届苏教版空间点线面的位置关系单元测试9.docx
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届苏教版空间点线面的位置关系单元测试9
一、填空题(共20小题,每小题5.0分,共100分)
1.如图所示,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:
填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).
2.
(1)如果两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为________.
(2)过球的一条半径的中点,作垂直该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为________.
3.下列四个命题:
①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.
其中正确命题的序号是________.
4.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是3
,则a=________.
5.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M只须满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1(填上正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况).
6.已知AB是平面α的垂线,AC是平面α的斜线,CD∈平面α,CD⊥AC,则面面垂直的有 .
7.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是________.
8.在平行六面体ABCDA1B1C1D1(底面为平行四边形的柱体)中,既与AB共面也与CC1共面的棱的有________条.
9.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是________.
10.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,O是AC与BD的交点,且PO⊥平面ABCD.当四边形ABCD满足下列条件 时,点P到四边形四条边的距离相等.
①正方形;②圆的外切四边形;③菱形;④矩形.
11.如图是一个几何体的三视图,则可以判断此几何体是________.
12.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m,四棱锥的高为8m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________.
13.已知α,β是两个互相垂直的平面,m,n是一对异面直线,下列五个结论:
(1)m∥α,n⊂β
(2)m⊥α,n∥β
(3)m⊥α,n⊥β
(4)m∥α,n∥β
(5)n⊥α,m∥β,m∥α.
其中能得到m⊥n的结论有 (把所有满足条件的序号都填上)
14.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD= .
15.用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的底面面积为________.
16.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________.
17.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为
的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为.
18.设△ABC的三个顶点在平面α的同侧,AA1⊥平面α于点A1,BB1⊥平面α于点B1,CC1⊥平面α于点C1,G、G1分别是△ABC和△A1B1C1的重心,若AA1=7,BB1=3,CC1=5,则GG1= .
19.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱都与底面垂直,且有AA1=AB=BC=AC,点E是线段BB1的中点,则平面C1EA与底面ABC所成的二面角的大小(锐角)是 .
20.如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.
二、解答题(共5小题,每小题12.0分,共60分)
21.如图所示,正方体AC1中,E、F分别是A1B1、B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
22.图所示是一个几何体的三视图,画出它的直观图.
23.如图,设a、b是异面直线,AB是a、b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P,求证:
P是MN的中点.
24.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:
E,F,G,H必在同一直线上.
25.设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,试判断直线a与平面α的位置关系.
答案解析
1.【答案】B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
【解析】由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1,还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形,正方形等条件.
2.【答案】
(1)4∶9
(2)3∶16
【解析】
(1)根据球的体积及表面积公式可知,两个球的体积之比等于半径之比的立方,表面积之比等于半径之比的平方.
∵两个球的体积之比为8∶27,
∴两个球的半径之比为2∶3,
∴两个球的表面积之比为4∶9.
(2)如图,
设球的半径为R,O1为半径OA的中点,则截面圆半径r=O1B=
=
R,
∴所求比=
=
.
3.【答案】④
【解析】①中b可能在α内;②a与b可能异面;③a可能与α内的直线异面.
4.【答案】
【解析】由三视图可知原几何体为一个直三棱柱,底面三角形中边长为2的边上的高为a.∴V=3×
=3
⇒a=
.
5.【答案】在H点的位置(或在线段HF上,答案不唯一)
【解析】在H点的位置(或在线段HF上,答案不唯一)
6.【答案】平面ABC⊥平面ACD
【解析】解:
连结BC,BD,得到平面BCD包含于平面α中,
因为AB垂直于α,所以AB⊥平面BCD,
因为CD⊂平面BCD,所以CD⊥AB,
又因为CD⊥AC,AB∩AC=A,所以CD⊥平面ABC,
又因为CD包含于平面ACD,
得出结论:
平面ABC⊥平面ACD.
故答案为:
平面ABC⊥平面ACD.
7.【答案】2(π+
)
【解析】由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:
底面积即俯视图的面积为2
;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母线长为2,底面半径为1,所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为2(π+
).
8.【答案】5
【解析】如图所示,与AB共面也与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.
9.【答案】至少与一个平面平行
【解析】以长方体为模型观察,这条直线可能和这两个平面都平行,也可能在一个平面内,且与另一个平面平行.
10.【答案】①②③
【解析】解:
连接PA、PB、PC、PD,作OE⊥AB于E,作OF⊥BC于F,连接PE、PF
∵PO⊥平面ABCD
∴△POE、△POF均为直角三角形
若OE=OF,则根据边角边公理,可得△POE≌△POF
则有PE=PF
又∵AB⊥OE,AB⊥PO,OE∩PO=O
∴AB⊥平面POE,可得PE是P到AB的距离
同理可得PF是P到BC的距离.
因此可得:
OE=OF可答出推出P到AB的距离等于P到BC的距离.
同理可以得到P到其它边的距离也是相等的,反过来也成立.
故“O到边的距离相等”等价于“P到边的距离相等”
因为正方形、菱形和圆外切四边形都是有内切圆的四边形,
内切圆的圆心到四条边的距离相等
所以满足条件的应该是正方形、菱形和圆外切四边形
故答案为:
①②③
11.【答案】四棱锥
【解析】由三视图可知,此几何体为一个四棱锥.
12.【答案】4cm,0.5cm,2cm,1.6cm
【解析】由比例可知长方体的长、宽、高和锥高,应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合直观图,图形的尺寸应为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.
13.【答案】(3)(5)
【解析】解:
α,β是两个互相垂直的平面,m,n是一对异面直线,下列五个结论:
(1)m∥α,n⊂β,也可能n⊄β.推不出m⊥n,所以不正确.
(2)m⊥α,n∥β,n可能与β相交,推不出m⊥n,所以不正确;
(3)m⊥α,n⊥β,能得到m⊥n的结论,正确;
(4)m∥α,n∥β,n可能与β相交,推不出m⊥n,所以不正确;
(5)n⊥α,m∥β,m∥α.能得到m⊥n的结论,正确;
故答案为:
(3)(5).
14.【答案】9
【解析】解:
根据题意做出如下图形:
∵AB,CD交于S点
∴三点确定一平面,所以设ASC平面为n,于是有n交α于AC,交β于DB,
∵α,β平行
∴AC∥DB
∴△ASC∽△DSB
∴
∵AS=8,BS=6,CS=12,
∴
∴SD=9.
故答案为:
9.
15.【答案】
π或
π
【解析】有两种情况:
以3π为圆柱的高时,圆柱底面积为
π,以π为圆柱的高时,圆柱底面积为
π.
16.【答案】60°
【解析】设母线为l,底面半径为r,则πl=2πr.
∴
=
,∴母线与高的夹角为30°.
∴圆锥的顶角为60°.
17.【答案】
【解析】设球半径R,上下底面中心设为M,N,由题意,外接球心为MN的中点,设为O,则OA=R,由
,得
,又易得AM=
,由勾股定理可知,
,所以
,即棱柱的高
,所以该三棱柱的体积为
18.【答案】5
【解析】解:
如图,设AB中点为D,A1B1中点为D1,连接DD1;CD;C1D1
因为AA1⊥α,BB1⊥α,CC1⊥α
所以,四边形AA1B1B为直角梯形
因为D、D1分别为AB、A1B1中点
所以DD1为直角梯形AA1B1B的中位线
所以DD1=
(AA1+BB1)=5,
所以DD1∥CC1,DD1=CC1,
则四边形CC1D1D为矩形
而GG1⊥α
所以GG1∥CC1∥DD1,
所以,GG1=CC1=5.
故答案为:
5
19.【答案】45°
【解析】解:
在平面BCC1B1中,延长C1E与直线BC交于D点,
则AD为平面C1EA与面ABC的交线,
∵AA1=AB=BC=AC,点E是线段BB1的中点,
∴BD=BC=AB,
∴△CAD是直角三角形,∠CAD=90°,
∴AC⊥AD.
CC1⊥平面ABC,
∴AC1⊥AD,
∴∠CAC1是平面C1EA与底面ABC所成的二面角的平面角.
在直角三角形ACC1中,CC1=AC,
∴tan
,
即∠CAC1=45°.
故答案为:
45°.
20.【答案】 60°
【解析】连接BC1,BA1,A1C1,∵EF∥BA1,GH∥BC1,
∴异面直线EF与GH所成的角即为BC1与BA1所成的角,即∠A1BC1,又∵A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60°.
21.【答案】解 方法一 如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法二 如图所示,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,
则HE
DB1.于是∠HEF为所求
异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
连接HF,设AA1=1,
则EF=
,HE=
,
取A1D1的中点I,连接HI,IF,
则HI⊥IF.
∴HF2=HI2+IF2=
.
∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
【解析】
22.【答案】三棱柱横放,直观图如图.
【解析】
23.【答案】证明:
连接AN,交平面α于点Q,连接PQ.
∵b∥α,b⊂平面ABN,平面ABN∩α=OQ,
∴b∥OQ.又O为AB的中点,
∴Q为AN的中点.∵a∥α,a⊂平面AMN且平面AMN∩α=PQ,
∴a∥PQ.∴P为MN的中点.
【解析】
24.【答案】证明 因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC,AD∩α=H,因为H∈平面AC,H∈α,由公理3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上.
【解析】
25.【答案】a⊂α
【解析】如图,
设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c,根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β.
因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直,所以直线a与直线b重合,因此a⊂α.
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