北京市顺义区空港小学 李文明王艳霞 农村小学儿童数学错误成因分析及探寻规律的校本研究.docx
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北京市顺义区空港小学李文明王艳霞农村小学儿童数学错误成因分析及探寻规律的校本研究
全国高师数学优秀论文征集
农村小学儿童数学错误成因分析
及探寻规律的校本研究
——北京市教育学会立项课题阶段性研究成果
北京市顺义区空港小学李文明王艳霞
【摘要】
搜集儿童数学错例,研究错误探寻错误背后的规律。
了解错误的必然性、普遍性、规律性和价值性,正视学生错误、理解学生错误,利用错误资源,提高教师有效教学及处理学生错误的能力。
在研究的过程中,充分调动教师、学生参与的积极性,使教学形成师生互动、生生互动的态势,提高教学实效性。
研究错误、正视错误,宽容、理解学生,建立融洽的师生关系,创设快乐愉悦的数学学习氛围。
【关键词】数学错误错因分析探寻规律校本教研
农村小学儿童数学错误成因分析
及探寻规律的校本研究
一、问题的提出
心理学家盖耶认为:
“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过最富成效的学习时刻。
”小学数学课堂教学中,总是无法避免学生出错,因为小学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式和成人不同,他们在学习过程中出现的错误是正常的,错误是学习的必然产物。
同时数学又是一门逻辑性,抽象性很强的学科,它涉及的知识面很广,其中又有着千丝万缕的关系。
小学生在进行学习的过程中难免会产生这样那样的错误。
布鲁纳曾说过:
“学生的错误是有价值的。
”一般来说,只要学生经过思考,其错误中总会包含某种合理的成分,有的甚至隐藏着一种超常,一种独特,反射出智慧的光芒。
教师把常见的错误收集、整理、设计成各种特定知识点和技能方面的内容。
让学生充分展示思维过程,显露错误中的“闪光点”,给予肯定和欣赏,并顺着学生的思路,将合理成分“激活”,进行适时反馈性考查,利于学生下一步学习。
研究学生的数学错误可以帮助教师理解学生,研究“错误”是实现教师专业发展的捷径。
二、选题的意义和研究的目标
(一)选题意义:
1、研究小学生数学错误发生的必然性、普遍性和规律性,使教师正视学生错误、理解学生错误,利用错误资源,提高教师有效教学及处理学生错误的能力。
2、通过研究错误促进教师素质的提高、促进青年教师成长,全面提高教学质量。
3、在研究的过程中,充分调动教师、学生参与的积极性,使教学形成师生互动、生生互动的态势,提高教学实效性。
4、研究错误、正视错误,使教师宽容、理解学生,建立融洽的师生关系,创设快乐愉悦的数学学习氛围。
(二)研究的目标
1、转变教师面对学生错误的态度,转变观念。
2、进行儿童数学错误成因分析,探寻学生错误规律。
三、本课题研究的主要内容
(一)研究的切入点
研究从搜集、整理数学教学中儿童出现的各类数学错误入手,分析儿童在数学学习中出现错误的原因,反思教师的课堂教学,找到解决问题的策略,探寻错误规律,改进教学。
(二)具体内容和重要观点:
1、儿童数学错例的收集、整理与成因分析
收集学生的数学错例,根据其错误原因进行科学归类,建立学生数学错例资源库。
挖掘错例所反映出学生的思维特点,剖析错例本身所具有的合理性、必然性和规律性,对同一类错例,有整体的认识和把握。
我们将从以下四个方面对学生小学数学学习中的错例进行收集、整理与成因分析:
(1)数与代数
(2)图形与几何
(3)统计与概率(4)综合与实践
2、学生数学错误探寻规律的研究
错误也是有价值的。
课堂教学中,教师应充分利用学生原有的错误资源,或课堂生成的随机错误资源,以及教师有意设计,让学生把错误暴露出来的资源,使教学更有针对性和实效性,探寻儿童数学错误规律的错。
研究分以下三方面进行:
(1)在教学设计中,利用错误资源探寻错误规律的研究。
(2)在课堂教学中,利用错误资源探寻错误规律的研究。
(3)在复习整理中,利用错误资源探寻错误规律的研究。
(4)在检测结束后,利用错误资源探寻错误规律的研究。
四、初步研究过程与收获
(一)转变教师观念
1、面对儿童错误明确观念
研究错误是为了读懂学生的学习规律,要尊重知识规律、尊重学生认知规律和身心发展规律。
明确错误的四点特性。
即:
错误是必然的;错误是普遍的;错误是有规律的;错误是有用的,学生要从错误中学习。
2、面对儿童错误转变态度
研究的隐形成果是教师们的心态有所转变:
面对学生的错误,变得沉稳、大气、理解、包容。
教学中少了无谓的指责,多了等待的耐心;少了直白的传授,多了艺术的启迪;少了愁眉不展的苦恼,多了尊重宽容的胸怀。
(二)变化研究形式
课题的研究和引领对教学有极大的助推作用。
围绕“十二五”市级课题,我们进行了《农村小学儿童数学错误成因分析及探寻规律的校本研究》,教师们关注学生数学错例,研究错误的必然性、普遍性、规律性和价值性。
我们尝试了“集体研究”、“个体研究”和“一对一”辅导几种形式。
1、集体研究系统沟通联系
集体研究是数学组教师的校本研究。
重点是将知识点连成线,形成网,体现数学知识的系统性。
全面了解小学数学知识结构,沟通前后之时间的内在联系,是小学数学教师必备的基本功。
这样才能在教学过程中,深层把握所教内容所承载的任务,找准知识的生长点和拓展点,做好承上启下的作用。
2、个体研究深入挖掘本源
个体研究是教师的个人研究行为。
关注学生错例,探寻错误原因、寻找解决策略,并尝试以“数学研究故事”的形式呈现研究成果。
2012年3月,7个数学错例研究故事在“蒙藏维汉数学交流活动”中展示,受到郜院长的肯定和来宾们的好评;2012年5月,6个数学错例研究故事、两节关注学生错误的研究课,在“北京市骨干学科带头人小学数学专题研究现场”展示,受到专家和全市数学骨干教师的高度赞扬。
3、“一对一”辅导全面析因助学
在检测后全面分析研究试卷的基础上,我们也很重视个别辅导。
“一对一”辅导是对学困生的个别辅导。
这项研究不但填补了我校教学常规中“辅导”的漏项,而且实践了数学错误的一种解决策略。
“一对一”错例分析,从个别错例出发,从教育学、心理学的角度分析错因,对症下药,高效地解决了学生的个别错误,针对性强、效果好。
五、课题具体研究成果
(一)错例分类研究探寻相关规律
数学学习中,学生的错误是不可避免的,人人都会犯错误,包括数学家。
我们不能一概的以“粗心、马虎、不认真”概括学生的错误。
要调整心态,当学生出现错误时不应该生气,要高兴,因为错误是用用的,错误将成为教学资源。
1、处理“假错”问题
认真研究学生的答案,有些问题属于“假错”
在大量收集错例的基础上,我们首先判断是否是真正的错误,不同想法、表达不同不属于错误。
如:
(1)河里有4只鸭子,游走了2只,还剩几只?
生:
还剩4只。
师:
怎么会剩4只呢?
生:
鸭子游走了,只是离我们远了,但还在河里。
我家门口的鸭子就是这样,一天都在河里游。
孩子用不同的想法自圆其说,能算错误吗?
(2)
学生虽然没有按照规定,将已知条件和所求问题分别写在等号左右两边,但访谈中几乎所有的学生都能正确汇报答案。
2、研究错例归类分析
在搜集数学错里的基础上,参与研究教师按照表格呈现错例,分析错因,分类记录,探寻规律、改进教学。
例如:
《农村小学儿童数学错误成因分析及探寻规律的校本研究》
学生数学错例分类研究记录
教师姓名贾庆燕时间2011、12
错例呈现
教师分析
归类
学生初读题时,10个苹果,6个梨,很自然想到一共16个,再看到吃了8个,就会列10+6-8的算式。
分析学生,他没有对6、8和还剩几个苹果进行深入的思考,所以才错。
题义误解
学生看到这题更多的关注到了,这题中箭头的部分,所以做这题时,受到了下一题经验的干扰,所以,不思索的算出9、8、7、6的结果,这两道错题都是同一原因的结果。
学生看问题是不全面的,局部的,只记住结果的规律,没有考虑算式的规律。
经验干扰
学生做题之前,都会阅读表头,理解表义,前面三道题他都能做对,说明他理解表格的意思,但是最后一题时,由于凑10,平时强调多,学生对自己熟练的知识偏好,所以他希望7+3,结果就自然写成10.
情感偏好
学生右面的连线与左面对称的连线的混淆,所以造成了对称图形。
对称混淆
学生直观的了解到,左边7支笔,右边5支笔,受其影响,列式时,写成7-5.学生单从图直观的去认为,没有理解减法的意义。
直观依赖
再如:
《农村小学儿童数学错误成因分析及探寻规律的校本研究》
学生数学错例分类研究记录
教师姓名徐爱苹时间2011.12
错例呈现
教师分析
归类
虽然是五年级的学生了,但是个别学生的乘法口诀还没有记熟,此题中学生把“三六十八”记成了“三六十二”致使计算出现问题。
偏好型错误
此题运算顺序没有问题,过程中计算出现问题。
过程性错误
平均每人得分,应该用总分数÷总人数,学生没有真正理解加权平均数的意义,误解成用三个班的平均数之和÷3,就能够得到平均每人的得分。
误解型错误
学生凭借自己的生活经验,两边都是乘,自己凭空加了小括号,然后两边同时算。
经验型错误
此题拆数之后,应该应用乘法的分配律来解,学生误把它当成乘法结合律来算了,属于乘法分配律和乘法结合律混淆。
混淆型错误
学生一看求中位数,直接找到中间的数20作为中位数,忽略了应该先把这些数从小到大排列之后再找中位数。
直观型错误
(二)校本教研活动错误沟通联系
数学校本教研,是课题研究过程中的主要形式。
结合重点研究内容,从教材整体的高度进行设计,每位教师在主题之下找到研究点。
从低中年级的铺垫,到高年级的拓展,抓住知识的前后联系,把握了知识的内在本质。
课题研究以来,研究活动已经在区级现场展示2次,还在区级层面2次进行经验交流。
活动中,不同学段教师能够整体关注知识结构、关注认知规律,关注学生错误,清晰认识知识的渗透、学习、巩固,形成人人参与,人人受益,人人都提高局面。
例如:
简算是困扰着无数老师和学生的老问题。
利用《乘法分配律》相关知识的简算教学贯穿于整个小学阶段,从二年级的《乘法的初步认识》,到四年级《乘法分配律》再到五六年级的小数、分数、百分数应用。
都与乘法分配律有着千丝万缕的联系。
结合课题,结合各年级教师在进行的计算教学中收集的相关错例。
我们确定主题为《从学生数学错误反思简算教学》的校本研究活动。
活动由分析汇报学生学习困难开始,以四年级“乘法分配律”的对比教学为切入点,研究学生出现的错误原因和规律,反思课堂教学,寻求错误的规律性和解决策略。
班级人数
全对
错1题
错2题
错3题
错4题
不会
四
(1)(36人)
16人
7人
5人
3人
3人
2人
四
(2)(36人)
28人
3人
2人
2人
1人
0人
同样是一样的教学内容,采用的就学方法不同,其效果也不同。
一班在进行乘法分配律的教学中沿袭由情景——规律——运用的教学模式,发现问题,二班则本着由情景——规律——再回到情景,由学生根据算式设计创编具体情境,这不仅是内容的回归,更是学生有具体到抽象,再有抽象到具体的反思维练习,对乘法分配律有了更深刻地认识。
但乘法分配律师重中之重,更是重中之难,四年级出现了问题,后续学习中也是问题频出。
乘法分配律不是教的过程,而是悟的过程,不是从四年级才开始,而是从低、中年级就已经开始。
一二年级:
学生对乘法意义的理解是学习乘法分配律简便计算的基础。
在乘法口诀的编写和记忆过程中,教师可以联系乘法意义,设计几个追问,为学习乘法分配律做铺垫。
例如:
学口诀:
“四六二十四”
⑴用小棒摆出5个,说说你是怎么摆的?
⑵摆这些一共用了多少根小棒?
(20根)
⑶你怎么说得那么快?
(每个用4根小棒,5个就是5个4连加,5×4=20,四五二十)
⑷看桌面,现在有几个几?
(5个4)6个4你会摆吗?
(再摆一个)
⑸也就是说6个4是几个4加几个4?
反过来你会说吗?
(5个4加1个4就是6个4)
⑹学生再列式,编口诀。
三年级
1、多位数乘一位数渗透乘法分配律简算
18×2=36
18
×2
36
(2)个(8)是(16)
(2)个(10)是(20)
合起来是(36)
在多位数乘一位数中对简算进行了渗透,首先在乘法竖式中,我们会运用以前所讲内容进行探究。
以18×2为例,在竖式中,会从各位算起,表示2个8是16,再算十位,表示2个10是20,从这两个数位所表示的乘法意义中,就渗透了乘法分配率。
三位数乘一位数同样运用乘法分配率。
我们在计算每一数位时都会有所展现。
2、在练习中同样会渗透简算。
如在不计算比较大小中,
21×4○21×510×5○8×11
23×3○230×312×4○11×3
307×6○370×65×489○5×501
也渗透了简算。
4个21比5个21少,23个3比230个3少,307个6比370个6少,489个5比501个5少,10×5○8×11中十位上比较8个10比5个10大……等等,这些类型题就渗透了简算。
3、在拓展题中同样对简算有所渗透。
如下题
12×3=(12)+(12)+(12)
=
(1)×3+(11)×3
=
(2)×3+(10)×3
=(3)×3+(9)×3
=(4)×3+(8)×3
=(5)×3+(7)×3
=(6)×3+(6)×3
=……
除了明确12×3的乘法意义表示12个3相加,也从这道题中获知每一组中要让括号中的数字和是12,也就是对12进行了分解,从中渗透乘法分配律。
只有做到前有铺垫,后有孕伏,简算教学才可以变得轻松一些。
教师从低年级“乘法意义”的渗透——中年级“乘法分配律”的学习——高年级小数、分数中的应用,整合资源、沟通联系、把握重点、提高认识。
高年级
中年级
悟
点
低年级
渗
解释:
低年级:
渗——渗透,直观感悟;中年级:
点——点明,点醒,点透;
高年级:
悟——悟其理,变其型。
(三)错例研究故事探寻错误本源
教师收集错例,将研究探寻规律的过程以数学故事的形式呈现。
郜院长给予了高度评价:
“研究成果如此的物化过程,找到了研究错误的突破口,是研究错误的价值、意义、过程、方法最好的途径。
愉快生动得呈现研究过程,形式非常丰富。
”例如:
1、崔晓纯老师的错例研究故事——《数学画》
学生通过画图理解了题意,对数量关系的把握更加准确了。
同时他们也体会到了成功的喜悦。
中年级学生的思维特点,正处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段。
我们的教材多采用抽象的文字叙述方式呈现练习。
作为教师,我们利用数学画的方式帮助学生将抽象的文字表达再次转化为形象的图形语言,帮助他们理解数量关系,抓住问题本质,完成由低年级到高年级,由形象到抽象的自然过渡。
2、贾庆燕老师的错例研究故事——《从关注数量到关注数量关系》
是学生解决实际问题的错例分析,研究下面两道实际问题,
1、体育用品商店卖出36个足球,还有3个,原来一共有多少个?
2、商店运进6块手表后,现在有52块,商店原来有多少块?
题号
正确人数
错题人数
正确率
1
35
3
92
2
24
14
63
在与学生的交谈中我了解到,学生更喜欢有图画的应用题,因为题目中的图画更能帮助他们记忆题目,更喜欢记忆,也减轻了学生记忆的负担,于是,我重新设计了习题,以图文并茂的形式出现在学生的面前。
学生一下子就接受了,我也趁机开始了我的教学。
(1)瞬时记忆了解题意;
(2)作出动作表示关系;(3)规范动作,启发思考
为了验证这次教学的有效性,我又出示了两道习题:
学生做题情况统计正确率达到了97%和94%。
由此可见,这是一次成功的教学,教学的成功源于我对错因的分析,从关注数量到关注数量关系,这个过程,我通过4个步骤去实现,图文呈现、记忆理解、动作表示、图画关系。
低年级是基础,如果从低年级就开始培养学生对数量关系的理解,势必会减少学生盲目看数量的现象,同时也为中高年级解决较复杂的实际问题奠定基础。
3、张磊老师的错例研究故事——《分数是个“数”?
》
【错例呈现】下面请看学生的错例:
对于上述试题,学生能正确列式,但却无法表示309与47的商,一类学生不写结果,另一类学生用近似数表示结果。
在日常的教学中,我们通常会直接告诉学生利用分数与除法的关系来表示它的商。
一、那么学生为什么不用分数表示结果?
其实一直以来,在学生的心目中并不承认分数是个“数”,例如,在解决实际问题时,答案若是“3/2米”,学生大多要化为“1.5米”,似乎看到这个结果,心里才“踏实”。
出现这个现象的原因很多,
关键是分数既不是“十进制”的,也不是“位值制”的,无法按照自然数的习惯看出其大小。
还有一个不可否认的事实是在学生的生活世界里,到处都可以看到自然数和小数,而分数则很少见到。
除了自然数以外,学生更认可“小数”是个“数”,因为小数与自然数的血缘关系更“亲近”:
它们都是十进制。
另一个重要原因是学生在学习“分数”时,教师在教学时并不着重强调作为“量”的分数,而更多强调作为“率”的分数,是用来刻画“部分与整体”或者是“部分与部分”的“倍比”关系。
二、分数教学现状回顾
我们来回顾一下我们的教学,基本都是分两次学习“分数的初步认识”和“分数的意义”。
“分数的初步认识”的教学,多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的,即借助于直观模型初步理解作为“率”的分数,教学内容与教学方法没有太大差异。
之后,教材又在五年级再次安排认识分数的相关内容,此时,我们会带着学生把一块饼平均分成2份,得到分数1/2;再把1米长的线段平均分成5份,取其3份,得到分数3/5;再出示一堆苹果,把这6个苹果平均分成3份,得到分数1/3。
然后,指着板书,说:
“一个物体,一个计量单位,一些物体都可以看作一个整体,一个整体可以用自然数1来表示,通常把它叫作单位‘1’。
”
再提问:
“这个‘1’和我们一年级时所认识的‘1’一样吗?
”接着,让学生举例,日常生活中哪些具体的事物可以看作单位“1”。
“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或者几份的数,叫作分数。
”这是教材中对“分数”的表述。
我们对“分数单位”的教学往往是轻描淡写,一笔带过。
三、在“分数的意义”这部分内容中,究竟要学习什么?
怎么学习?
1、首先我们看看教材中都介绍了什么?
不同版本教材的处理略有不同,但主要都强调以下三点:
①强调平均分的对象“单位‘1’”发生了变化,由“1个”变为“群体”,平均分的份数“由少到多”;
②讲“分数单位”,但并没有作为重点;
③“整体‘1’”不同,同一个分数所对应的量也不同。
2、那么我们是否可以像学习自然数一样去学习分数?
自然数是数出来的,那么分数呢?
其实从分数的来源我们就可以知道,分数也是数出来的!
“分数的意义”应该是“任何一个分数都是其分数单位累加的结果”,这样看待“分数”,全部“数”的结构就都一致了,学生也就更认可分数是个“数”。
其实沿袭自然数的“传统”,分数的两个关键要素就是“分数单位”和“单位个数”,即分数单位的“分母”是平均分的“份数”,分子是“1”,其他分数的“分子”就是“分数单位”的“个数”。
这和分数本质相同。
其实分数就是先“分”后“数”的“数”,“分”,就是创造了一个单位;“数”,就是数有多少个单位。
3、如果从分数单位的角度来理解分数的意义,会更自然,更有后劲。
因为,分数单位同自然数的计数单位本质是一致的,但与自然数又有着很大的区别:
任何一个分数都有无数多个“分数单位”。
分数单位不同,其所对应的“个数”就不同,但两者的乘积是一样大的。
例如,1/2可以说是“1个1/2”,或者“2个1/4”,甚至“16个1/32”等等,即1/2=2/4=3/6=4/8……
每一个分数都构成了一系列“等价类”,也就是小学阶段学习的“分数的基本性质”。
不管怎么说,把分数看成是“分数单位的累加”不仅延续了自然数的认识,又为进一步理解分数的性质以及分数的加减运算,打下了坚实的数学基础。
从这个角度来认识分数,学生就能够真正理解为什么分数加减法,要“先通分,然后只要分子相加减,就可以”,从而进一步理解加减法计算的本质就是相同计数单位‘个数’相加减”。
学生也就更认可分数,与自然数、小数一样,是个数。
最后我用华罗庚先生的一句话结束我的数学故事:
“数起源于数,量起源于量。
”数和量都离不开单位。
4、马艳芬老师的错例研究故事——《合理的错误精彩的燃点》
10名十一二岁的孩子平均体重却只有8kg,这是怎么回事?
难道这些孩子都是小侏儒或者永远也长不大的袖珍孩子吗?
都不是,这些奇怪的孩子却真真切切的出现在我的一节数学课上。
这是在学习《较复杂平均数》设计的一道例题。
老师们一定都已经看出来,根据题目中现有的信息,根本无法解决后面的问题。
一道残缺的问题情境呈现的却是一个完全开放学习空间。
认为可以解答的同学利用现有信息解答问题,认为不能解答的同学则借助老师提供的多层次信息,运用不同方法解决问题。
例题的设计最终使每一个学生都能思考一点问题,解决一点问题,同时极致展现了个性的思维成果,为展示交流环节提供了丰富的素材。
追根溯源不难看出,总数÷总份数=平均数,作为解决平均数问题的根本方法已经牢牢扎根在学生的内心。
但同时,正是这种格式化的解题模式使部分学生陷入了套用公式的思维怪圈,解题的过程中对于每个数据所代表的实际意义缺少追问和思考,忽略了量与份数之间的对应关系,原有知识在学习中产生了一定的负迁移。
正像许多老教师所言,我们根本无法避免孩子们运用这种错误的方法来解决问题,既然如此,那让暴风雨来的更猛烈些吧!
让部分孩子掉进问题陷阱中,惯有的思维受到挑战,在犹豫、困惑和争论中,挖掘隐含信息,理解知识的本质,掌握正确的方法。
庆幸的是,在我们的孩子之中还有着一些能够从结论中发现问题,从过程中寻找方法的学生,既然如此何不将皮球再次踢还给学生,让学生在质疑中学会辩论,在辩论中学会接纳,在接纳中学会尊重,在尊重中学会学习呢?
其实在我们的学习中,还曾经出现过很多这样的错误,而一名优秀的教师正是被学生一个又一个的错误锻造而成的。
学生的这些错误在时刻地警醒着我们要不断的反思我们的教学,我们的数学课堂也要努力做到:
少一些程式化的机械训练(形式),多一些灵活巧妙的变式练习(本质);
少一些直接决绝的否定;多一些智慧有效的引导;
少一些教师的个人表演;多一些生生的精彩互动。
希望与大家共勉:
将课堂生成的错误资源,当作精彩的燃点,坦然地面对,微笑地解决,创造和谐、快乐的数学课堂!
(四)探究教学模式教学与研究共生
教育专家成尚荣:
“我们的教室就是一个允许学生出错的地方。
出错了,课程才能生成,也正是在‘出错’和‘改错’的探究过程中,课堂才是最活的,教学才是最美的,学生的生命才是最有价值的。
”为了使研究与课堂教学紧密结合,研究服务教学,我们尝试了两种新的教学模式——《“外寻——内省”五环一体教学模式》和《“五学”教学模式的构建与实践》
课堂教学模式一:
《“外寻——内省”五环一体教学模式》
(1)模式设计的基本理念及流程图
在错误研究相关理论的指导下近年来,我校在小学数学学科中进行了以“呈现错例、追问错理、探究方法、挖掘策略、巩固提升”为主要内容的数学课堂教学模式的研究与实践,已初步构建了自己的教学模式,即“外寻——内省”五环一体教学模式。
(2)流程图解析
外寻,寻什么?
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