解析:
A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.
答案:
C
3.若函数y=f(x),x∈[-2,a]是偶函数,则a的值为( )
A.-2B.2
C.0D.不能确定
解析:
因为偶函数的定义域关于原点对称,所以-2+a=0,所以a=2.
答案:
B
4.下列图象表示的函数是奇函数的是________,是偶函数的是________.(填序号)
解析:
(1)(3)关于y轴对称是偶函数,
(2)(4)关于原点对称是奇函数.
答案:
(2)(4)
(1)(3)
题型一 函数奇偶性的判断[教材P84例6]
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+
;
(4)f(x)=
.
【解析】
(1)函数f(x)=x4的定义域为R.
因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)4=x4=f(x),
所以,函数f(x)=x4为偶函数.
(2)函数f(x)=x5的定义域为R.
因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),
所以,函数f(x)=x5为奇函数.
(3)函数f(x)=x+
的定义域为{x|x≠0}.
因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},且f(-x)=-x+
=-
=-f(x),
所以,函数f(x)=x+
为奇函数.
(4)函数f(x)=
的定义域为{x|x≠0}.
因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},
且f(-x)=
=
=f(x),
所以,函数f(x)=
为偶函数.
奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域,再由奇偶性定义,
满足f(-x)=f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)是奇函数.
教材反思
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法:
(2)图象法:
若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.此法多用在解选择、填空题中.
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2(x2+2);
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;
(3)f(x)=
;
(4)f(x)=
解析:
(1)∵x∈R,∴-x∈R.
又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)∵x∈R,∴-x∈R.
又∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1].
即有-1≤x≤1且x≠0,
则-1≤-x≤1,且-x≠0,
又∵f(-x)=
=-
=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.
先求函数定义域,再根据函数奇偶性定义判断.
题型二 函数奇偶性的图象特征[经典例题]
例2 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是________.
【解析】 由奇函数的性质知,其图象关于原点对称,则f(x)在定义域[-5,5]上的图象如图,由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|-2 【答案】 {x|-2 根据奇函数的图象关于原点对称作图,再求出fx<0的解集. 方法归纳 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时,应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象,根据图象特征求解问题. 跟踪训练2 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f (1)与f(3)的大小. 解析: 方法一 因函数f(x)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称,补全图如图. 由图象可知f (1) 方法二 由图象可知f(-1) 又函数y=f(x)是偶函数, 所以f(-1)=f (1),f(-3)=f(3), 故f (1) 方法一是利用偶函数补全图象,再比较f (1)与f(3)的大小; 方法二f (1)=f(-1),f(3)=f(-3),观察图象判断大小. 题型三 利用函数奇偶性求参数[经典例题] 例3 (1)设函数f(x)= 为奇函数,则a=________; (2)已知函数f(x)= 是奇函数,则a=________. 【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知 f(-x)=-f(x), 即 =- . 显然x≠0得,x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a, 故a+1=0,得a=-1. 方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得 f(-1)=-f (1), 即 =- , 整理得a=-1. (2)(特值法) 由f(x)为奇函数, 得f(-1)=-f (1), 即a×(-1)2+(-1)=-(-12+1), 整理得a-1=0,解得a=1. 【答案】 (1)-1 (2)1 利用定义法求a,也可利用特值法f(-1)=-f (1). 方法归纳 由函数的奇偶性求参数应注意两点 (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用. (2)利用常见函数如一次函数,反比例函数,二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数. 跟踪训练3 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-2,2a],则a=________,b=________; (2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=________. 解析: (1)由f(x)为偶函数知,其定义域关于原点对称, 故有a-2+2a=0,解得a= . 又f(x)为偶函数,所以其图象关于y轴对称, 即- =0,解得b=0. (2)由f(x)为奇函数得f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, 所以a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=0. 即2ax2=0,所以a=0. 答案: (1) 0 (2)0 (1)函数具有奇偶性,定义域必须关于(0,0)对称. (2)f(0)=0? 题型四 函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题] 例4 已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1),在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0. 【解析】 ∵y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)+f(1-3x)<0可化为f(1-x)<-f(1-3x), 即f(1-x) 又∵y=f(x)在(-1,1)上是减函数, ∴f(1-x) ⇔ ⇔ ∴0 .即不等式解集为 . 1.由奇函数得f(-x)=-f(x). 2.函数单调递减,若f(x1) 3.定义域易忽略. 方法归纳 1.函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性. (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性. 2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1) (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响. 跟踪训练4 (1)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数,若f(1-a2)+f(1-a)<0,求实数a的取值范围. (2)定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m) 解析: (1)由f(1-a2)+f(1-a)<0,得f(1-a2)<-f(1-a). ∵y=f(x)在[-1,1]上是奇函数,∴-f(1-a)=f(a-1),∴f(1-a2) 又f(x)在[-1,1]上单调递减, ∴ 解得 ∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1). (2)∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|). ∴f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|). ∴原不等式等价于 解得-1≤m< . ∴实数m的取值范围是 . (1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系,再利用单调性转化为自变量的关系. (2)两个自变量1-m,m不一定属于同一单调区间,可考虑用绝对值表示来处理. 一、选择题 1.下列函数是偶函数的是( ) A.y=2x2-3 B.y=x3 C.y=x2,x∈[0,1]D.y=x 解析: 对于A,f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),∴f(x)是偶函数,B,D都为奇函数,C中定义域不关于原点对称,函数不具备奇偶性,故选A. 答案: A 2.函数f(x)= -x的图象( ) A.关于y轴对称B.关于直线y=x对称 C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称 解析: ∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=- -(-x)=x- =-f(x),∴f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 答案: C 3.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( ) A.-2B.2 C.1D.0 解析: 由图知f (1)= ,f (2)= , 又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f (2)-f (1)=- - =-2.故选A. 答案: A 4.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2019)=k,则f(-2019)=( ) A.kB.-k C.1-kD.2-k 解析: ∵f(2019)=a·20193+b·2019+1=k,∴a·20193+b·2019=k-1,则f(-2019)=a(-2019)3+b·(-2019)+1=-[a·20193+b·2019]+1=2-k. 答案: D 二、填空题 5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________. 解析: ∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数, ∴a-1+2a=0,∴a= .又f(-x)=f(x), ∴b=0,∴a+b= . 答案: 6.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为________. 解析: 因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5. 答案: 5 7.定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f =0,则满足f(x)>0的x的集合为____________. 解析: 由奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f =0,得函数y=f(x)在(-∞,0)上递增,且f =0,∴x> 或- 答案: 三、解答题 8.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= ; (2)f(x)=x2-x3; (3)f(x)=|x-2|-|x+2|; (4)f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). 解析: (1)∵函数f(x)= 的定义域为{x|x∈R且x≠1},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)f(x)的定义域为R,是关于原点对称的. ∵f(-x)=(-x)2-(-x)3=x2+x3,又-f(x)=-x2+x3, ∴f(-x)既不等于f(x),也不等于-f(x). 故f(x)=x2-x3既不是奇函数也不是偶函数. (3)方法一(定义法) 函数f(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为R,关于原点对称. ∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-f(x),∴函数f(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数. 方法二(根据图象进行判断) f(x)=|x-2|-|x+2|= 画出图象如图所示,图象关于原点对称,因此函数f(x)是奇函数. (4)当a=0时,f(x)=x2为偶函数. 当a≠0时,f(x)=x2+ (x≠0),取x=±1,得f(-1)+f (1)=2≠0,f(-1)-f (1)=-2a≠0,即f(-1)≠-f (1),f(-1)≠f (1),∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述,当a∈R且a≠0时,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数;当a=0时,函数f(x)为偶函数. 9.已知函数f(x)=1- . (1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值; (2)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明. 解析: (1)由已知g(x)=f(x)-a得, g(x)=1-a- , ∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x), 即1-a- =- , 解得a=1. (2)函数f(x)在(0,+∞)内为增函数. 证明如下: 设0 =1- - = ∵0 从而 <0,即f(x1) ∴函数f(x)在(0,+∞)内是增函数. [尖子生题库] 10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式; (2)画出函数f(x)的图象. 解析: (1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数, 则f(0)=0; ②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x, 综上,f(x)= (2)图象如图:
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